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title: 力學 - 期末專題

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# 力學 - 期末專題
**通訊作者** : `李向桓` 
**組員**: `黃祥瑋` 、 `劉大寬` 、`黃仲鈞`
[Github](https://github.com/ilkclord/Vphysics---Mechanic-Project)

## 電子軌跡偏移實驗
經由傅科擺的軌跡偏移現象，我們不禁好奇是否電子雲也有可能是座標系旋轉,造成軌跡擴散的現象，因此我們著手開始實驗 ，希望能利用旋轉一個坐標系，旋轉出特定的波函數。

### 實驗方法
* 1 **求得自慣性坐標系轉換後的軌跡公式** ----> ok !
* 2 **鎖定特定波函數** ----->**卡住了，太難了...無法充分理解並利用波函數**
* 3 **調整可變量和波型，推測可能的旋轉方式** ---->**建構出模型**
### 假設
* **原子為氫原子**
* **在E = 0 , 電子穩定繞電子核圓周運動**
* **電子據波動性**
* **電子跟原子核座標系相同**
* **氫原子座標系為慣性座標系**
* **觀察者位於非慣性座標系**
* **僅考慮正比於 $\frac{1}{r^2}$ 的庫倫交互作用力**

### 常數
* **k = 8.987551x10^(9)** 
* **e = 1.6x10^(-19)**
* **電子質量 = 9.10938356 × 10-31 公斤**

### 電子
* **物質波波長$\lambda$** **= $\frac{h}{\sqrt{2meU}}$**

* **量子數 n**  **= 3**

* **位能 U = $\frac{ke^2}{r}$**

* **繞行半徑 r = 53 * 10^-12^**

* **圓周運動角速度 $\omega$ :  =  $\frac{e\sqrt{\frac{2k}{mr}}}{r}$ = $3.01886\times10^{17}$**

* **圓周運動週期 T = $\frac{2\pi r}{e\sqrt{\frac{2k}{mr}}}$**
### 可變量
* **電子物質波振盪頻率 $\omega_2$**
* **電子物質波最大振幅(半徑) R**
* **坐標系旋轉振盪頻率 $\omega_3$**
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$**


### 等速圓周運動軌跡
假設電子繞一與xy平面夾45度的圓形軌道運轉 ， 物質波振盪方向為軌道方向。

* **$\rho$** : $r + (R - r)\sin{\omega_2t}$

* **$\theta$** : $\omega t$

* **$\phi$** : $arccot({-\cos{\omega t}})$
### 坐標系
接下來的推導中，我們選用球坐標系作為我們的坐標系，向量形式為 :

$v =(\rho , \theta , \phi)$

### 推導
首先我們假設坐標系旋轉角速度僅在$\theta$方向，並且成一個簡協振盪 ，我們期望這個假設能讓軌跡擴散成電子雲的樣貌。
$\omega$ = $( 0 , B\sin{\omega_3 t} , 0)$

接著我們利用公式計算非慣性坐標系下的觀察結果

$V_f = v_r + \omega \times r$

$V_f$ = 非慣性坐標系中的速度
$v_r$ = 慣性坐標系下的速度
$r$ = 墊子慣性坐標系中的軌跡

接著將右式積分，得到 :
* **$\rho$** : $r + (R - r)\sin{\omega_2t}$ + $(B\sin{\omega_2t}$$\times arccot({-\cos{\omega t}}) dt)$

* **$\theta$** : $\omega t$

* **$\phi$** : $arccot({-\cos{\omega t}})$  -  $\ \frac{r + (R - r)\sin{\omega_2t}B\cos{\omega_3t}}{\omega_3}$
### 電腦模擬軌跡
由於$\rho$的第二項無法積分，因此我們採用 $f(t) * dt$ 的方法來得到該項的值。接著利用程式畫出下列的軌跡圖，軌跡圖皆為一個周期的軌跡 ( 當軌跡重複 )。

設定參數時考慮$\omega$的數量級$10^{17}$，以保持在同個尺度下。
此實驗中 dt = $10^{-19}$ (s)

*軌跡圖xy軸的單位長度不一樣 , 更真實的軌跡會再經過壓縮*

**1  . 變更物質波最大振幅**
#### 軌跡 1
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* *電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.005\times r$*  (m)
* **坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{18}$** (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

![](https://i.imgur.com/IDJcfVJ.jpg)

![](https://i.imgur.com/xEa7P4o.jpg)



#### 軌跡 2
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* *電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.5\times r$*  (m)
* **坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{18}$** (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)


![](https://i.imgur.com/6piHgvw.jpg)

![](https://i.imgur.com/PTYw7TH.jpg)
:


#### 軌跡 3
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* *電子物質波最大振幅(半徑) R = $2\times r$*  (m)
* **坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{18}$** (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

![](https://i.imgur.com/uLRrVxn.png)

![](https://i.imgur.com/1t3ZgPj.png)



**2 . 變更座標系震盪頻率** -> 比較酷的地方 ！
電子等速圓周運動週期 T 為$\frac{2\pi}{\omega}$ , 數量級為$10^{-18}$ (s),繪製經歷多個圓周週期的電子xy平面軌跡圖 .
#### 軌跡 1
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* **電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.05\times r$**  (m)
* *坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{15}$* (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

**t = $2\times 10^3T$**

![](https://i.imgur.com/r76G9X7.jpg)


**t = $3\times 10^3T$**

![](https://i.imgur.com/3MLZxJQ.jpg)

#### 軌跡 2
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* **電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.05\times r$**  (m)
* *坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{16}$* (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

**t = $3\times 10^3T$**

![](https://i.imgur.com/xKE3Ih3.jpg)

#### 軌跡 3
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* **電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.05\times r$**  (m)
* *坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{17}$* (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

**t = $3\times 10^4T$**
![](https://i.imgur.com/U5ejFNn.jpg)

#### 軌跡 4
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* **電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.05\times r$**  (m)
* *坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{18}$* (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

**t = $1\times 10^3T$**

![](https://i.imgur.com/xEa7P4o.jpg)

#### 軌跡 5
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* **電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.05\times r$**  (m)
* *坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{19}$* (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

**t = $2.5\times 10^3T$**
![](https://i.imgur.com/bQ8DhxB.jpg)

#### 軌跡 6
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* **電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.05\times r$**  (m)
* *坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{20}$* (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

**t = $6\times 10^3T$**
![](https://i.imgur.com/MhqzHh6.jpg)

#### 軌跡 7
參數 : 
* **電子物質波振盪頻率 $\frac{\omega_2}{2\pi}$ = $1.4226\times10^{18}$** (1/s)
* **電子物質波最大振幅(半徑) R = $1.05\times r$**  (m)
* *坐標系旋轉振盪頻率 $\frac{\omega_3}{2\pi}$ = $1.5707\times10^{25}$* (1/s)
* **坐標系旋轉最大角速度 $B$ = $10^{8}$**  (m)

**t = $3\times 10^3T$** 
![](https://i.imgur.com/SHEXAhC.jpg)


  *綜合數量級20的軌跡圖,猜測數量級 >20 皆為此類軌跡*
### 小結
觀察軌跡圖後，我們發現在特定的區域電子的軌跡高度重疊，我們認為這符合了電子雲中特定區域機率密度較高的實驗結果，其中調整座標系旋轉的頻率造成的軌跡圖也十分的特別,有些軌跡疊合起來就像電子層的光暈圖一般.但遺憾的是，偏移後的軌跡並有擴散到整個球面，這或許是因為我們的旋轉僅限於$\theta$方向的緣故，造成偏移只有在平面上進行。





