# Euclid空間上の有限個の点と合同変換 [公開版]
###### tags: `幾何学`
$%2018/01/19
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## 要約
$d$次元Euclid空間上の$n$点の組$(\boldsymbol{p}_1,\dots,\boldsymbol{p}_n),(\tilde{\boldsymbol{p}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{p}}_n)$の対応する距離が等しい, つまり$d(\boldsymbol{p}_i,\boldsymbol{p}_j)=d(\tilde{\boldsymbol{p}}_i,\tilde{\boldsymbol{p}}_j)$が成り立つとする.
このとき, 合同変換$T$が存在して$T(\boldsymbol{p}_i)=\tilde{\boldsymbol{p}}_i$とできる.
この主張は自明に思えるが, ちゃんと証明しようとすると少し掛かる.
## 本文
補題と定理の関係は次の図である.
```graphviz
digraph hierarchy {
nodesep=1.0 // increases the separation between nodes
node [color=Red,fontname=Courier,shape=box] //All nodes will this shape and colour
edge [color=Blue, style=dashed] //All the lines look like this
補題1->{補題4}
補題2->{補題3,補題5}
補題3->{補題4}
補題4->{補題6}
補題5->{補題6}
補題6->{定理}
補題7->{定理}
}
```
### 定義
2つのベクトルの組$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n)$, $(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$が**合同的**(独自用語)であるとは任意の$i, j$に対して
\begin{align}
\boldsymbol{q}_i\cdot \boldsymbol{q}_j
=\tilde{\boldsymbol{q}}_i\cdot \tilde{\boldsymbol{q}}_j
\end{align}
が成り立つことである.
### 補題1
2つのベクトルの組$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n)$, $(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$が合同的であるとする.
このとき, 任意に取った実数$a_i$から$\boldsymbol{v}=\sum_i a_i \boldsymbol{q}_i, \tilde{\boldsymbol{v}}=\sum_i a_i \tilde{\boldsymbol{q}}_i$を構成すれば, $(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{v})$, $(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{v}})$もまた合同的である.
#### 証明
任意の$i$に対して
\begin{align}
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{q}_i
=\Pare{\sum_j a_j \boldsymbol{q}_j}\cdot\boldsymbol{q}_i
=\Pare{\sum_j a_j \tilde{\boldsymbol{q}}_j}\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_i
=\tilde{\boldsymbol{v}}\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_i
\end{align}
であるから$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{v})$, $(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{v}})$は合同的である.
### 補題2
線形空間$V$に内積$\cdot$が入っているとする.
$V$から有限個の元$v_i (i=1,\dots,m)$を取って構成される空間$W=\span\pare{v_1,\dots,v_m}$を考える.
(各$v_i$は線形独立とは限らないことに注意)
このとき, 任意の$w\in W$に対して, $\forall i \in [1,m]_{\setZ}, w\cdot v_i=0$であれば$w=0$である.
#### 証明
$v_i$から適当に線形独立なものを選んで$u_j$が$W$の基底になるようにする.
このとき, $w=\sum_j a_ju_j$を充たす係数$a_j$が一意的に存在する.
よって任意の$i$に対して
\begin{align}
0
=w\cdot u_i
=\sum_j a_j u_j\cdot u_i
=\sum_j a_j S_{ji}
\end{align}
である.
ここで, $S_{ji}$は内積の公理から正定値対称行列であり, 逆行列が存在.
よって$a_j$は$0$である.
補足: $S_{ij}=u_j\cdot u_i$の正定値対称性について
* **対称性**
内積の対称性から従う.
* **正定値性**
正定値で無ければ, $\sum_{ij}b_iS_{ij}b_j=0$を充たす数ベクトル$b\neq 0$が存在し, ベクトル$\sum_i b_i u_i$の長さが$0$になって内積の非退化性に矛盾.
### 補題3
合同的な2つのベクトルの組$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n)$, $(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$に関して次が成り立つ.
\begin{align}
\sum_{k}a_k\boldsymbol{q}_k=0
\Rightarrow \sum_{k}a_k\tilde{\boldsymbol{q}}_k=0
\end{align}
#### 証明
$\boldsymbol{q}_l$との内積を取って
\begin{align}
0
=\sum_{k}a_k\boldsymbol{q}_k\cdot\boldsymbol{q}_l
=\sum_{k}a_k\tilde{\boldsymbol{q}}_k\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_l
\end{align}
であるから, 補題2より, $\sum_{k}a_k\tilde{\boldsymbol{q}}_k=0$である.
### 補題4
2つのベクトルの組$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n)$, $(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$を合同的とする.
