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title: "fpva - Cours 5 : Dérivées directionnelles et gradients"
tags: fpva, cours, MiMos
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$$
\newcommand{\vt}[3]{
\begin{pmatrix}
{#1} \\
{#2} \\
{#3}
\end{pmatrix}
}
\newcommand{\limto}[1]{\xrightarrow[#1]{}}
$$

# FPVA - Cours 5 : Dérivées directionnelles et gradients"

[`video`](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52932/mod_resource/content/1/Vide%CC%81o%205%20-%20De%CC%81rive%CC%81es%20directionnelles%20et%20gradients.mp4)
[`cours`](https://moodle.cri.epita.fr/mod/resource/view.php?id=9720)
[`slides`](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52933/mod_resource/content/1/Notes%205%20-%20De%CC%81rive%CC%81es%20directionnelles%20et%20gradients.pdf)

**Définition :** La dérivée directionnelle d'une fonction $f(x,y)$ dans la direction $\vec{N}$ au point $P$ s'ecrit formellement :
$$
D_{\vec{N}}f(P) = \lim\limits_{_{\Delta S \rightarrow 0}} \frac{\Delta f}{\Delta s} = \lim\limits_{_{\Delta S \rightarrow 0}} \frac{f(P+\vec{u}\Delta S) - f(P)}{\Delta S}
$$
où les pas $\Delta S$ se fait dans une "direction arbitraire" du plan parallèle au vecteur $\vec{u}$ (Voir exemple 31)

- Cette dérivée donne la variation de $f$ dans une direction donnée par \vec{u}.
- Pour un point arbitraire :
$$
\Delta_{\vec{N}}f = \frac{\partial f}{\partial x}u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}u_2
$$
où $\vec{u} = u_1\vec{i} + u_2\vec{j}
- Le ++vecteur gradient++ d'une fonction $f$ noté $\vec{grad}f \equiv \vec{\nabla} f$ et il correspond au vecteur :
$$
\vec{\nabla} f$ = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} \text{(en 2D)} \\
\vec{\nabla} f$ = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k} \text{(en 3D)} \\
$$
(Voir la généralisation à la définition 13)

- Grâce à cela, on peut écrire que :
$$
D_{\vec{N}}f = \vec{\nabla}f.\vec{u}
$$
- Pour une ++ligne de niveau++ de vecteur tangent $\vec{v}$, on a :
$$
D_{\vec{N}}f = 0 = \vec{\nabla}f.\vec{v}
$$
- La ++pente maximale++ en un point d'une surface d'équation $z = f(x,y)$ est obtenur en maximisant :
$$
D_{\vec{N}}f = \vec{\nabla}f.\vec{u}
$$
Soit quand $\vec{\nabla}f$ et $\vec{u}$ sont parallèles.
- Ceci est réalisé quand $\vec{u} = \frac{\vec{\nabla}f}{||\vec{\nabla}f||}$ de sorte que $max_\vec{u} D_\vec{u}f = || \vec{\nabla}f||$ (Voir exemple 34, 35, 36)
- La dérivée le long d'un chemin d'une fonction $f(x,y)$, décrit par $\vec{R}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ peut prendre deux formes :

On peut calculer le taux d'accroissement :
$$
\frac{df}{dt} = \vec{\nabla}f.\vec{v} \\
\text{avec } \vec{v} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j}
$$
On peut aussi calculer la pente le long du chemin donné :
$$
\frac{df}{ds} = \vec{\nabla}f.
\vec{T}
$$
où le $\vec{T}$ est le vecteur tangent défini par :
$$
\vec{T} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}
$$
(exemple 37 et 38)

- Le ++gradient++ est instrumentale dans la recherche des extrema d'une fonction de ++plusieurs variables++.
- X représente l'équivalent de la "pente" sous la forme d'un vecteur, en un point de la surface $z = f(x,y)$ avec $\vec{\nabla}f = (f_x, f_y)$
- La direction $\vec{\nabla}f$ indique la direction de la pente considérée (ici en 2D) et la longueur $||\vec{\nabla}f||$ indique la ++magnitude++ de cette pente.

**Exemple :** Si $D(x,y) = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$
alors $\vec{\nabla}D = \frac{x-x_0}{\Delta}\vec{i} + \frac{y-y_0}{D}\vec{j}$.

Donc $||\vec{\nabla}D|| = 1$.(unitaire)(Voir exemple 39)