おしながき

• 自己紹介
• 3次元の回転って？
• Rotations.jlの紹介
• 面白い結果(a) \(\operatorname{SO}(3)\)の可視化
• 面白い結果(b) Thomson問題の拡張
• まとめ

過去の関連発表

\(\operatorname{SO}(3)\)と\(\operatorname{SU}(2)\)の対応関係について話しました

• 逆数の作図からCayley変換まで / 第1回日曜数学会
  
• Riemann球面に内接する直方体 / 第4回日曜数学会
  

Rotations.jlとの関わり

3次元回転をJuliaで扱うためのパッケージ

• 1ヶ月前(2021/04/08)からcontribution開始
  • PR 8つ (merged 3つ)
  • issue 7つ
• 3次元回転を完全に理解したぞ！
  • 今日はその報告です

そもそも回転とは

• 原点の位置を変えない合同変換
  • (普通は)Eudlid空間での合同変換
  • ただし鏡像は除く
• 線形代数の言葉で言えば…
  • 直交行列による変換 (\(R^{-1}=R^{\top}\)となる行列)
  • ただし行列式は1
• 一般には\(n\)次の回転行列まで考えれる
  • \(\operatorname{SO}(n)\)と書く
  • Rotations.jlでは(基本的に)3次のみ扱う

\(\operatorname{SO}(3)\)の性質① 元の可視化

\(\color{red}{x},\color{green}{y},\color{blue}{z}\)軸の正規直交基底の"姿勢"が\(\operatorname{SO}(3)\)の元

\(\operatorname{SO}(3)\)の性質② 空間の次元

• 与えられた姿勢への到達に、3回の座標軸回転が必要
  • Euler角と呼ばれる (回転順序によって12種類存在)
    • \(\color{blue}{z}\text{-}\color{red}{x}\text{-}\color{blue}{z}, \color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}, \color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}\text{-}\color{green}{y}, \color{blue}{z}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}, \color{red}{x}\text{-}\color{blue}{z}\text{-}\color{red}{x}, \color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\) 狭義Euler角
    • \(\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}, \color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}\text{-}\color{red}{x}, \color{blue}{z}\text{-}\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}, \color{red}{x}\text{-}\color{blue}{z}\text{-}\color{green}{y}, \color{blue}{z}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}, \color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}\text{-}\color{blue}{z}\) Tait–Bryan角
• つまり\(\operatorname{SO}(3)\)は3次元の空間！ \(\dim(\operatorname{SO}(3))=3\)
  • より一般に\(\dim(\operatorname{SO}(n))=n(n-1)/2\)

\(\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}回転　/　\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}\)回転

\(\operatorname{SO}(3)\)の性質③ 行列表示

• 3次元なのにパラメータが9つあるように見える
  • \(xy\)平面上の円周\(S^1\)と同じ状況
  • 行列表示すると過剰にパラメータが発生
    • 計算量
    • 計算精度
• 行列表示以外の"良い"パラメータが欲しい！

\(\operatorname{SO}(3)\)の性質④ 固有値と固有ベクトル

• \(R\in \operatorname{SO}(3)\)の固有値は\(\{1,e^{i\theta},e^{-i\theta}\}\)で表示可能
  • 固有値\(1\)に対応する固有ベクトルが回転軸
  • \(\theta\)が回転角
• 任意の回転は「軸回りの回転」として表示可能！
  • 回転軸(2次元)+回転量(1次元)なのでちゃんと3次元
  • Rodriguesの回転公式

\(\operatorname{SO}(3)\)の性質⑤ 準同型な空間など

この辺りから数学的に込み入ってきますが…

• \(\operatorname{SO}(3)\)と\(\operatorname{SU}(2)\)は\(1:2\)に対応(準同型)
  • \(\operatorname{SU}(2)\)は\(\det\)が1のユニタリ行列全体
  • (詳細は以前の発表スライド参照)
• \(\operatorname{SU}(2)\)は「単位長さ四元数全体」と対応(同型)
  • つまり4つの実数で3次元の回転を表現可能
  • パラメータ減ってハッピー！(9→4)
• 「単位長さ四元数」は3次元球面\(S^3\)と対応(同相)
  • \(S^3\subset\mathbb{R}^4\)なので普通の球面ではない
• 立体射影で\(S^3\leftrightarrow\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}\)の対応(同相)
  • パラメータ減ってハッピー！(4→3)

\(\operatorname{SO}(3)\)の性質⑥ まとめ

• \(\operatorname{SO}(3)\)は3次元Lie群！
• 3次行列として表示可能
  • しかし計算には都合が悪い
• 良い感じのパラメータ(座標)が欲しい！
  • 直感的に理解しやすい
  • コンピュータが計算しやすい
  • 数学的なモチベーション → https://twitter.com/phykm/status/1388747029304672261
• 行列表示 / Euler角 / 軸回り回転 / 四元数 / \(\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}\)

Juliaで3次元回転を扱うための
パッケージ比較

• Rotations.jl
  • 回転は3次元行列
  • 最新版v1.0.2
• ReferenceFrameRotations.jl
  • (まだ詳しく触ってないので何とも…)
  • 最新版v0.5.7

