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Title: Surfaces et lignes de niveau - Cours 1
tags: fpva, cours, MiMos
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# Fonctions à plusieurs variables : Cours 1

## Surface et lignes de niveaux

- Dans notre cours on va principalement considérer des surfaces en 2 dimensions dans un espace en 3 dimensions (représentation facile et le cas le plus simple des fonctions à plusieurs variables).

- De tels surfaces sont définies par une équation de la forme :

$$
z = f(x,y)
$$

- Des coordonnées de chaques point sur cette surface sont solution de cette équation.

- Alternativement on peut formuler l'équation d'une telle surface sous la forme "plus générale" :

$$
0 = F(x,y,z)
$$

- Dans cette formulation "l'extraction" de $z$ ++n'est pas garantie++.

- L'équation $z= f(x,y)$ s'interprète facilement puisque :

(1) $z$ est la hauteur d'un point sur la surface d'équation $z = f(x,y)$.

(2) Les coordonnées $(x,y)$ sont l'absisce et l'ordonnée du projeté orthogonal d'un point sur la surface dans le plan $xy$.

- Pour faciliter l'étude d'une surface d'équation $z = f(x,y)$ on utilise également le concepte de ligne de ++niveau++.

++**Définition**++ : Une ligne de niveau associée à une surface d'équation $z = f(x,y)$ correspond à ++l'ensemble des points++ dont les coordonnées vérifiant $f(x,y) = const = c$

- Donc l'ensemble des points d'une ligne de niveau sont à la même hauteur.

++**Exemple 1**++ : On considère l'équation :
$$
z = f(x,y) = x^2 + y^2
$$

Si on pose $x^2 + y^2 = const = c$ alors les lignes de niveau associée à cette surface sont des ++cercles++.

En effet, dans le plan $xy$, un cercle de rayon $R$ centré au point $(x_0,y_0)$ est défini par l'équation :
$$
(x-x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2
$$

++**Exemple 1**++ : Les lignes de niveau associées à la surface d'équation :

$$
z = f(x,y) = 2x + y
$$
sont des ++droites++. En effet, si $2x + y = c$ des $y = -2x + c$.

++**Remarque**++ : Il est habituel de projeter des lignes de niveau à intervalle régulier dans le plan $xy$, afin de construire une ++carte isoligne++ (contour map).

Dans ce cas, on peut labéliser chacunes de ses lignes par sa hauteur $z = c$.

- Un exemple connu de carte isoligne sont les cartes topographiques utilisé en géographie physique.

## Limites et continuité

On comence par la definition d'une limite pour une fonction à deux variables de type $f(x,y)$

Cette définition et similaire au cas à une seule variable, mais avec quelques differences.

>**Définition :**
>On a $\lim\limits{_{(x,y) \rightarrow (a,b)}} f(x,y) = L$
>
>Si pour tout $\epsilon > 0$, il existe un nombre $\delta > 0$ tel >que :
>$$
> |f(x,y) - L| < \epsilon
>$$
>pour tout $(x,y)$ verifiant
>$$
>0 < ||\vec{x} - \vec{a}|| < \delta
>$$
>avec $\vec{x} = (x,y)$ et $\vec{a} = (a,b)$.

- L'ensemble des points verifiant l'inégalité précédente est en fait un disque
- $||\vec{x} - \vec{a}||$ correspond à la distance entre les points $\vec{x} \equiv (x,y)$ et $\vec{a} \equiv (a,b)$, elle-même définie par la norme euclidienne noté :
$$
||\vec{x} - \vec{a}|| = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}
$$