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# System prepended metadata

title: 2024GMC

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# 2024 GMC 
> [color=black] 黃羿縉 | 2024.01.27
## 前言：什麼是 GMC
我在一段時間前做了一張 **【臺灣數奧選拔流程一覽表】**
把選拔流程的每一個細節都盡可能的標上了
(所以會有點雜，需要花一點時間看)
:::spoiler 點我看圖
![數學競賽地圖](https://hackmd.io/_uploads/BJ3cHzfca.png)
:::
而 GMC 是其中一段路，是為APMO-pre2前的營隊
在這個營隊結訓後，可以獲得APMO-pre2的考試資格 (不論你有沒有通過pre1)
>[color=red] GMC (資優數學營)
>為期3天的營隊，位於國立臺灣師範大學公館校區
>（或中央大學，我不知道以後TMO Official會不會再搬家）。
>前兩天將會由教授帶來四大領域(A、C、G、N)的課程內容。
>而第三天將會辦理APMO-pre2的考試。

>[color=blue] APMO-pre2 (亞太數奧第二階段初選考試)
>去除已經有資格參加下一階段(APMOC)的考生，將會從本次考試取出前30名的學生晉級下一階段。
>考試時間為4小時，規則比照APMO考試，共有5道計算證明題，每題滿分7分。

:::danger
參加這條路上的任何考試與營隊的最終目的，就是成為代表台灣出戰IMO的6為國手
:::

# Day 1 (20240122)
## 早上，還沒出發前
我不知道這是不是常態，但今天是學測的第三天==
雖然身為高三生，但其實第三天的學測對我們好像沒差
因為社會&數B真的是幾乎用不到
但大考中心死不給退錢，所以還是去考了數B
嘴上這麼說，但到現場看到周暉祐想計時寫數甲的考題
於是就決定缺考陪他們一起寫了嘿嘿
寫完之後就快樂地前往宜中參加李尚霖大師的臨時討論會
在參加GMC之前看他揮舞著白板筆
教我們什麼是巨龍曲線...
反正這種東西我這輩子應該是聽不懂的ㄏㄏ
[就這樣，歡樂的上午結束了]
## 出發GoGo
表定是下午14:30前要報到
從來沒有算錯時間的我竟然壓線到..
不過還是有很多人晚到，大型遲到現場
(我甚至早餐午餐都沒吃..飛奔外面小7買東西)
還好回來的時候林教授延輯還沒登場
## Lesson 1 數論 | 洪有情 教授
(我覺得麥克風真的很重要，我猜最後那排應該是聽不到的)
教授介紹了一些數論常用的性質與定理
:::info
**【費馬小】**
\begin{gather*}
p\in 質數，a\in N，(a,p)=1，則有a^{p-1}\equiv 1 \mod p
\end{gather*}

:::
:::info
**【尤拉定理】**
\begin{gather*}
p\in N_{>1}，a\in N，(a,p)=1，則有a^{\phi(p)}\equiv 1 \mod p
\end{gather*}
其中 $\phi(p)$ 表示不大於 $p$ 且和 $p$ 互質的正整數個數
:::
:::info
**【威爾森定理】**
\begin{gather*}
p\in質數 \Leftrightarrow (p-1)! \equiv -1 \mod p
\end{gather*}
:::
:::info
**【威爾森定理-延伸】**
\begin{gather*}
p\in合數_{\ge6} ，則有 (p-1)! \equiv 0 \mod p
\end{gather*}
:::
然後就是一些證明，大概就是把一些因倍數、整除的性質用一用就可以出來了。
或是一些反證法、構造數列之類的手段。

