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title: "fpva - Cours 4 : Plans tangents et approximations linéaires"
tags: fpva, cours, MiMos
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# Matiere - Cours 4 : Plans tangents et approximations linéaires

>**Défintion :** Le ++plan tangent++ au point $(x_0,y_0,z_0)$ à une >surface d'équation $z = f(x,y)$ est définie par l'équation :
$$
z-z_0 = (\frac{\partial f}{\partial x })_0(x-x_0) + (\frac{\partial f}{\partial y})_0(y - y0)
$$
où $(\frac{\partial f}{\partial x })_0$ et $(\frac{\partial f}{\partial y })_0$ sont les dérivées partielles de $f$ évaluées au point $(x_0,y_0,z_0)$ (ce sont des nombres).

>**Défintion :** Le ++vecteur normal++ à ce plan et au point $(x_0,y_0,z_0)$ est alors :
>$$
> \vec{N} = (\frac{\partial f}{\partial x})_0\vec{i} + (\frac{\partial f}{\partial y})_0\vec{j} - \vec{k}
>$$

**Exemple :**

- Si $z = 14 - x^2 - y^2$, alors $f_x = -2x$ et $f_y = -2y$. Dans ce cas, le plan tangent en $(1,2,9)$ est d'équation :
$$
z - 9 = -2(x - 1) - 4(y - 2) \\
z+2x+4y=19 \\
\text{et } \vec{N} = -2\vec{i} - 4\vec{j} - \vec{k}
$$
- A partir de ces équation, on peut construire les "équations paramétriques" de la droite normale à la surface passant par $(1,2,9)$. On trouve :
$$
\begin{cases}
x = 1-2t\\
y=2-4t\\
z=9-t
\end{cases}
$$
(Voir exemple 22)

>**Définition :** Si une surface est définie par l'équation $F(x,y,z) = c$, alors le plan tangent en $(x_0,y_0,z_0)$ est d'équation $\dots$
>$$
(\frac{\partial F}{\partial x })_0(x-x_0) + (\frac{\partial F}{\partial y})_0(y - y0) + (\frac{\partial F}{\partial z})_0(z - z0) = 0
$$
et le vecteur normal est alors :
$$
\vec{N} = (\delta_xF)_0 \vec{i}+(\delta_yF)_0 \vec{j} +(\delta_zF)_0 \vec{k}
$$

>**Définition :** A partir de $z = f(x,y)$, où $z$ est vu comme une fonction de $x$ et $y$, on peut systématiquement exprimé une "variation infinitésimale" de $z$ où $f$, noté $dz \equiv df$, appelée formellement une ++differentielle totale++ de $z$ ou $f$. Une telle equation s'écrit :
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial y }dx + \frac{\partial z}{\partial y}dz \\
\text{ou } df = f_xdx+f_ydy
$$

- Sous cette forme, la différentielle $df$ permet de construire des approximation linéaire de $f(x,y)$ autour de $(x_0, y_0)$

- On a aussi la formule(fondamentale) :
$$
f(x,y) = f(x_0,y_0) + \frac{\delta f}{\delta x}_0(x-x_0) + \frac{\delta f}{\delta y}_0(y-y_0)
$$
où le membre de droite es une ++fonction linéaire++ de x et y.

**Exemple :** On reprend la fonction "distance"
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
On veut approximer cette fonction autour de $(1, 2,\sqrt{5})$. Alors l'approximation locale est :
$$
r = \sqrt{5} + \frac{1}{\sqrt{5}}(x-1)+\frac{2}{\sqrt{5}}(y-2)
$$
Celle-ci correspond à un ++plan tangent++ au point $(1, 2,\sqrt{5})$ (Voir exmple 27).

On peut alors résoudre le système :
$$
\begin{cases}
g(x,y) = 0\\
f(x,y) = 0
\end{cases}
$$
en approximant les $f$ et $g$ au point $(x_n,y_n)$ dans le cadre de la ++methode de Newton++

On a le système linéaire suivant :
$$
\begin{cases}
g_x\Delta x + g_y\Delta y = -g(x_n,y_n)\\
h_x\Delta x + h_y\Delta y = -h(x_n,y_n)
\end{cases}
$$
où $\Delta x$ et $\Delta y$ sont les pas utilisés dans l'algorithme (Section 5.4 et l'exemple 30).