<style> .reveal, .reveal h1, .reveal h2, .reveal h3, .reveal h4, .reveal h5, .reveal h6 { font-family: "Source Sans Pro", "Helvetica Neue", Helvetica, Arial, "Microsoft JhengHei", Meiryo, sans-serif; } h1, h2, h3, h4, h5, h6 { text-transform: none !important; } .color-yellow{ color: yellow; } .alert { padding: 15px; margin-bottom: 20px; border: 1px solid transparent; border-radius: 4px; text-align: left; padding: 10px 0; } .alert-info { color: #31708f; background-color: #d9edf7; border-color: #bce8f1; } .alert-success { color: #3c763d; background-color: #dff0d8; border-color: #d6e9c6; } .alert-danger { color: #a94442; background-color: #f2dede; border-color: #ebccd1; } .reveal .slides span { text-align: left; display: inline-block; } p, li { font-size: 0.88em !important; } li>p { font-size: 1em !important; } </style> # 応用数理学会 (2018/09/03) ###### tags: `IGA4SurfaceEmbedding` --- ## 編み紙の数理 #### 〜材料の伸びを考慮した曲面設計最適化〜 $%a$ 堀川 由人 (大阪大学工学研究科) 垂水 竜一 (大阪大学基礎工学研究科) --- ### 目次 * はじめに * 研究目的/背景 * 問題設定 * 問題の定式化 * 弱形式定式化 * IGAによる離散化 * 計算結果 * 懸垂面 * 常螺旋面 * おわりに * なぜ編み紙なのか * 結言 ---- ### 研究背景 曲面で構成される部品は我々の日常生活で重要 オーダースーツ 　　 テニスボール 　　  　  * 平面部品を組み立てることで曲面を実現 * 組み立てる時にそれぞれのパーツに「変形」が発生する <font size="3">（図は https://astamuse.com/ja/published/JP/No/1994034326 ， https://akebononikki.naturum.ne.jp/e356957.html より引用）</font> ---- ### 先行研究 平面材料から作られる立体形状の例   * 手法: 曲面を可展面で近似してから展開図を構成 * 問題点: 材料の**繋ぎ目で滑らかにならない** 目的: 可展面近似を用いずに, 高精度に曲面形状を構成 ---- ### 平面材料の変形 : 面外と面内    * 曲面の第一基本形式を * 面外変形: 保つ * 面内変形: 保たない * 通常の折り紙/紙工作では可展面のみを構成可能 * 面外変形: 可展面のみ構成可能 * 面内変形: 可展面以外も構成可能 ---- ### 紙の弾性的性質 具体例: 紙を捩って常螺旋面($K< 0$)が作れる 面外変形のみなら可展面($K=0$) ($K$:Gauss曲率)  * 紙は面内方向にも変形可能. * [面外変形のエネルギー] $\ll$ [面内変形のエネルギー] ---- <!-- .slide: data-transition="none" --> ### 問題設定 1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割 1. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生 1. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする  ---- <!-- .slide: data-transition="none" --> ### 問題設定 1. **曲面を座標に沿って曲面片に分割** 1. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生 1. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする  ---- <!-- .slide: data-transition="none" --> ### 問題設定 1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割 1. **平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生** 1. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする  ---- <!-- .slide: data-transition="none" --> ### 問題設定 1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割 1. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生 1. **エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする**  --- ### 目次 * はじめに * 研究目的/背景 * 問題設定 * **問題の定式化** * **弱形式定式化** * **IGAによる離散化** * 計算結果 * 懸垂面 * 常螺旋面 * おわりに * なぜ編み紙なのか * 結言 ---- ### 基準状態と現状態 * 基準状態 : 変形前で歪エネルギーが発生していない状態 * 現状態 : 変形後で歪エネルギーが発生している状態   「平面材料から曲面片へ変形させた際のエネルギー」と 「曲面片から平面への埋め込みで入るエネルギー」は ほぼ同じである. 