# 數值確定最優交易規則
今天我們將探討最優交易規則的推導和作法，尤其是針對一般和Ornstein-Uhlenbeck（O-U）模型。首先來找出最優交易規則。

## 算法
該算法包括五個連續的步驟。

### 步驟1：
我們通過線性化方程$13.2$來估計輸入參數${\sigma,\phi}$，如下：

$$
Pi,t=E0[Pi,Ti]+\phi(Pi,t-1-E0[Pi,Ti])+\xi_t\quad
$$

>$$
>P_{i,t}=(1-\phi)E_0[P_{i,T_i}]+ \phi P_{i,t-1}+\sigma\epsilon_{i,t}\quad(13.2)
>$$

其中`E0[Pi,Ti]`是預期價格、`Pi,t-1`是時間延遲項、`ξ_t`是隨機誤差。

然後，我們可以通過序列化機會來假設向量X(過去價格與其預期價格之間的差異)和Y(未來價格)、Z(預期價格)：

$$
X=\begin{pmatrix}
P0,0-E0[P0,T0]\\
P0,1-E0[P0,T0]\\
\vdots\\
P0,T-1-E0[P0,T0]\\
\vdots\\
PI,0-E0[PI,TI]\\
\vdots\\
PI,T-1-E0[PI,TI]
\end{pmatrix}
;Y=\begin{pmatrix}
P0,1\\
P0,2\\
\vdots\\
P0,T\\
\vdots\\
PI,1\\
\vdots\\
PI,T
\end{pmatrix}
;Z=\begin{pmatrix}
E0[P0,T0]\\
E0[P0,T0]\\
\vdots\\
E0[P0,T0]\\
\vdots\\
E0[PI,TI]\\
\vdots\\
E0[PI,TI]
\end{pmatrix}
\quad(5)
$$

對方程$5$應用OLS（最小二乘法），我們可以估計原始的O-U參數：

- X和Y之間協方差與X自身協方差的比值
$$
\hat{\phi}=\frac{{\text{cov}[Y,X]}}{{\text{cov}[X,X]}}
$$

- Y、Z和$\hat{\phi}X$的線性組合
$$
\hat{\xi}_t=Y-Z-\hat{\phi}X\quad
$$
- $\hat{\xi}_t$的隨機誤差的標準差
$$
\hat{\sigma}=\sqrt{{\text{cov}[\hat{\xi}_t,\hat{\xi}_t]}}
$$

其中$\text{cov}[\cdot,\cdot]$是協方差運算符。

### 步驟2：
我們構建一個停損和獲利配對的網格，$(\pi,\bar{\pi})$。
例如，一個笛卡兒積$\pi=\{-\frac{\sigma}{2},-\sigma,\ldots,-10\sigma\}$和$\bar{\pi}=\{\frac{\sigma}{2},\sigma,\ldots,10\sigma\}$給我們提供了$20\times20$的節點，每個節點都構成了一個替代交易規則$R\in\Omega$。

>笛卡兒積：從兩個或多個集合中選擇所有可能的配對。在這個案例中，有兩個集合，一個是停損值（π）的集合，另一個是獲利值（$\bar{\pi}$）的集合。

### 步驟3：
我們生成大量的路徑（例如，100,000條）用於$\pi_i,t$，應用我們的估計值$\{\hat{\sigma},\hat{\phi}\}$。作為初始值，我們使用與機會i相關的觀察到的初始條件\{Pi,0,E0[Pi,Ti]\}。由於一個部位不能無限期地持有，我們可以設定一個最大持有期（例如，100個觀察值），此時即使$\pi\leq\pi_{i,100}\leq\bar{\pi}$，位置也會被結束。這個最大持有期相當於最前面label的0(到期)。

### 步驟4：
我們在步驟2中生成的$20\times20$網格$(\pi,\bar{\pi})$的每個節點上應用步驟3中生成的100,000條路徑。對於每個節點，我們應用停損和獲利邏輯，給我們100,000個$\pi_{i,Ti}$值。同樣地，對於每個節點，我們計算與該交易規則相關的夏普比率，如先前提到的方程所描述(重新寫在下方)。這個結果可以用三種不同的方式使用：步驟5a、步驟5b和步驟5c。

>$$
>SRR=\frac{E[\pi_{i,T_i}|R]}{\sigma[\pi_{i,T_i}|R]}
>$$

# 步驟5：
有三個子步驟去確認最佳的交易規則：

### 步驟5a：
我們確定交易規則網格內最優的配對(夏普比率SSR最大的)$(\pi,\bar{\pi})$，給定輸入參數$\{\hat{\sigma},\hat{\phi}\}$和觀察到的初始條件$\{Pi,0,E0[Pi,Ti]\}$。

### 步驟5b：
如果策略S為特定機會i提供了一個獲利目標$\pi_i$，我們可以結合步驟4的結果來確定最佳的停損$\pi_i$。

### 步驟5c：
如果對機會i施加了最大停損$\pi_i$，我們可以結合步驟4的結果，在停損範圍$[0,\pi_i]$內確定最佳的獲利$\pi_i$。

[Bailey和LopezdePrado](https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2197616)證明了方程$(13.2)$中過程的半壽期$\tau$是$\tau=-\frac{{\log[2]}}{{\log[\phi]}}$，其中要求$\phi\in(0,1)$。從這個結果，我們可以確定與某個半壽期$\tau$相關的$\phi$值，即$\phi=2^{-\frac{1}{\tau}}$。

### 實作

實作明天再說~~