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title: "Prob et stat - TD1"
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# Prob et stat - TD1

## Exercice 1

1.
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{rcr}
\frac{k}{x} \text{ si } x \ge 1 \\
0 \text{ sinon}
\end{array}
\right.
$$
$f$ est positif si $k \in \mathbb{R}^{+*}$.
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k}{t}\,dt = k\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\,dt}{t} \\
\text{Si } k = 0, k\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\,dt}{t} = 0 \ne 1 $$
Supposons donc $k \ne 0$
$$
k\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\,dt}{t} = k[ln(t)]_{-\infty}^{\infty}
$$
Or, cette integrale est divergente.
Donc, $f$ n'est pas une densité.

2.
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{rcr}
\frac{k}{x^2} \text{ si } x \ge 1 \\
0 \text{ sinon}
\end{array}
\right.
$$
$f$ est positif si $k \in \mathbb{R}^{+*}$.
$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{k}{t^2}\,dt &= \\
&=\int_{-\infty}^{+\infty} \,dt + \int_{1}^{+\infty} \frac{k}{t}\,dt \\
&=k[\frac{-1}{x}]_{1}^{+\infty} \\
&=k(0 -(-1)) \\
&= k
\end{align}
$$
Sachant qu'un fonction de densité doit avoir son intégrale à 1, on en déduit que $k = 1$. $f$ est une densité.

Cherchons maintenant la fonction a repartition $F(x)$:
$$
\begin{align}
F(x) &= \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt \\
&= \int_{-\infty}^{1} f(t)\,dt + \int_{1}^{x} f(t)\,dt \\
&= \int_{1}^{x} f(t)\,dt \\
&= \int_{1}^{x} \frac{k}{t^2}\,dt \\
&= [\frac{-1}{t}]_{1}^{x} \\
&= 1 - \frac{1}{x}
\end{align}
$$
Ainsi :
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{rcr}
1 - \frac{1}{x} \text{ si } x \ge 1 \\
0 \text{ sinon}
\end{array}
\right.
$$
Rappel:
$$
P(X\le a) = F(a) \\
P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\\
P(X\ge a) = 1 - F(a)
$$
On cherche $P(X \le x) = 0,025$:
$$
\begin{align}
F(x) &= 0,025 \\
1 - \frac{1}{x} &= 0,025 \\
\frac{1}{x} &= 1 - 0,025 \\
\frac{1}{x} &= 0,975 \\
x &= \frac{1}{0,975} \\
x &= \frac{1000}{975}\\
x &= \frac{40}{39}\\
\end{align}
$$
On cherche maintenant $P(X \ge x) = 0,025$:
$$
\begin{align}
1- F(x) &= 0,025 \\
\frac{1}{x} &= 0,025 \\
x &= \frac{1}{0,025} \\
x &= \frac{1000}{25}\\
x &= 40\\
\end{align}
$$
Nous avons donc un intervalle de prédiction bilatéral à 95% $I = [\frac{40}{39}, 40]$.

## Exercice 2

1.
$$
\text{Si } x \le a \rightarrow F(x) = 0 \\
\text{Si } x \ge 1 \rightarrow F(x) = 1 \\
\text{Si } x \in [a,b] \rightarrow F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \frac{x - a}{b - a}
$$