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title: "fpva - Cours 3 : Dérivé partiel"
tags: fpva, cours, MiMos
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$$
\newcommand{\vt}[3]{
\begin{pmatrix}
{#1} \\
{#2} \\
{#3}
\end{pmatrix}
}
\newcommand{\limto}[1]{\xrightarrow[#1]{}}
\newcommand{\deriv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
$$

# Fonction a plusieur variables - Cours 3 : Dérivé partiel

[`video`](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52927/mod_resource/content/1/Vide%CC%81o%203%20-%20La%20de%CC%81rive%CC%81e%20partielle.mp4)
[`cours`](https://moodle.cri.epita.fr/mod/resource/view.php?id=9707)
[`slides`](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52929/mod_resource/content/1/Notes%203%20-%20La%20de%CC%81rive%CC%81e%20partielle.pdf)

## Dérivé partiel

> ### Définition
>
> la dérivé partielle d'une fonction $f(x,y)$ par rapport à $x$ est donnée par:
>
> $$
> \begin{align}
> \deriv fx &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \\
> &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}
> \end{align}
> \f
>
> Dans cette opération, la variable $y$ est traitée comme un **paramètre fixe**.

La définition est **analogue** pour $\deriv fy$.

On emploie aussi les notation:

$$
\deriv fx \equiv \partial_x f \equiv f_x
$$

### Exemple

On a $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ d'on la surface associés est un cône avec son sommet a l'origine $(0, 0)$.

Les dérivées partiellles donnent:

$$
\deriv fx = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac xf \\
\deriv fy = \frac yf
$$

la fonction $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ est en fait la fonction "distance à l'origine".

A partir de ses dérivées partielles de cette fonction, on peut formér des **équations différentielles**.

Pour une fonction $f(x, y)$ donnée, si on fixe l'une des variable de ses variable, on obitent des **fonctions partiels**:

$$
f(x, y_0) \text{ et } f(x_0, y)
$$

## Etude de surface

ses fonction sont a une variable et sont très utile afin d'étudier la surface $z = f(x, y)$.

## Exemple

Pour $f(x, y) = x^2 - y^2$

$$
\deriv fx = -2x \\
\deriv fy = 2y
$$

Au point $(1, 3)$ la fonction parielle $f(x, 3) = 9 - x^2$ est une **parabole orientée vers le bas**.

Ensuite la fonction partielle $f(1, y) = y^2 - 1$ correspond à une **parabole orienté vers le haut**.

En fait la surface $z = f(x, y)$ est une **paraboloide hypperbollique**.

### Dérivé seconde

ne