然後教授有帶我們看一些例題：
:::success
**Example.1**

若 $\cfrac{2a^2+b^2}{a+2b}\in N$，且 $(a,b)=1$，試求所有數對 $(a,b)$。
:::
:::spoiler 答案與詳解
答案：$(1,1)$、$(7,1)$、$(5,2)$、$(1,4)$
詳解：
分子與分母的次數不齊，所以我們先降次。
原式
\begin{gather*}
\cfrac{2a^2+b^2}{a+2b}=(2a+b)-\cfrac{(5a+b)b}{a+2b}
\end{gather*}
因為要是整數，所以我們從後面的分式下手：
\begin{gather*}
a+2b|b(5a+b)
\end{gather*}
因為 $(a,b)=1$，故 $((a+2b),b)=1$
所以有 $a+2b | 5a+b$
我們把 $a$ 消去(左邊乘5倍減過去)，得 $a+2b | -9b$。
又因為 $((a+2b),b)=1$，所以 $a+2b | 9$。
換句話說，$a+2b=1,3,9$，列表討論：


|     | 1   | 3   | 9 | 9 | 9 | 9 |
|:---:| --- | --- | - | - | - | - |
| $a$ | X   | 1   | 7 | 5 | 3 | 1 |
| $b$ | X   | 1   | 1 | 2 | 3 | 4 |

因為 $(a,b)$ 互質，因此 $(3,3)$ 這組不合，其他都是答案。
:::
:::success
**Example.2**
若正整數 $x,y$，滿足 $5^x-3^y=2$，試求所有數對 $(x,y)$。
:::
:::spoiler 答案與詳解
答案：$(1,1)$
詳解：
觀察，顯然地 $(1,1)$ 為一解。
考慮 $y\ge 2$ $\Rightarrow$ $x\ge 2$。
為了把 $5$ 消掉(某種層面上也是在消 $3$)，我們模 $4$：
\begin{gather*}
5^x-3^y \equiv 1^x-(-1)^y \equiv 2 \mod 4
\end{gather*}
所以有
\begin{gather*}
-(-1)^y \equiv 1 \mod 4
\end{gather*}
於是我們得到 $y$ 是奇數。
注意到我們現在討論的是 $y\ge 2$，因此 $9|3^y$，我們考慮模 $9$：
\begin{gather*}
5^x-3^y \equiv 5^x \equiv 2 \mod 9
\end{gather*}
我們將 $x_{\ge 2}$ 一個一個代入檢驗：
$5^2 \equiv 7 \mod 9$
$5^3 \equiv -1 \mod 9$
$5^4 \equiv 4 \mod 9$
$5^5 \equiv 2 \mod 9$
$5^6 \equiv 1 \mod 9$
所以我們知道每 $6$ 個一循環。
令 $x=6k+5$，則有 $5^x=5^{6k+5}=5^5\cdot (5^6)^k$。
根據費馬小，有
\begin{gather*}
(5^{7-1}) \equiv 1 \mod 7
\end{gather*}
我們將原式模 $7$：
\begin{gather*}
5^{6k+5}-3^y \equiv 5^5-3^y \equiv 2 \mod 7
\end{gather*}
整理一下，有：
\begin{gather*}
3-3^y \equiv 2 \mod 7
\end{gather*}
所以得到 $3^y \equiv 1 \mod 7$。
這邊我們使用引理：
【Lemma】
$(a,n)=1$，對於同餘式 $a^x \equiv 1 \mod n$，若 $x$ 的最小整數解為 $x_0$，則 $x_0|x$。

回到 $3^y \equiv 1 \mod 7$，所以有 $y=6k$。
但在前面我們說明過 $y$ 為奇數，因此矛盾。
所以本題僅有一解為 $(1,1)$。
:::
:::success
**Example.3**
求 $(n-1)!=n^k-1$ 的所有整數數對 $(n,k)$。
:::
:::spoiler 答案與詳解
答案：$(2,1)$、$(3,1)$、$(5,2)$
詳解：
我們一個一個代入：
$n=1$，顯然無解
$n=2$，$1=2^k-1$，有 $k=1$
$n=3$，$2=3^k-1$，有 $k=1$
$n=4$，$6=4^k-1$，無解
$n=5$，$24=5^k-1$，有 $k=2$
後面數字好大，猜測應該沒有解了，所以我們考慮 $n\ge 6$。
因為 $(n-1)!$ 為偶數；因此 $n^k$ 為奇數，故 $n$ 為奇數。
因式分解：
\begin{gather*}
n^k-1=(n-1)(n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1)
\end{gather*}
比較左式：
\begin{gather*}
(n-1)!=(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1
\end{gather*}
所以我們得到：
\begin{gather*}
(n-2)!=(n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1)
\end{gather*}
根據威爾森定理的延伸，因為 $(n-2)!$ 為大於 $6$ 的合數，所以有：
\begin{gather*}
(n-2)!\equiv 0 \mod (n-1)
\end{gather*}
又因為
\begin{gather*}
0\equiv \overbrace{1+\cdots+1}^{k個} \mod (n-1)
\end{gather*}
所以我們發現 $n-1 | k$，故 $k\ge n-1$。
而我們可以藉此推得
\begin{gather*}
(n-1)!<n^k-1
\end{gather*}
因此在 $n\ge 6$ 時不存在解。
:::