Schmidtの直交化で$\boldsymbol{q}_i, \tilde{\boldsymbol{q}}_i$から$\boldsymbol{e}_i, \tilde{\boldsymbol{e}}_i$を構成する.
このとき, 新しく構成した2つのベクトルの組
\begin{align}
(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_r),
(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{e}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{e}}_r)
\end{align}
は合同的である.
#### 証明
Schmidtの直交化と言っても, 元のベクトルの組$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n)$が一次独立とは限らないから, それに関する処理が必要となる. (つまり$r\le n$である)
\begin{align}
\boldsymbol{e}_1
=\frac{\boldsymbol{q}_1}{\Abs{\boldsymbol{q}_1}},
\tilde{\boldsymbol{e}}_1
=\frac{\tilde{\boldsymbol{q}}_1}{\Abs{\tilde{\boldsymbol{q}}_1}}
\end{align}
で$\boldsymbol{e}_1,\tilde{\boldsymbol{e}}_1$を定義する.
合同的の条件から, $\Abs{\boldsymbol{q}_1}=\Abs{\tilde{\boldsymbol{q}}_1}$であるから, 補題1より$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{e}_1),(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{e}}_1)$は合同的である.
続いて
\begin{align}
\boldsymbol{e}_2
=\frac{\boldsymbol{q}_2-\Pare{\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{q}_2}\boldsymbol{e}_1}{\Abs{\boldsymbol{q}_2-\Pare{\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{q}_2}\boldsymbol{e}_1}},
\tilde{\boldsymbol{e}}_2
=\frac{\tilde{\boldsymbol{q}}_2-\Pare{\tilde{\boldsymbol{e}}_1\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_2}\tilde{\boldsymbol{e}}_1}{\Abs{\tilde{\boldsymbol{q}}_2-\Pare{\tilde{\boldsymbol{e}}_1\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_2}\tilde{\boldsymbol{e}}_1}}
\end{align}
で$\boldsymbol{e}_2,\tilde{\boldsymbol{e}}_2$を定義する.
$\boldsymbol{e}_2,\tilde{\boldsymbol{e}}_2$はそれぞれ$\boldsymbol{q}_i,\tilde{\boldsymbol{q}}_i$の線型結合で書けて, 合同的の条件からその係数は等しい.
よって, 補題1より$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2),(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{e}}_1,\tilde{\boldsymbol{e}}_2)$は合同的である.
ただし, $\boldsymbol{q}_1$と$\boldsymbol{q}_2$が線形独立でない場合は$\boldsymbol{q}_2-\Pare{\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{q}_2}\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{0}$となるが, このとき補題3より, $\tilde{\boldsymbol{q}}_2-\Pare{\tilde{\boldsymbol{e}}_1\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_2}\tilde{\boldsymbol{e}}_1=\boldsymbol{0}$となる.
つまり, 線形従属は合同的の仮定の下で対応している事が分かった.
この場合は, $\boldsymbol{q}_2$の代わりに$\boldsymbol{q}_3$を使う事で線形独立性を持たせる事ができる.
(この操作で$r$が$n$より小さくなる)
同様に
\begin{align}
\boldsymbol{e}_3
=\frac{\boldsymbol{q}_3-\Pare{\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{q}_3}\boldsymbol{e}_1-\Pare{\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{q}_3}\boldsymbol{e}_2}{\Abs{\boldsymbol{q}_3-\Pare{\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{q}_3}\boldsymbol{e}_1-\Pare{\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{q}_3}\boldsymbol{e}_2}},
\tilde{\boldsymbol{e}}_3
=\frac{\tilde{\boldsymbol{q}}_3-\Pare{\tilde{\boldsymbol{e}}_1\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_3}\tilde{\boldsymbol{e}}_1-\Pare{\tilde{\boldsymbol{e}}_2\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_3}\tilde{\boldsymbol{e}}_2}{\Abs{\tilde{\boldsymbol{q}}_3-\Pare{\tilde{\boldsymbol{e}}_1\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_3}\tilde{\boldsymbol{e}}_1-\Pare{\tilde{\boldsymbol{e}}_2\cdot\tilde{\boldsymbol{q}}_3}\tilde{\boldsymbol{e}}_2}}
\end{align}
とすれば$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3),(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{e}}_1,\tilde{\boldsymbol{e}}_2,\tilde{\boldsymbol{e}}_3)$は合同的である.
よって以上の操作を繰り返していって
\begin{align}
(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_r),
(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{e}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{e}}_r)
\end{align}
は合同的となる.
