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title: intg & sutint - Cours 1
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# Intégrales Généralisées et suites intégrales - Cours 1

## Introduction et défintion

**Le but** : Etudier le problème suivant : Peut-on dans certaines conditions définir des intégrales de l'une des formes suivantes :
- $\int_{a}^{b}f(x) \,dx$ où $f(x)$ est défini sur l'intervalle $[a,b[$ et $\lim\limits_{x \rightarrow b^-} f(x) = -\infty$
- $\int_{a}^{b}f(x) \,dx$ où $f(x)$ est défini sur $]a,b]$ et $\lim\limits_{x \rightarrow a^+} f(x) = +\infty$

- $\int_{a}^{b}f(x) \,dx$ où $f(x)$ est défini sur $]a,b[$
- $\int_{a}^{+\infty}f(x) \,dx$ où $f(x)$ est défini sur l'intervalle $[a,+\infty]$
- $\int_{-\infty}^{b}f(x) \,dx$ où $f(x)$ est défini sur $]-\infty, b]$
- $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \,dx$ où f(x) est défini sur $\mathbb R$

**++Défintion++** : $f(x)$ défini sur l'intervalle $I$ quelconque est dite locale si elle est intégrable sur $[a,b]$.

$\int_{a}^{b}f(x) \,dx$ est convergente si $F(x) = \int_{a}^{t}f(x) \,dx$ admet une limite finie $\lim\limits_{t \rightarrow b} F(t) = I$. Dans le cas contraire, $\int_{a}^{b}f(x) \,dx$ est divergente.

De même pour $\int_{a}^{+\infty}f(x) \,dx$ est convergente si
$F(t) = \int_{a}^{t}f(x) \,dx$ tend vers $J$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
Ainsi, $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \int_{a}^{t}f(x) \,dx = J = \int_{a}^{+\infty}f(x) \,dx$

**++Exemples++** :

- Etudions la convergence de l'intégarle $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$.

La borne posant problème est 1.
On connait la primitive :
$$
F(t) = $\int_{0}^{t}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ \\
F(t) =[arcsin(x)]_0^t = arcsin(t) \\
\lim\limits_{t \rightarrow 1^-} F(t) = arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$$

- Etudier la convergence de l'intégrale $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2 + 1} \,dx$

$$
F(t) = \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2 +1 }\,dx \\
F(t) = [arctan(t)]_0^t = arctan(t) \\
F(t) = \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} arctan(t) = \frac{\pi}{2},
$$

- Etudier la convergence $\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x} \,dx$
$$
F(t) = \int_{0}^{t}\frac{1}{1-x} \,dx \\
F(t) = [-ln(1-x)]_0^t \\
$\lim\limits_{t \rightarrow 1^-} -ln(1-t) = +\infty
$$

**++Théorème++** : Si une fonction $f(x)$ est définie continue croissante et majoré sur $[a,+\infty[$ alors $f(x)$ admet une limite finie $L$ quand $x$ tend vers $+\infty$

## II- Intégale de type : $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$, $\lim\limits_{x \rightarrow b^-} f(x) = +\infty$

### a) Etude de la convergence par comparaison

Supposons que :
$\forall x \in [a,b[,$ $0 \le \int_{a}^{t}f(x) \,dx \le \int_{a}^{t}g(x) \,dx \Leftrightarrow 0 \le F(t) \le G(t)$

$F'(t) = f(t) \ge 0$ et $G'(t) = g(t)\ge 0$ $F$ et $G$ défini et croissant.

Si $G(t)$ converge vers $J$ lorque $t$ tend vers $b-$ alors $J$ est un majorant de $F(t)$.

D'après le théorème précédent $F(t)$ tend vers $I$ finie lorsque $t$ tend vers $b-$.

