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title: Probability HW6-1
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# Probability HW6-1
###### tags: `Probability`
- [name=0716023 曾文鼎]

## 1
### a
根據 Markov inequality 有以下關係式。 $$\begin{align}
&& P\left((X_n-c)^2 \geqslant \varepsilon^2 \right) &\leqslant \frac{E[(X_n-c)^2]}{\varepsilon^2} \\
& \implies & P\left(|X_n-c| \geqslant \varepsilon \right) &\leqslant \frac{E[(X_n-c)^2]}{\varepsilon^2} \\
& \implies & \lim_{n\to\infty} P(|X_n-c| \geqslant \varepsilon) &\leqslant \lim_{n\to\infty}\frac{E[(X_n-c)^2]}{\varepsilon^2} =0
\end{align}$$

故得證。

### b
定義機率變數序列 $\{H_n\}$ 滿足下式 $$\Pr(H_n=c)=\begin{equation}\begin{cases}
1-1/n & \text{if}~c=0   \\
1/n   & \text{if}~c=n \\
0     & \text{else}
\end{cases}\end{equation}$$

以下證明 $\{H_n\}$ converge to $0$ in probablity。對於 $\forall\varepsilon>0$ 和 $c=0$ ，顯然有 $$\lim_{n\to\infty}\Pr(|H_n-c|\geqslant\varepsilon)=\lim_{n\to\infty}\frac 1 n =0$$

以下證明 $\{H_n\}$ 並未 converge to $0$ in the mean square ，其中 $c=0$。 $$E[(H_n−c)^2]=E[{H_n}^2]=c^2\left(1-\frac 1 n\right)+n^2\left(\frac 1 n\right) = n \neq 0$$

## 2
以下證明 $\Pr(\lim_{n\to\infty} (X_n+Y_n)=a+b)=1$。 $$\begin{align}
\Pr(\lim_{n\to\infty} (X_n+Y_n)=a+b) 
&\geq \Pr((\lim_{n\to\infty}X_n=a) \land (\lim_{n\to\infty}Y_n=b)) \\
&= \Pr(\lim_{n\to\infty}X_n=a) \Pr(\lim_{n\to\infty}Y_n=b)  \\
&= 1\times1 \\
&= 1
\end{align}$$

因此 $X_n + Y_n$ converge to $a+b$ almost surely 。

## 3
已知 $$z=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}$$

$\overline{X}=0.95$ 的 $z$ 值為 $$z_{0.95}={\sqrt{28}(0.95-1)}/{\sqrt{4}}\approx-0.1323$$

將 $-0.1323$ 查表後得知 $\Pr(\overline{X}\geqslant0.95)\approx0.5517)$ ，因此 $$\Pr(\overline{X}\leqslant0.95)\approx1-0.5517=0.4483$$

$\overline{X}=1.05$ 的 $z$ 值為 $z_{1.05}\approx0.1323$ ，亦即 $$\Pr(\overline{X}\leqslant 1.05) \approx 0.5517$$

因此 $$\Pr(0.95\leqslant\overline{X}\leqslant1.05)\approx0.5517-0.4483=0.1034$$

## 4
對於任意 $0<\varepsilon\leqslant b-a$，恆有
$$\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \Pr(Y_n=b)
&= \lim_{n \to \infty} \Pr(|Y_n-b|=0) \\
&\geqslant \lim_{n \to \infty} \Pr(|Y_n-b| \leqslant \varepsilon) \\
&= \Pr\left(\sum_{i=1}^n (x_i \geqslant b-\varepsilon)\right) \\
&= 1-\Pr\left(\prod_{i=1}^n (x_i \leqslant b-\varepsilon)\right) \\
&= 1-\prod_{i=1}^n\left(\Pr(x_i \leqslant b-\varepsilon)\right) \\
&= 1-\prod_{i=1}^n \left(\frac{b-a-\varepsilon}{b-a}\right)^n \\
\end{align}$$

注意即使 $\varepsilon\neq 0$，以下式子仍然成立。 $$\lim_{\varepsilon\to0}\lim_{n\to\infty}\Pr(Y_n=b)=1-0=1$$

因此 $\{Y_n\}$ converge to $b$ almost surely 。