ここで, $(\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_r), (\tilde{\boldsymbol{e}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{e}}_r)$はそれぞれ$\span(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n), \span(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$の正規直交基底になっている.
### 補題5
2つのベクトルの組$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{v})$, $(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{v}})$を合同的とする.
このとき, $\boldsymbol{v}=\sum_{i}a_i\boldsymbol{q}_i$を充たす$a_i$が存在すれば$\tilde{\boldsymbol{v}}=\sum_{i}a_i\tilde{\boldsymbol{q}}_i$である.
(これは補題1の逆(のようなもの)である.)
#### 証明
$\boldsymbol{v}-\sum_{i}a_i\boldsymbol{q}_i=0$であり, 補題2より$\tilde{\boldsymbol{v}}-\sum_{i}a_i\tilde{\boldsymbol{q}}_i=0$である.
### 補題6
$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n)$, $(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$を合同的なベクトルの組とし, $\boldsymbol{q}_i, \tilde{\boldsymbol{q}}_i\in\setR^d$とする.
このとき, 直交行列$R\in O(d)$が存在して$R(\boldsymbol{q_i})=\tilde{\boldsymbol{q_i}}$とできる.
#### 証明
補題4より, 合同的なベクトルの組
\begin{align}
(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_r),
(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{e}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{e}}_r)
\end{align}
が構成できる.
$\span(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n), \span(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$の直交補空間$\span(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n)^{\perp}, \span(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)^{\perp}$はともに$d-r$次元であり, 正規直交基底$(\boldsymbol{e}_{r+1},\cdots,\boldsymbol{e}_{d}), (\tilde{\boldsymbol{e}}_{r+1},\cdots,\tilde{\boldsymbol{e}}_{d})$が取れる.
(ここに任意性が入る.)
さらに次のベクトルの組は合同的になる.
\begin{align}
(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n,\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_{d}),
(\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n,\tilde{\boldsymbol{e}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{e}}_{d})
\end{align}
ここで$R\in O(d)$を次のように定義する.
\begin{align}
R
=\begin{pmatrix}
\tilde{\boldsymbol{e}}_1
&\cdots
&\tilde{\boldsymbol{e}}_d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\transpose{\boldsymbol{e}_1} \\
\vdots \\
\transpose{\boldsymbol{e}_d} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
この$R$について
\begin{align}
R\boldsymbol{e}_i
&=\begin{pmatrix}
\tilde{\boldsymbol{e}}_1
&\cdots
&\tilde{\boldsymbol{e}}_d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\transpose{\boldsymbol{e}_1} \\
\vdots \\
\transpose{\boldsymbol{e}_d} \\
\end{pmatrix}\boldsymbol{e}_i \\
&=\begin{pmatrix}
\tilde{\boldsymbol{e}}_1
&\cdots
&\tilde{\boldsymbol{e}}_d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
1\ (i\text{-th}) \\
\vdots \\
0 \\
\end{pmatrix} \\
&=\tilde{\boldsymbol{e}}_i
\end{align}
が成り立つ.
$\boldsymbol{e}_i$は$\setR^d$の基底だから$\boldsymbol{q}_i=\sum_{j}a_{ij}\boldsymbol{e}_j$を充たす$a_{ij}\in\setR$が存在する.
よって補題5より, $\tilde{\boldsymbol{q}}_i=\sum_{j}a_{ij}\tilde{\boldsymbol{e}}_j$である.
\begin{align}
R(\boldsymbol{q}_i)
=R\Pare{\sum_{j}a_{ij}\boldsymbol{e}_j}
=\sum_{j}a_{ij}R\Pare{\boldsymbol{e}_j}
=\sum_{j}a_{ij}\tilde{\boldsymbol{e}}_j
=\tilde{\boldsymbol{q}}_i
\end{align}
である.
### 補題7
$\setR^d$上の$n$点から成る2つの組$(\boldsymbol{p}_1,\dots,\boldsymbol{p}_n), (\tilde{\boldsymbol{p}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{p}}_n)$に関して, 対応する点の距離が等しい, つまり任意の$i,j$に対して
\begin{align}
d(\boldsymbol{p}_i,\boldsymbol{p}_j)=d(\tilde{\boldsymbol{p}}_i,\tilde{\boldsymbol{p}}_j)
\end{align}
が成り立つとする.
ここで$d(\ {\cdot}\ ,\ {\cdot}\ )$は内積から誘導される通常の距離$d(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=\norm{\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}}, \norm{\boldsymbol{v}}=\sqrt{\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{v}}$である.