## 助教時間&後續
上完數論之後，就到了 **助教時間**，光聽名字是真的不知道這要幹嘛，該不會是助教們會上台再教一節課吧(x。

沒，以上純屬猜測。事實上是遠涵姐aka隊輔們的老大(以下簡稱老大)上台介紹後天的APMO-pre2的規則。

大概...10分鐘就結束了，因為也沒啥可以講得XD，大概就是不能用修正工具有讓一些人感到shock而已。

再來是放飯時間，便當肯定是給高評價的，再難吃都比宜蘭好^^

至於最後的 **診斷與輔導**，嗯...，好像沒體驗到這部分，送我們到會館之後就解散了。

## 晚間
沒啥，我們這房大概就是玩手機的玩手機，繼續捲的還是在讀書。

不過他有提供讀書區，這是非常貼心的，可以不用坐在床上讀書，腰快斷掉。

因為很早就進會館，所以其實你想跑到隔壁的公館夜市也沒人會阻止你，但我自己是懶得出去，而且外面很冷(每年GMC好像都剛好辦在很冷的日子。)

反正樓下有販賣機，泡麵25元(我不知道幾年後會不會突然暴漲，反正這是2024的價格)，那款泡麵最大的問題是超會吸水，我只是洗個澡而已泡麵變乾麵了...。

:::danger
就這樣，歡樂的第一天結束了
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# Day 2 (20240123)
表定7:30集合(或7:20但我忘了，不重要)，大概6:50的鬧鐘是非常合適的。
而且不用怕睡過頭，因為會館的隔音不是很好，所以你可能過幾分鐘就會聽到隔壁的鬧鐘。

## 早餐
可能是我自己的問題，但我看到他們的早餐心裡只覺得這是來殺我的吧@@
飲料有奶茶(我有乳糖不耐)、紅茶(我喝茶心悸，早餐店也不例外)
主餐是吐司夾各種東西，有起司蛋(同理，乳糖不耐)、熱狗蛋跟火腿蛋(大概這些啦，記錯就算了)。

這天我不知道發生什麼事，竟然選了起司蛋，根本在找死。

## Lesson 2 密碼學演講 | 魏澤人 教授
畢竟是演講，所以用一個非常快樂的心情在聽。
教授也很chill，一開場先嘴一下自己在的科系，他表示自己也不知道科系的全名是什麼，反正是為了讓政府給錢用的XD。

課程大概就是介紹各種加密的手段，以及這些其實是可以被破解的，分享了一些加密被破解的故事。

表定是有110分鐘，大概到一半的時間教授就講完離場了，我很認真的以為現在是中場休息，結果教授就帶著包包快樂離場。
(嗯..我很懵)

大概又過了10分鐘，老大帶著教授又返回現場，開啟他預期外的下半節課。

聽著聽著，密碼學開始變成了玄學，記得教授說「我們現在很多理論建立在 **我們相信他是正確的，不然沒人能證明他對或錯** 之上」

快樂的一節課又過了，醒腦完成(?

## Lesson 3 幾何：反演 | 陳瑞堂 教授
當時看到課表寫 **反演**，喔就那個尚霖哥平常很愛用但我從來沒聽懂過的東西嘛。

為了今天能聽懂，我竟然事先預習了內容，小學畢業後從來沒做過這種事啊...。

嗯...反正就是一種幾何變換嘛，圓變成線，線變成圓之類的。

