応用数理学会 (2018/09/03)

研究背景

曲面で構成される部品は我々の日常生活で重要

オーダースーツ 　　 テニスボール 　　
　

• 平面部品を組み立てることで曲面を実現
• 組み立てる時にそれぞれのパーツに「変形」が発生する

（図は https://astamuse.com/ja/published/JP/No/1994034326 ， https://akebononikki.naturum.ne.jp/e356957.html より引用）

先行研究

平面材料から作られる立体形状の例

• 手法: 曲面を可展面で近似してから展開図を構成
• 問題点: 材料の繋ぎ目で滑らかにならない

目的: 可展面近似を用いずに, 高精度に曲面形状を構成

平面材料の変形 : 面外と面内

• 曲面の第一基本形式を
  • 面外変形: 保つ
  • 面内変形: 保たない
• 通常の折り紙/紙工作では可展面のみを構成可能
  • 面外変形: 可展面のみ構成可能
  • 面内変形: 可展面以外も構成可能

紙の弾性的性質

具体例: 紙を捩って常螺旋面(\(K< 0\))が作れる
面外変形のみなら可展面(\(K=0\)) (\(K\):Gauss曲率)

• 紙は面内方向にも変形可能.
• [面外変形のエネルギー] \(\ll\) [面内変形のエネルギー]

問題設定

1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割
2. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生
3. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする

問題設定

1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割
2. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生
3. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする

問題設定

1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割
2. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生
3. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする

問題設定

1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割
2. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生
3. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする

基準状態と現状態

• 基準状態 : 変形前で歪エネルギーが発生していない状態
• 現状態 : 変形後で歪エネルギーが発生している状態

「平面材料から曲面片へ変形させた際のエネルギー」と
「曲面片から平面への埋め込みで入るエネルギー」は
ほぼ同じである.

以降では, 基準状態と現状態を入れ替えて定式化する.

Riemann多様体上の非線形弾性論

材料に発生する歪エネルギー\(W\)は次の順で定式化される.

• 基準状態\(M_{[0]}\), 現状態\(M_{[t]}\)のRiemann計量 \(g_{[0]}, g_{[t]}\)
• Green歪テンソル \(E=\frac{1}{2}(g_{[t]}-g_{[0]})\)
• 歪エネルギー \(W=\int_M \frac{1}{2}C(E,E)\upsilon_{[0]}\)

歪エネルギー\(W\)が極小となる はめ込み\(M_{[0]}\to \mathbb{E}^2\)を探す

弱形式定式化\(\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}\)

局所表示して変分法. 次を充たす対応\(x_{[0]}\mapsto x_{[t]}\)を求める

\begin{align} &\scriptsize \int_M {{g_{[t]ij}\pd{w^i}{x_{[0]}^m}\pd{x_{[t]}^j}{x_{[0]}^n}\Pare{2\Pare{\alpha g_{[0]}^{mn}g_{[0]}^{kl}+\beta g_{[0]}^{mk}g_{[0]}^{nl}}\pd{x_{[t]}^p}{x_{[0]}^k}\pd{x_{[t]}^q}{x_{[0]}^l}g_{[t]pq}+\gamma g_{[0]}^{mn}}}}\upsilon_{[0]}=0 \\ &\scriptstyle \qquad \alpha=\sfrac{\lambda}{8}, \ \beta=\sfrac{\mu}{4}, \ \gamma=-\Pare{\lambda+\mu}/2, \ \delta=\Pare{\lambda+\mu}/2 \end{align}

\(\lambda, \mu\) : Lamé定数, \(w^i\) : テスト関数

IGAによる離散化\(\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}\)

• 展開後の形状をNURBS多様体で近似(IGA)
  • 座標の対応\(x_{[0]}\mapsto x_{[t]}\)を\(\tilde{x}_{[t]}^i=\xi_I^iN^I(x_{[0]})\)で近似
  • \(N_I\)がB-spline基底関数 \(N_I\colon M_{[0]}\to\setR\)
• 制御点の座標\((\xi_I^i\in\setR)\)を変数として離散化

非線形連立方程式への帰着\(\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}\)

\begin{align}\scriptsize A_{ijpq}^{IJPQ}&\scriptsize =\!\int_M {{g_{[t]ij}\pd{N^I}{x_{[0]}^m}\pd{N^J}{x_{[0]}^n}\Pare{2\Pare{\alpha g_{[0]}^{mn}g_{[0]}^{kl}+\beta g_{[0]}^{mk}g_{[0]}^{nl}}\pd{N^P}{x_{[0]}^k}\pd{N^Q}{x_{[0]}^l}g_{[t]pq}}\upsilon_{[0]}}} \\ \scriptsize B_{ij}^{IJ}&\scriptsize =\gamma\int_M \Pare{{g_{[t]ij}\pd{N^I}{x_{[0]}^m}\pd{N^J}{x_{[0]}^n}g_{[0]}^{mn}}}\upsilon_{[0]}\\ &\hspace{4.5em} \scriptsize\xi_J^j\xi_P^p\xi_Q^q A_{ijpq}^{IJPQ}+\xi_J^jB_{ij}^{IJ} =0 \\ \end{align}

制御点の座標\(\xi_I^i\)をNewton法で近似的に求める

Newton法での初期値決定法

• Newton法は解の局所的な収束のみ保証
  →初期値の決定が重要. 次から構成可能
  • 測地的曲率 (中心曲線の展開後の曲線)
  • 第一基本量 (曲面片の幅)

計算結果 (懸垂面)

• 軸対称な極小曲面

計算結果 (常螺旋面)

• 正コノイドかつ極小曲面

懸垂面 - 常螺旋面

• 第一基本形式が局所的に等しくなる, 有名な曲面の組
• 面外変形のみで互いに変形可能

なぜ編み紙なのか

• なぜ編み紙なのか
  • 2方向に曲面片を配置することで滑らかに近似可能
  • 糊代の配置が不要
  • 裏表の区別が無い
• なぜエネルギー最小問題としたか
  • 可展面近似では編み紙の重なる部分の処理が困難
  • 面外変形に非依存で展開可能
    (可展面近似では面外変形に展開形状が依存)

結言

• 取り組んだ問題
  • 曲面形状を紙で構成する際の展開形状最適化
• 提案手法の概要
  • Riemann多様体上の非線形弾性論で定式化
  • NURBS多様体で離散化 (IGA)
  • エネルギー極小となる制御点の決定 (Newton法)
• 得られた結果
  • 編み紙によって滑らかな曲面形状を構成した
• 今後の課題
  • 曲面片の分割数の評価・分割数の自動決定