# 1の分割のための補題: 多様体のHiausdorff性はどこで効くか
###### tags: `微分形式の幾何学` `公開版`
$%2017/06/22
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## 補題
$M$を多様体とし, 任意に点$p$とその開近傍$U$を取る.
このとき以下を充たす$M$上の開集合$U',U''$と$M$上の$C^\infty$関数$f$が存在する.

\begin{align}
p\in U'\subset\supp(f)&= \overline{U''}\subset U \\
f|_{U'}&=1
\end{align}

## 証明
$p$を含む座標近傍$(V,\psi)$が存在する.
$U$は開集合であったから$W=V\cap U$も開集合であり, $\psi$の同相性から$\psi(W)$も開集合になる.
$\setR^n$の性質より, $B_r(\psi(p))\subset\psi(W)$を充たす$r>0$が存在.
新しく座標近傍$(W, \varphi), \ \varphi(q)=\frac{3}{r}(\psi(q)-\psi(p))$を取ると$B_3(0)\subset\varphi(W)$である.
ここで$b|_{B_1(0)}=1, \ \supp(b)=\overline{B_2(0)}$を充たす$b\in C^\infty(\setR^n)$が存在する. (具体例は後述)
よって$f=b\circ\varphi$とおけば$f$は$W$上の$C^\infty$関数である.
$\varphi$の同相性から$\varphi^{-1}$が存在し, $U'=\varphi^{-1}(B_1(0)), \ U''=\varphi^{-1}(B_2(0))$とおけば$p\in U'\subset \overline{U''}\subset U$を充たす.
(まだ$f$は$M$上にまで拡張されていないから$\supp(f)$は考えれない)

**ここまではHausdorff性を仮定していない！**

ここで$f$の定義域を$M$にまで$f|_{M\setminus W}=0$として拡張する.
$f\notin C^\infty(M)$として背理法で示す.
$f|_{W}, f|_{M\setminus W}$の$C^\infty$は明らかであり, 問題は$f$の$\partial W$での$C^\infty$である.
$f$が$C^\infty$でないような点$q\in \partial W$が存在すると仮定する.
このとき, $q$を含む開近傍は必ず$\overline{U''}=\supp{(f)}$と交わっている.
しかし$q\notin\overline{U''}$であるから, これらを分離する開集合が存在して矛盾. (正則空間)

* $M$は多様体であるから局所コンパクト
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
* 局所コンパクトかつHausdorffな空間は正則空間
http://junology.hatenablog.com/entry/20111121/1321877562

よって$f\in C^\infty(M)$である.


## Hausdorffを仮定しない場合
教科書(微分形式の幾何学?)p14のような空間を考える.


位相としては「$L_0\cup L_1\simeq\setR, L_0\cup L_2\simeq\setR$をそれぞれ$\setR$と同一視して開集合を与える. 更にこれらの和集合も開集合と見做す」として開集合系を規定する.

この状況下で, 命題での$p\to p_1, W\to (-5,5)\subset L_0\cup L_1$を対応させれば

\begin{align}
f(x)=
\begin{cases}
b(x)&(x\in L_0\cup L_1\simeq \setR) \\
0&(x\in L_2\simeq \setR_{\ge0})
\end{cases}
\end{align}

なる関数$f$が得られる.
しかしこれは$p_2$を含む座標近傍から見れば$C^\infty$ではない.

この空間に対しても$L_2$まで$C^\infty$になるように繋ぐ事は可能であるが, 今度は$\supp(f)\not\subset W$となってしまう.

1の分割について: $\curl{\supp(f_i)}$が与えられた$\curl{U_\alpha}$の細分になるとは限らないので, Hausdorffを満たさない空間に対する1の分割は一般には存在しない.

## $C^\infty$関数$b$の構成
$D(r)\in\setR^n$を原点$0$を中心とする半径$r$の開円板とする．

関数$b\in C(\setR^n)$を次で定義する.

\begin{align}
b(x)
&=\frac{h(4-{x_1}^2-\cdots-{x_n}^2)}{h(4-{x_1}^2-\cdots-{x_n}^2)+h({x_1}^2+\cdots+{x_n}^2-1)} \\
h(x)
&=\begin{cases}
e^{-1/x}&(x>0) \\
0&(x\le0)
\end{cases}
\end{align}

とおく.
https://www.desmos.com/calculator/6xagxjgaog
$b(x)$の定義式での$4$は$2^2$から来ている.