このとき$\boldsymbol{q}_i, \tilde{\boldsymbol{q}}_i$を
\begin{align}
\boldsymbol{q}_i&=\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{p}_n \\
\tilde{\boldsymbol{q}}_i&=\tilde{\boldsymbol{p}}_i-\tilde{\boldsymbol{p}}_n
\end{align}
で定義すれば, 2つのベクトルの組$(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n), (\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$は合同的である.
#### 証明
任意の$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\setR^d$について
\begin{align}
\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}
&=\sum_{i}u_iv_i \\
&=-\sum_{i}\Pare{u_i-v_i}^2/2+\sum_{i}{u_i}^2/2+\sum_{i}{v_i}^2/2 \\
&=\frac{\norm{\boldsymbol{u}}^2+\norm{\boldsymbol{v}}^2-\norm{\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}}^2}{2}
\end{align}
である.
よって任意の$i,j$に対して
\begin{align}
\boldsymbol{q}_i\cdot \boldsymbol{q}_j
&=\Pare{\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{p}_n}\cdot\Pare{\boldsymbol{p}_j-\boldsymbol{p}_n} \\
&=\frac{\norm{\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{p}_n}^2+\norm{\boldsymbol{p}_j-\boldsymbol{p}_n}^2-\norm{\Pare{\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{p}_n}-\Pare{\boldsymbol{p}_j-\boldsymbol{p}_n}}^2}{2} \\
&=\frac{d\pare{\boldsymbol{p}_i,\boldsymbol{p}_n}^2+d\pare{\boldsymbol{p}_j,\boldsymbol{p}_n}^2-d\pare{\boldsymbol{p}_i,\boldsymbol{p}_j}^2}{2} \\
&=\frac{d\pare{\tilde{\boldsymbol{p}}_i,\tilde{\boldsymbol{p}}_n}^2+d\pare{\tilde{\boldsymbol{p}}_j,\tilde{\boldsymbol{p}}_n}^2-d\pare{\tilde{\boldsymbol{p}}_i,\tilde{\boldsymbol{p}}_j}^2}{2} \\
&=\frac{\norm{\tilde{\boldsymbol{p}}_i-\tilde{\boldsymbol{p}}_n}^2+\norm{\tilde{\boldsymbol{p}}_j-\tilde{\boldsymbol{p}}_n}^2-\norm{\Pare{\tilde{\boldsymbol{p}}_i-\tilde{\boldsymbol{p}}_n}-\Pare{\tilde{\boldsymbol{p}}_j-\tilde{\boldsymbol{p}}_n}}^2}{2} \\
&=\Pare{\tilde{\boldsymbol{p}}_i-\tilde{\boldsymbol{p}}_n}\cdot\Pare{\tilde{\boldsymbol{p}}_j-\tilde{\boldsymbol{p}}_n} \\
&=\tilde{\boldsymbol{q}}_i\cdot \tilde{\boldsymbol{q}}_j
\end{align}
であり, $(\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_n), (\tilde{\boldsymbol{q}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{q}}_n)$は合同的である.
### 定理
$\setR^d$上の$n$点から成る2つの組$(\boldsymbol{p}_1,\dots,\boldsymbol{p}_n), (\tilde{\boldsymbol{p}}_1,\dots,\tilde{\boldsymbol{p}}_n)$に関して, 対応する点の距離が等しい, つまり
\begin{align}
d(\boldsymbol{p}_i,\boldsymbol{p}_j)=d(\tilde{\boldsymbol{p}}_i,\tilde{\boldsymbol{p}}_j)
\end{align}
が成り立つとする.
このとき, 合同変換$T$が存在して
\begin{align}
T(\boldsymbol{p}_i)
=\tilde{\boldsymbol{p}}_i
\end{align}
が成り立つ.
ただし, ここでの合同変換とは直交行列による変換とベクトルによる平行移動の組み合わせで書ける変換のことである.
#### 証明
補題7のように$\boldsymbol{q}_i, \tilde{\boldsymbol{q}}_i$を構成して, 補題6のように$R\in O(d)$を構成する.
ここで, 合同変換$T:\setR^d\to\setR^d$を
\begin{align}
T(\boldsymbol{v})
=R(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}_n)+\tilde{\boldsymbol{p}}_n
\end{align}
で定義すれば
\begin{align}
T(\boldsymbol{p}_i)
&=R(\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{p}_n)+\tilde{\boldsymbol{p}}_n \\
&=R(\boldsymbol{q}_i)+\tilde{\boldsymbol{p}}_n \\
&=\tilde{\boldsymbol{q}}_i+\tilde{\boldsymbol{p}}_n \\
&=\tilde{\boldsymbol{p}}_i
\end{align}
である.
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