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title: "ADF - Cours 2 : Convergence des suites de fonctions"
tags: ADF, cours, MiMos
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$$
\newcommand{\vt}[3]{
\begin{pmatrix}
{#1} \\
{#2} \\
{#3}
\end{pmatrix}
}
\newcommand{\limto}[1]{\xrightarrow[#1]{}}
$$

# Aproximation de fonctions - Cours 2 : Convergence des suites de fonctions

[`video`](url_video)
[`cours`](url_cours)
[`slides`](url_slides)

## Introduction
Etude des différentes convergences entre les fonction apporximé et les fonctions de base

## Convergence simple

La convergence simple (CVS) est une convergence point par point. Pour une suite $(f_n)_{n \in \mathbb N} \in (\mathbb R^I)^{\mathbb N}$, on va examiner, pour chaque $x \in I$ séparément, la convergence de $(f(x))_{n\in \mathbb N}$.

**Définition :** on dit que $f_n$ converge simplement vers $f$ où :
$$
\forall x \in I, f_n(x) \rightarrow f(x) \text{ quant n tend vers l'infini}
$$
c'est-à-dire :
$$
\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists
N_\epsilon \in \mathbb{N}, \forall n \in  \mathbb N, n \geq N_\epsilon -> |f_n(x) - f(x)| < \epsilon
$$

### Exemple 1 :
$$
f_n : \mathbb{R} -> \mathbb{R}\\
x \rightarrow \frac{1}{(1 + x²)^n}
$$
A $x$ fixé : ($x \rightarrow \frac{1}{(1 + x²)^n}$) est une suite géométrique :
$$
\text{pour }x=0, \forall n \in \mathbb N f_n(0) = 1 \\
\text{Donc } f_n(0) \rightarrow 1 \\
x\neq 0 \forall n \in \mathbb N 1+ x^2 > 1\\
\text{donc } x \rightarrow \frac{1}{(1 + x²)^n} \rightarrow 0 \text{ pour n qui tend vers l'inifini}\\
f_n \rightarrow 0
$$

La focntion limite est donc
$$
f : x \rightarrow \begin{cases} 1 \text{ si } x = 0 \\0 \text{ si } x \neq 0 \end{cases}
$$
Remarque : Les focntions $f_n$ sont toutes de classe $C^{\infty}$, mais leur limites n'est même pas continue.

### Exemple 2 : $g_n(x) = n^4x^n(1-x)$ sur $[0,1]$

- si $x = 0$ :
$$
\text{pour } n>= 1, g_n(0) = 0 \text{ donc } g_n(0) \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} 0
$$
- si x = 1 :
$$
g_n(1) = 0 \\
g_n \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} 0\\
$$
- si $0 < x < 1$ et $x$ fixé:
$$
n^4 x^n(1 - x) -> 0 \text{ par cc}
$$
La fonction limite est la fonction nulle sur $[0,1]$
Calculons $\int_0^1g_n(t)dx$
$$
\begin{align}
\int_0^1g_n(t)dx &= \int_0^1n^4 x^n(1 - x)dx\\
&= n^4\int_0^1(x^n - x^{n + 1})dx \\
&= n^4[\frac{x^{n + 1}}{n + 1} \frac{x^{n + 2}}{n + 2}]_0^1\\
&= \frac{n^4}{(n + 1)(n + 2)} \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} + \infty \\
\text{Donc }\int_0^1g_n(t)dx \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} + \infty
\end{align}
$$
L'intégrale de la limite n'est pas la limite de l'intégrale.

### Exemple 3 : $h_n : \rightarrow \frac{1}{n}cos(nx)$ sur $\mathbb R$
$$
\forall x \in R, -1 < cos(nx) < 1\\
\frac{-1}{n} < \frac{1}{n}cos(nx) < \frac{1}{n}
$$
Par le théormème des gendarmes
$h_n(x) \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} 0$
$h_n$ converge sipmlement vers la fonction nulle sur $\mathbb R$.
$$
\forall x, \forall n\\
h'_n(x) = -sin(nx)
$$
Ce truc n'as pas de limite.

Constat : la CVS ne permet pzas de propager à la limite certaines propriétés utiles des fonctions. On va devoir utiliser des outils de convergence plus fort si l'on veut utiliser notre approximation dans des calculs.

## La convergence uniforme

On dit que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ si, pour toute distance $\epsilon > 0$ approximativement petite, à partir d'un certain rang les fonctions $f_n$ sont entièrement contenues dans la bande $f - \epsilon, f + \epsilon$

Définition : On dit que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ si :
$Sup_{x \in I}|f_n(x) - f(x)| \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} 0$
C'est-à-dire :
$||f_n -f||_\infty \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} 0$
La CVU est la convergence en distance infinie.

Cela s'écrit aussi :

$\forall \epsilon > 0, \exists N_\epsilon \in \mathbb N, \forall n \in \mathbb N, n >= N_\epsilon \equiv \forall x \in I, |f_n(x) -f(x)|<\epsilon$

Différence avec la CVS position de $\forall x \in I$

CVS $N_\epsilon$ dépend de x

CVU $N_\epsilon$ ne dépend pas de x

La CVU est une propriété globale sur un intervalle, au contraire de la CVS

Elle sera donc plsu compatible avec les opérations utilisant la topologie / les voisinages comme par eexmple les limites

Exemple : $f_n(x) = x^n\text{ sur }[0,1]$
$$
\text{si } 0 \leq x < 1 f_n(x) \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} 0 \\
\text{si } x = 1, f_n(1) \rightarrow_{n\rightarrow + \infty} 1
$$
Petit truc d'une page (merci Clément $\ldots$)

Remarque : si l'on se place sur $[0,A]$ avec $0 < A < 1$
SUP X^n = A^n -> 0
donc la CV est uniforme sur uniforme sur $[0, A]$

exemple 2:
h_n x -> cos(nx)/n sur R
(h_n) coverge simpelement sur R vers la fonction nulle

||h_n - 0||+inf = sup|cos(nx)/n| = 1/n et 1/n -> 0

### Propriété de la CVU

$CVU \equiv CVS$

La convergence uniforme vers $f$ implique la convergence simple vers $f$