---
Title: fpva - Cours 1\ :\ Surface et ligne de champ
tags: fpva, cours, MiMos
---
{%hackmd theme-dark %}

$\newcommand{\vt}[3]{ \begin{pmatrix} {#1} \\ {#2} \\ {#3} \end{pmatrix} }$

# Fonction à plusieurs variable - Cours 1: Surface et ligne de champ

## Surface 2D

On etudie des surface en 2 dimensions dans un espace en 3 dimensions. (car on peut les representé et facielement representable, cas le plus simple des fonction a plusieur variable).

surface 2D en 3D est definit par la formule suivante:

$$
z = f(x,y)
$$

les coordoner de chaque points sur cette surface sont solution de l'equation precedente:

$M \in S$

$$
M = \vt x y {f(x,y)}
$$

alernativement on peut formuler l'equation d'un telle surface sous la forme "plus generale":

$$
F(x, y, z) = 0
$$

Dans cette formulation "l'extraction" de $z$ n'est pas garantie.

L'equation $z = f(x, y)$ s'interpete facielememt puisque:

1) $z$ est la hauteur d'un point sur la surface d'equation $z = f(x, y)$
2) les coordonnées (x, y) sont l'absice et l'odonnée du projeté **orthogonal** d'un point sur la surface dans le plan $xy$.

## Ligne de niveau

Pour faciliter l'étude d'une surface d'equation $z = f(x, y)$, on utilise egalement le concept de **Ligne de niveau**

> ### Défintion
>
> Une ligne de niveau associée a une suface d'équation $z = f(x, y)$ corespond à l'ensemble des points dont les cordonnées vérifient
>
> Soit $c$ une constante
>
> $$
> f(x, y) = c
> $$
>
> Soit $L$ une ligne de niveau $c$.
>
> $$
> L = \{x, y| f(x, y) = c\}
> $$
>
> Ont dit que tous les elements de l'ensemble (les points ) sont a la meme hauteur

### Exemple

#### Parabole 1

On considère l'equation:

$$
z = f(x, y) = x^2 + y^2
$$

Si on pose ($c$ contante):

$$
x^2 + y^2 = c
$$

les ligne de niveau si elle existe sont des cercles.

En effet dans le plan $xy$ un cercle de rayon $R$ centrée en $(x_0, y_0)$ est definit par l'équation:

$$
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2
$$

#### Exemple 2

Les ligne de niveau associées à la suface d'équation d'équation:

$$
z - f(x,y) = 2x + y
$$

Soit des **droites**. En effet si $2x, y = c$ on as:

$$
y = -2x + c
$$

soit l'eqation d'une droite de coeficient directeur $-2$ et comme ordonnée a l'origine $c$.

### Remarque

Il est habituel de projeter des lignes de niveau a intervalle régulier dans le plan $xy$.

Afin de construire ine **carte isoligue** (carte contournable).

Dans ce cas on peuy labiliser chacune de ses ligne par sa hauteur $z = c$.

Un exemple bien connue de carte isoligue sont les **cartes topoligiques** utilisé en **géographie physique** permetant de représter le relief d'une région sur un plan en papier.