# Baysian

## 貝氏濾波 (Bayes filters)

為了達到即時處理且完整的影像追蹤效果，常利用機率的方法處理資料，來解決影像感測器所產生的一些問題，例如相似物體成像干擾、複雜環境、遮蔽、光亮變化等雜訊。

Bayes filters are a probabilistic tool for estimating the state of dynamic systems.

### 貝氏定理 (Bayes Formula)

基本公式 : P(x|y) = P(y|x)．P(x)

P(x) : 事前機率 (prior probability)
P(x|y) : 事後機率 (posteriorior probability) -> ==我們所關心的==
P(y|x) : 可能性函數 (likelihood function)
P(y) : 全機率 (total probability)

概念 : 希望透過已知的事前機率 P(x|y) ，透過貝氏定理得到事後機率 P(y|x)

:::info
==用一個情境來舉例==
假設我們希望透過機器人的眼睛判斷一個門是 open 還是 closed ，所以我們必須知道這個判斷「到底有多準」，即在機器人「認為」門是開著的情況下，門「真的」是開著的機率

根據貝氏定理 : P(x|y) = P(y|x)．P(x)
其中，
P(x) 為門開著的機率 ( P(x') 即為門關著的機率)
P(y) 為機器人看到門開著的機率
P(x|y) : 為在機器人「認為」人是開著的情況下，門「真的」是開著的機率 (這個代表正確性)
P(y|x) : 為在門開著的情況下，機器人認為門是開著的機率 (這個代表機器人的辨識能力)

例如，P(y|x) = 0.6 P(y|x') = 0.3 P(x) = P(x') = 0.5
則根據貝氏定理，我們可以得到 P(x|y) = 0.67 ，而這個值越接近1越好
:::

### Recursive Bayesian Updating

接下來的問題是，在不斷地得到「不一定正確」的estimate info. 下，要如何更新 P(x|y) ?

廣義的貝氏定理 :
>>缺公式

其中，表示為所有從 T=1 到 T=t 的量測資訊
>>缺公式

利用 ==Markov assumption== 來簡化問題！

馬可夫假設可以理解成，在已知狀態的條件下，量測值只與當下的環境有關
` yt is independent of y1, y2, ..., yt-1, if we know x`

所以可以簡化為
>>缺公式

:::info
在剛剛的情境下，若得到第二筆資料 : P(y2|x) = 0.5 P(y|x') = 0.6
則我們可以得到， P(x|y1, y2) = 0.625
而隨著不斷獲得資料，可以得到 p(x|y1,..., yt)
:::

### Add Action Control

通常我們希望機器人對於感測器的結果是有回授的，所以加入控制的變數 u ，而 P(x|u,x') 代表藉由 u 這個 action 將 x' 狀態改變為 x 的機率。

digraph finite_state_machine {
	rankdir=LR;
	size="8,5"
	node [shape = ellipse]; open, closed;
    open -> closed [ label = "0.9"];
    open -> open [ label = "0.1" ];
    closed -> open [ label = "0"];
    closed -> closed [ label = "1"];
}

這裡會用到 ==Law of total probability==！

全機率定理 ： 在 B1, B2,..., Bk 為兩兩互斥且聯集構成的樣本空間中，對於任一事件 A ， P(A) = P(A|B1)．P(B1) + P(A|B2)．P(B2) + ... + P(A|Bk)．P(Bk)

Discrete case :
Continuous case :
>>缺公式

:::info
在剛才的舉例中，我們可以算出
P(x'|u) = P(x'|u, x')．P(x') + P(x'|u, x)．P(x) = 15/16

其中，
P(x'|u) 為門成功被關起來的機率
P(x'|u, x')．P(x') 為門原本關著，經過action後關著的機率
P(x'|u, x)．P(x) 為門原本開著，經過action後關著的機率
:::

### Bayes filters

Given :
1. 一連串的觀察資訊 ( y ) 及動作 ( u )
2. Sensor model P(y|x)
3. Action model P(x|u, x')
4. P(x)

Wanted :
可信任函式 (Belief function)
==Bel(xt) = P(xt|u1, y2, u2, y3,..., ut-1, yt)==
即在一連串的estimate與action後，狀態 x 的機率。

數學推導：
>>缺公式

貝氏濾波被應用在許多地方，如
1. Kalman filters
2. Multi-hypothesis tracking
3. particle filters

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## 卡爾曼濾波 (Kalman filters)

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