Rotations.jlで定義されている型

• 行列表示
  • RotMatrix
• Euler角
  • RotX, RotY, RotZ
  • RotXY, RotYX, RotZY, RotYZ, RotXZ, RotZX
  • RotXYZ, RotXYX, (他10種)
• 軸回り回転
  • AngleAxis
  • RotationVec
• 四元数
  • UnitQuaternion
• \(S^3\)の立体射影
  • MRP (Modified Rodrigues Parameters)
• \(S^3\)の原点からの射影
  • RodriguesParam

<: Rotation <: StaticMatrix <: AbstractMatrix

これらの他にも2次元回転の型もある

使い方の例

using Rotations
# ランダムに回転行列を生成 (Haar測度)
R_uq = rand(UnitQuaternion{Float64})
# 行列に変換
Matrix(R_uq)
# 別のパラメータに変換 (MRP)
R_mrp = MRP(R_uq)
# 別のパラメータに変換 (Euler角)
R_xyz = RotXYZ(R_uq)

このスライドのgifもRotations.jlで計算してます
(レンダリングはPOV-Ray)

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化①

MRPで可視化する！

数学的に込み入ったことは抜きにして…
3次元球内の一点が、一つの姿勢(\(\operatorname{SO}(3)\)の元)を表す！

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化②-x

\(x\)軸回転

原点が単位行列

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化②-y

\(y\)軸回転

球面上の点がちょうど「180°回転」に相当する

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化②-z

\(z\)軸回転

• 一般に左図での「球面内の点と原点を結ぶ直線」は右図での「回転軸」に一致する
• 逆元は原点対称の点

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化③

\(\operatorname{SO}(3)\)の非可換性：\(\color{magenta}{R_x(t)R_y(t)}\)と\(\color{cyan}{R_y(t)R_x(t)}\)の比較

MRP(左)の方が基底の図示(右)よりも把握しやすい

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化④

\(\{R_x(s)R_y(t) \mid s,t\in\mathbb{R}\}\)は群を成さないが…
曲面としては描画できる

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化⑤

ジンバルロック(RotXYX)

\(x\)軸上でめっちゃ密 😷 → Jacobianがゼロ
→ Euler角は\(\operatorname{SO}(3)\)の全体座標に不適格

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化⑥-4/4

\(\operatorname{SO}(3)\)の有限部分群と言えば…正多面体群！

• 正4面体群の位数は12
• \(\operatorname{SU}(2)\)で考えれば24個←正24胞体の頂点に一致！

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化⑥-6/8

• 正6面体群(=正8面体群)の位数は24
• \(\operatorname{SU}(2)\)で考えれば48個←正24胞体の頂点と胞中心に一致！

\(\operatorname{SO}(3)\)の可視化⑥-12/20

• 正12面体群(=正20面体群)の位数は60
• \(\operatorname{SU}(2)\)で考えれば120個←正600胞体の頂点に一致！

Thomson問題とは① 概要

トムソン問題（トムソンもんだい、英: Thomson problem） は、静電エネルギーが最小になるよう単位球面上に N 個の電子を配置する問題である（電子間力はクーロンの法則に従うものとする）。

Wikipediaより

Thomson問題とは② 計算例

• 4,6,8,12,20点で計算
• 4,6,12点の場合のみ、正多面体の頂点に一致

\(\operatorname{SO}(3)\)への拡張

• そもそも\(\operatorname{SO}(3)\)にどうやって距離いれるの？
  • 2点間を結ぶ回転行列の回転角にしよう！
  • Lie代数\(\mathfrak{so}(3)\)に内積(\(\operatorname{SO}(3)\)にRiemann計量)を入れて「最短曲線の長さ」を距離とすることと同じ
• じゃあエネルギーは？
  • Thomson問題に倣って(1/距離)を2点間のエネルギーにしよう！

計算結果

• 12,24,60点で正多面体群が出てくると期待されるが…
• 正多面体群になるのは24,60点のみだった！
  (数値的に実験しただけで厳密に示した訳ではないです)
• スライドが間に合わなかったのでデモします…

感想

• Rotations.jl便利！
  • いろんなパラメータ変換とか有り難い
  • 可視化にも便利
• コンストラクタのベストプラクティスが分からん…
  • コンストラクタで正規化するか否か

今後の予定

• Rotations.jlのバグ修正
  • 私が送ったPR早くレビューして欲しいな
• もう少し真面目にThomson問題を解く
  • 微分方程式系として記述できそう
  • ちゃんと可視化もやる

参考文献など

• Rotations.jl
  • Rotations.jlのリポジトリ
• 逆数の作図からCayley変換まで / 第1回日曜数学会
  • 私の以前の発表
• Riemann球面に内接する直方体 / 第4回日曜数学会
  • 私の以前の発表
• EquallySpacedPointsOnSO3
  • \(\operatorname{SO}(3)\)上でのThomson問題のリポジトリ
• VisualizeSO3
  • このスライドでの図を作ったときのリポジトリ
• 他にも個人ブログ等で参考にしたのあったはず…