# 高中常用微積分方法筆記
**寫在前面：**
這份筆記是我高一在學高中理科常用微積分方法工具時寫的筆記，順便練習一下$\LaTeX$，內容多參酌維基百科、中央大學微積分講義部分內容、3B1B影片等，公式等都是自己推導過一次，不慎嚴謹且多為口語化敘述，有許多可更正之處，任何意見與指教都非常歡迎留言提出。
## 微分定義
\\[\frac{d}{dx}x^n=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\]
這是最基本的微分公式（一階常微分），等號左邊及代表對$x^n$進行1次微分，右邊為在$h$極小的情況下其$y$的變量，也就是$\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$，$h\to0$的極限。
## 微分公式及推導流程
### 1.$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$
(1)證明：
\\[\begin{align}
\frac{d}{dx}x^n=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{(\sum\limits_{k=0}^{n}C^n_kx^{n-k}h^k)-x^n}{h}\\=&\lim_{h\to0}\sum\limits_{k=1}^{n}C^n_kx^{n-k}h^{k-1}=C^n_1x^{n-1}=nx^{n-1}
\end{align}\\]
(1)ex:微分$f(x)=x^3$
\\[\begin{align}
\frac{d}{dx}x^3=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}\\
=&\lim_{h\to0}3x^2+3xh+h^2\\
=&3x^2\\
\end{align}\\]
(2)ex:微分$f(x)=\sqrt{x}$
\\[\begin{align}
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\
分子分母同乘→=&\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}·\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{h}{h\sqrt{x+h}+h\sqrt{x}}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\
h趨近0\\
=&\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
=&\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\
\end{align}\\]
(3)ex:微分$f(x)=\frac{1}{x}$
\\[\begin{align}
\frac{d}{dx}·\frac{1}{x}=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{-1}-x^{-1}}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}·\frac{1}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{-h}{hx(x+h)}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)}\\
h趨近0\\
=&\frac{-1}{x^2}\\
=&-x^{-2}\\
(符合公式)\\
\end{align}\\]
(4)[三角函數的微分推導](https://hackmd.io/@yizhewang/ByYM9gfc4?type=view)
### 2.$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)$
(1)證明：令$S(x)=f(x)+g(x)，f(x),g(x)皆可微$
\\[
\begin{align}
S'(x)=&\lim_{h\to0}\frac{S(x+h)-S(h)}{h}\\=&\lim_{h\to0}\frac{[f(x+h)+g(x+h)]-[f(h)+g(h)]}{h}\\=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(h)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(h)}{h}\\=&f'(x)+g'(x)
\end{align}
\\]
### 3.$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$
(1)說明：$令F(x)=f(x)g(x)$
\\[
\begin{align}
F'(a)=&\lim_{x\to a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\
注意這裡比較技巧→=&\lim_{x\to a}\frac{[f(x)g(x)-f(a)g(x)]+[f(a)g(x)-f(a)g(a)]}{x-a}\\
=&\lim_{x\to a}\frac{g(x)[f(x)-f(a)]+f(a)[g(x)-g(a)]}{x-a}\\
=&\lim_{x\to a}g(x)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\lim_{x\to a}f(a)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\
x趨近a\\
=&g(a)f'(a)+f(a)g'(a)\\
\end{align}
\\]
所以$F'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$
(2)[3B1B的視覺化推導](https://youtu.be/YG15m2VwSjA?list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&t=136)
### 4.$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$
(1)說明：
令$y=f(a)$，$y$為$a$的可微函數，其導數$\frac{dy}{da}$存在;
且$a=g(x)$，$a$為$x$的可微函數，其導數$\frac{da}{dx}$存在
得到$y=f(g(x))$，對其微分
\\[
\begin{align}
y=&f(g(x))\\
\frac{dy}{dx}=&\frac{dy}{da}·\frac{da}{dx}\\
f'(g(x))=&f'(a)g'(x)\\
=&f'(g(x))g'(x)
\end{align}
\\]
所以$f'(g(x))=f'(g(x))g'(x)$。
### 5.$\frac{d}{dx}a^x=(\ln a)a^x$
*可以先看看下方對於$e$的說明
(1)說明：
\\[a^x=e^{\ln a^x}=e^{x\ln a}
\rightarrow\frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}\\]
運用連鎖律
令$u=x\ln a$
\\[\begin{align}
\frac{d}{dx}e^u=&\frac{d}{du}e^u·\frac{du}{dx}\\
(根據e的性質，\frac{d}{dx}e^u=e^u)&=e^u·\frac{dx\ln a}{dx}\\
&=e^u·\ln a\\
&=e^{\ln a^x}·\ln a\\
&=a^x·\ln a
\end{align}\\]
所以$\frac{d}{dx}a^x=(\ln a)a^x$。
### 6.$\frac{d}{dx}\log_a{x}=\frac{1}{ x\ln a}$
## $e$與指數函數
$e$，作為數學常數，是自然對數函數的底數，亦稱自然常數、自然底數，或是尤拉數（Euler's number），以瑞士數學家尤拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一個無限不循環小數，數值約是(小數點後$20$位)：$2.71828182845904523536$
### e的定義
\\[e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\\]
### 性質
很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數$e^x$的重要性在於，唯獨該函數（或其常數倍）與自身導數相等。即：
\\[\frac{d}{dx}e^x=e^x\\]
$<pf>:$
\\[
\begin{align}
e^x=&[\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n]^x\\
=&\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{nx}\\
=&\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{nx}C_{k}^{nx}(\frac{1}{n})^k\\
=&\lim_{n\to\infty}(C_{0}^{nx}+C_{1}^{nx}(\frac{1}{n})+...+C_{nx-1}^{nx}(\frac{1}{n})^{nx-1}+C_{nx}^{nx}(\frac{1}{n})^{nx}+...)\\
=&\lim_{n\to\infty}(1+\frac{nx}{1!}·\frac{1}{n}+\frac{nx(nx-1)}{2!}·\frac{1}{n^2}+...+\frac{nx!}{nx!}·\frac{1}{n^{nx}}+...)\\
=&\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{1!}+\frac{x}{2!}(x-\frac{1}{n})+\frac{x}{3!}(x-\frac{1}{n})(x-\frac{2}{n})+...+\frac{x}{nx!}[(x-\frac{1}{n})(x-\frac{2}{n})...(x-\frac{nx-1}{n})])\\
=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\\
\end{align}
\\]
接著，對$e^x$微分
\\[
\begin{align}
\frac{d}{dx}e^x=&\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}·\frac{x^n}{n!}\\
=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}\\
=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}\\
=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\\
=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\\
=&e^x\\
\end{align}
\\]
故得證。
另外對於底數為$e$的對數$\log_e x$我們也可將其記為$\ln x$，稱為自然對數。
值得注意的是，大學課本是先定義$\ln x$才有其他東西。
## 三角函數與單位圓的關係