Si $\int_{a}^{b}f(x) \,dx$ diverge $\implies \lim\limits_{t \rightarrow b^-} G(t) = +\infty$

**En résumé** : (sachant que $G(x) \ge F(x)$)
- $\int_{a}^{b}g(x) \,dx$ CV $\implies \int_{a}^{b}f(x) \,dx$ CV

- $\int_{a}^{b}f(x) \,dx$ DV $\implies \int_{a}^{b}g(x) \,dx$ DV

### b) Etude de la convergence par équivalence
$f(x)$, $g(x)$ deux fonctions positives définies continues sur $[a,b[$.

Supposons que $f(x) \sim g(x)$ :

$\exists c \in [a,b[$ tel que $\forall x \ge c$

$\frac{1}{2} < \frac{f(x)}{g(x)} < \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{g(x)}{2} < f(x) < \frac{3g(x)}{2}$

Si $\int_{a}^{b}g(x) \,dx$
CV $\implies \int_{a}^{b}f(x) \,dx$ CV

Si $\int_{a}^{b}g(x) ,dx$ DV $\implies \int_a^bf(x)dx$ DV

### c) Etude de l'intégrale $\int_{a}^{b}\frac{1}{(b-x)^\alpha} \,dx, \alpha \in \!R$ (Rieman)

On a $\forall t \in [a,b[$ :

$$
F(t) = \int_{a}^{b}\frac{1}{(b-x)^\alpha} \,dx \\
F(t) = \int_{a}^{t}{(b-x)^{-\alpha}} \,dx,
$$

- Si $\alpha \neq 1$,
$$
F(t) = [\frac{-(b-x)^{1-\alpha}}{1- \alpha}]_a^t \\
F(t) = \frac{1}{\alpha -1}((b-t)^{1-\alpha} -(b-a)^{1-\alpha})
$$

- Si $\alpha < 1$ :

$$
\lim\limits_{t \rightarrow b^-} F(t) = \frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha} \\
\implies \int_{a}^{b}\frac{1}{(b-x)^\alpha} \,dx,
$$
et ca CV.

- Si $\alpha > 1$,

$$
\lim\limits_{t \rightarrow b^-}F(t) = +\infty
$$

- Si $\alpha = 1$ :

$$
F(t) = \int_{a}^{b}\frac{dx}{b-x} \,dx \\
F(t) = [-ln(b-x)]_a^t \\
\lim\limits_{t \rightarrow b^-}ln(\frac{b-a}{b-t}) = -\infty
$$

**++Conclusion :++** $\int_{a}^{b}\frac{1}{(b-x)^\alpha} \,dx$ CV ssi $\alpha<1$

### d) Règle de l'ordre et règle de Riemann

$f(x)$ fonction localement intégable sur $[a,b[$

Supposons qu'il existe un point $c$ tel que $f(x) \sim \frac{c}{(b-x)^{\alpha}}$ au voisinages de $b$.

On dit que $f(x)$ est d'ordre $\alpha$ par rapport à l'infiniment grand $\frac{1}{(b-x)}$.

Donc $\int_{a}^{b}f(x) \,dx$ CV pour $\alpha < 1$

**++Exercice 1++** : Etudier la CV de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{cos(x)}} \,dx$

On fait un changement de variable avec :
$$
X = \lim\limits_{t \rightarrow 0^+} \frac{\pi}{2} -t \\
X \Rightarrow \frac{\pi}{2}
$$
Ainsi :
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{cos(x)}} \\
f(x) = \frac{1}{\sqrt{cos(\frac{\pi}{2} -t)}} \\
f(x) = \frac{1}{\sqrt{sin(t)}} \sim \frac{1}{\sqrt{t}}
$$

$sin(t) \sim_0 f(x) \sim \frac{1}{(\frac{\pi}{2} -x)^{\frac{1}{2}}}$

Or :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{(\frac{\pi}{2} -x)^\frac{\pi}{2}} \,dx$ est CV car $\alpha = \frac{1}{2} < 1$

Donc $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{cos(x)} \,dx$ est CV

**++Exercice 2++** : Etudions la CV de $\int_{1}^{2}\frac{1}{ln(x)} \,dx$

Posons $X= 1 + t$ donc $t = X-1$

Ainsi $\lim\limits_{X \rightarrow 1^+} X-1 = 0^+$

$ln(x) = ln(1+t) \sim_0 t$ avec $t = x-1$

$f(x) = \frac{1}{ln(x)} \sim \frac{1}{t} = \frac{1}{x-1}$

Or,

$\int_{1}^{2}\frac{1}{1-x} \,dx$ est divergente car ($\alpha = 1$, Riemann)
$\implies$ $\int_{1}^{2}\frac{1}{ln(x)} \,dx$ est divergente.

**++Exercice 3++** : Etudions la convergence $I = \int_{0}^{1}e^{\frac{1}{x}} \,dx$