以降では, 基準状態と現状態を入れ替えて定式化する. ---- ### Riemann多様体上の非線形弾性論  材料に発生する歪エネルギー$W$は次の順で定式化される. * 基準状態$M_{[0]}$, 現状態$M_{[t]}$のRiemann計量 $g_{[0]}, g_{[t]}$ * Green歪テンソル $E=\frac{1}{2}(g_{[t]}-g_{[0]})$ * 歪エネルギー $W=\int_M \frac{1}{2}C(E,E)\upsilon_{[0]}$ 歪エネルギー$W$が極小となる はめ込み$M_{[0]}\to \mathbb{E}^2$を探す ---- ### 弱形式定式化$\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}$  局所表示して変分法. 次を充たす対応$x_{[0]}\mapsto x_{[t]}$を求める \begin{align} &\scriptsize \int_M {{g_{[t]ij}\pd{w^i}{x_{[0]}^m}\pd{x_{[t]}^j}{x_{[0]}^n}\Pare{2\Pare{\alpha g_{[0]}^{mn}g_{[0]}^{kl}+\beta g_{[0]}^{mk}g_{[0]}^{nl}}\pd{x_{[t]}^p}{x_{[0]}^k}\pd{x_{[t]}^q}{x_{[0]}^l}g_{[t]pq}+\gamma g_{[0]}^{mn}}}}\upsilon_{[0]}=0 \\ &\scriptstyle \qquad \alpha=\sfrac{\lambda}{8}, \ \beta=\sfrac{\mu}{4}, \ \gamma=-\Pare{\lambda+\mu}/2, \ \delta=\Pare{\lambda+\mu}/2 \end{align} $\lambda, \mu$ : Lamé定数, $w^i$ : テスト関数 ---- ### IGAによる離散化$\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}$  * 展開後の形状をNURBS多様体で近似(IGA) * 座標の対応$x_{[0]}\mapsto x_{[t]}$を$\tilde{x}_{[t]}^i=\xi_I^iN^I(x_{[0]})$で近似 * $N_I$がB-spline基底関数 $N_I\colon M_{[0]}\to\setR$ * 制御点の座標$(\xi_I^i\in\setR)$を変数として離散化 ---- ### 非線形連立方程式への帰着$\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}$  \begin{align}\scriptsize A_{ijpq}^{IJPQ}&\scriptsize =\!\int_M {{g_{[t]ij}\pd{N^I}{x_{[0]}^m}\pd{N^J}{x_{[0]}^n}\Pare{2\Pare{\alpha g_{[0]}^{mn}g_{[0]}^{kl}+\beta g_{[0]}^{mk}g_{[0]}^{nl}}\pd{N^P}{x_{[0]}^k}\pd{N^Q}{x_{[0]}^l}g_{[t]pq}}\upsilon_{[0]}}} \\ \scriptsize B_{ij}^{IJ}&\scriptsize =\gamma\int_M \Pare{{g_{[t]ij}\pd{N^I}{x_{[0]}^m}\pd{N^J}{x_{[0]}^n}g_{[0]}^{mn}}}\upsilon_{[0]}\\ &\hspace{4.5em} \scriptsize\xi_J^j\xi_P^p\xi_Q^q A_{ijpq}^{IJPQ}+\xi_J^jB_{ij}^{IJ} =0 \\ \end{align} 制御点の座標$\xi_I^i$をNewton法で近似的に求める ---- ### Newton法での初期値決定法 * Newton法は解の局所的な収束のみ保証 →初期値の決定が重要. 次から構成可能 * 測地的曲率 (中心曲線の展開後の曲線) * 第一基本量 (曲面片の幅)   --- ### 目次 * はじめに * 研究目的/背景 * 問題設定 * 問題の定式化 * 弱形式定式化 * IGAによる離散化 * **計算結果** * **懸垂面** * **常螺旋面** * おわりに * なぜ編み紙なのか * 結言 ---- ### 計算結果 (懸垂面) * 軸対称な極小曲面       ---- ### 計算結果 (常螺旋面) * 正コノイドかつ極小曲面     ---- ### 懸垂面 - 常螺旋面 * 第一基本形式が局所的に等しくなる, 有名な曲面の組 * 面外変形のみで互いに変形可能    --- ### 目次 * はじめに * 研究目的/背景 * 問題設定 * 問題の定式化 * 弱形式定式化 * IGAによる離散化 * 計算結果 * 懸垂面 * 常螺旋面 * **おわりに** * **なぜ編み紙なのか** * **結言** ---- ### なぜ編み紙なのか * なぜ編み紙なのか * 2方向に曲面片を配置することで滑らかに近似可能 * 糊代の配置が不要 * 裏表の区別が無い * なぜエネルギー最小問題としたか * 可展面近似では編み紙の重なる部分の処理が困難 * 面外変形に非依存で展開可能 (可展面近似では面外変形に展開形状が依存)     ---- ### 結言 * 取り組んだ問題 * 曲面形状を紙で構成する際の展開形状最適化 * 提案手法の概要 * Riemann多様体上の非線形弾性論で定式化 * NURBS多様体で離散化 (IGA) * エネルギー極小となる制御点の決定 (Newton法) * 得られた結果 * 編み紙によって滑らかな曲面形状を構成した * 今後の課題 * 曲面片の分割数の評価・分割数の自動決定 --- ### Weaving a Torus with Villarceau Circles   Francesco de Comité(fdecomite)による編み紙トーラスの例 エネルギー最小問題を使わなかったため, 隙間が空いている <font size="3">（図は https://www.flickr.com/photos/fdecomite/20867353245/in/photostream/ より引用）</font>