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title: "ADF - Cours 1 : subject"
tags: ADF, cours, MiMos
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\newcommand{\vt}[3]{
\begin{pmatrix}
{#1} \\
{#2} \\
{#3}
\end{pmatrix}
}
\newcommand{\limto}[1]{\xrightarrow[#1]{}}
$$

# Approximation de fonction - Cours 1 : Subject

[`video`](url_video)
[`cours`](url_cours)
[`slides`](url_slides)

## Introduction

Ce rappoter à des choses faciles quand c'est compliqué.
Il faut être sur que l'approximation soit vraiment pertinente et qu'elle permette d'utiliser les propriétés des fonctions simples.

## Les distances

D'un point à un autre différent, la distance est nulle.
Une distance est toujours positive
Une distance est un plus cours chemin
Traduction en maths
Soit $E$ un ensemble quelconque.
On appelle distance sur $E$ toute application de $EX$ -> \mathbb R+$ vérifiant les axiomes suivant :
- $\forall (x,y)\in E², d(x,y) = 0 \equiv x=y$ (séparation)
- $\forall (x,y) \in E², d(x,y) = d(y,x)$ (symétrie)
- $\forall (x,y,z) \in E^3, d(x,y)\leq d(x,z) + d(z,y)$ (inégalité triangulaire)

### Exemple :
- Distance sur les mots
- distance de Hamming : on prend 2 mots de même taille et on comptabilise leur nombre de lettre différentes
- distance de Levendhtein : on définit 3 opérations élémentaires (insertion, suppression, remplacement)
- Distance sur des graphes :
- L'idée du plus court chemin entre deux sommets peu définir une distance sur certaines conditions (valuation, orientation, connexité). Dessin d'un arbre binaire

## Espace métrique

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb K (\mathbb R$ ou $\mathbb C )$
On appelle norme sur $E$ tout foction $N$ : $E \rightarrow \mathbb R^+$ vérifiant :
$$
N (x) = 0 \iff x = 0_c\\
N(\lambda x) = |\lambda| N(x)\\
N(x + y) \leq N(x) + N(y)
$$

Chaque norme $N$ induit une distance sur $E$ par la relation :

$d_N(x,y) = N(x-y)$

++Warning++ : certaines distance ne sont pas induites

++Remarque++: de cette relation, on en déduit $N(x) = d(x, 0)$

soit $a\in E, r \ne 0$
On appelle boule ouvert centre en $a$ de rayon $r$ l'ensemble :
$B_{a,r} = \{x \in E | d(a,x)\leq r\}$
des éléments dont la distance $a$ est au plus $r$.

### Norme dans $\mathbb R^n$ (en dimension finie)
Soit $p \in [1, +\infty[$

On appelle norme $p$ sur $\mathbb R^n$ la norme définie par
$$
\forall x = (x_1, ..., x_n)
||X||_p = (\sum_{i=1}^{n} |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}
$$

Par passage à la limite on définit $||\text{ } ||\infty$
$$
||x||_{+\infty} = max |x_i| (1 \leq x \leq n)
$$

Req : $0 \le p \le 1$ la fonction ne vérifie pas l'inégalité triangulaire.

On s'intérresse aux cas :
$$
p \in \{1, 2, +\infty\}\\
x_i = (x1, \ldots, x_n)\\
||x||_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|\\
= |x_1| + |x_2| + ... |x_n|\\
||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}\\
= \sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2}
$$

$||\text{ }||_2$ est appelé norme euclidienne, c'est la norme euclidienne.

exemples:

$x = (5, -12)$

$y = (0, 1)$
$$
||x||_1 = |5| + |-12| = 17\\
||x||_2 = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = 13 \\
||x||_\infty = max(|5|, |-12|)\\
= 12\\
||y||_1 = 1\\
||y||_2 = 1\\
||y||_inf = 1
$$

Chaque norme $p$ induit une distance $d_p$.
$d_2$ est appelée distance euclidienne

$d_1$ est appelée distance de Manhattan

Rappel : $||x|| = d(x,0)$

Dessin representan distance de manathan et euclidienne ...

On peut lire dans ce dessin les inegalité
$||x||_\infty \leq ||x||_2 \leq ||x||_1$

Généralisation :

$p < q \implies ||x||_p \geq ||x||_q$

Encore un dessin

On dit que deux normes N et N' sont equivalentes ssi
$\exists (k_1, k_2) \in (\mathbb R^*_+)^2, \forall x \in E, k_1 N(x) \leq N'(x) \leq k_2 N(X)$

Théorème:

En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Exemple :

en dimenstion 2
$||x||_\infty \leq ||x||_1 \leq 2||x||_\
infty$

$||x||_\infty \leq ||x||_n \leq n||x||_\infty$

$1 \leq \frac{||x||_1}{||x||_\infty} \leq n$

ce genre de relatiion est surtout utile lorsqu on manipule des structures plus complique avec des normes dfficiles a a calculer. (normes matricielles)
Remarque : exemple de norme
sur $M_n,q(\mathbb K)$
On peut ibduire des normes à l'aide des normes p sur $\mathbb R^n/\mathbb R^q$

$$
|||A|||_n,q = sup_x \neq 0 \frac{||Ax||_n}{||x||_q} = sup_{||X||_q = 1} ||Ax||_n
$$
Il y cependant beaucoup d autres manieres de déffinir des normes de matrices.

### Sur des espaces de fonctions (en dimension infini)

Soit $I$ un segment de $\mathbb R$, $E = C^0(I, \mathbb R)$
Soit $p \geq 1$
On appelle norme $p$ sur $E$ la norme $||.||_p$ définie par $||f||_p = (\int_I |f(t)|^p dt)^{\frac1p}$
on définit $||.||_\infty$ comme $||f||_\infty = sup_{x \in I} |f(x)|$
Remarque :
- sur un segment une fonction continue est bornée et atteint ses bornes
- on peut étendre ces définitions à des focntionsmoinqs régulières (par exemple continues par morceaux)
- Cependant dela ne gazrente pas toujours laz conservation des propriétés intéréssantes.
- on définit l'ensemble des fonctions dont on pet calculer la norem $p$ comme "espace de Socolev" noté $L^p$(l stylisé) (ce ne sera pas traité pour l'instant)

Annexe : la borrne superieur(inferieur) d'un sous-ensemble A de $\mathbb R$ majoré(minoré) est le plus petit(grand) des ces majorants(minorant)
S'il est atteint dans A, c'est le maximum de A.
Si un enseble n'est pas majore, on dit que sa borne sup est $+\infty$ :

Exemple
$$
Sup {1/n | n \in N*} = 0
$$

Annexe 2 :

L'inéalité de Cauchy-Swartz
$$
<f,g> \leq ||f||.||g||
$$
Le poduit scalaire $<,>$ induit la norme $||.|| \rightarrow \sqrt{<f,f>}$

La norme 2 sur R² sur $C_2(I,\mathbb R)$ est induite parr le produit scalaire cannonnique
sur R_n <x,y> = somme dde i = 1 jusqu a n xy

sur C0 <f,g> = int fg

1)

graph {
  0 -- 1 [label=2]
  1 -- 2 [label=2]
  2 -- 5 [label=2]
  1 -- 3 [label=2]
  3 -- 4 [label=2]
  3 -- 5 [label=2]
}

2) etant doné que le poid de tous les arretes est constante on peux considéré que la
3) distance a lui meme est null distance sommet b à a est egale a la distance de b à a. la
les poids ne peuvent pas etre négative ou null