# 113 學測數學A
> [color=black] 黃羿縉 | 2024.01.16
## Chapter.1 數與式
### 1. 有理數
:::success
Definition. **有理數（Rational number）**
$p,q\in Z$，其中 $q\not=0$，凡可以表達為 **$\frac pq$** 者，稱為**有理數**。
:::

:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
>$\frac53$ 為有理數，但 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 不為有理數
:::

:::info
考點：分數能否化為有限小數
『分數 $\frac{a}{b}$ 可以化為有限小數』$\Leftrightarrow$『$b$的質因數只有$2,5$』
:::

:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
>$\frac{57}{1024}$ 可以化為有限小數，但 $\frac{5}{7}$ 不能化為有限小數
:::

:::info
考點：循環小數換分數
**分母：幾個循環幾個9，沒有循環要補0**
**分子：全部$-$沒循環**
:::

:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
>$0.\overline{23}=\frac{23}{99}$、$0.1\overline{23}=\frac{122}{990}$
:::

:::danger
Properties. **稠密性（Density）**
任意兩有理數之間，存在至少一個有理數。
:::
:::danger
Properties. **封閉性（Closed）**
兩有理數經加減乘除(四則運算)的結果仍為有理數。
(老規矩：分母不為 $0$ )
:::
---
### 2. 無理數
:::success
Definition. **無理數（Irrational number）**
『無限且不循環的小數』稱為**無理數**。
:::
$Remark.$ 無理數的考題較少，通常會和有理數的性質考在一起
>[color=orange]Exercise
>請選出正確的選項。
>(1) 若 $a,b$ 均為有理數，則 $a+b$ 亦為有理數
>(2) 若 $a,b$ 均為無理數，則 $a+b$ 亦為無理數
>(3) 若 $a$ 為有理數，$b$ 為無理數，則 $ab$ 為有理數
>(4) 若 $a,b$ 均為無理數，則 $ab$ 亦為無理數
>(5) 若 $a,b$ 均為有理數，且 $a,b\not=0$，則 $a+b\sqrt{2}$ 必為無理數
>(6) 若 $a,b$ 均為非負有理數，$x,y$ 為無理數，則 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$ 必為無理數
>(7) 若 $a,b$ 均為非負有理數，$x,y$ 為無理數，且 $a+x=b+y$，
則 $a=b$ 且 $x=y$
>(8) 已知 $a+b$、$b+c$、$c+a$ 均為有理數，則 $a,b,c$ 均為有理數
>(9) 設 $a^2$、$a^3$ 均為有理數，且 $a\not=0$，則 $a$ 為有理數
>(10) 設 $a^4$、$a^6$ 均為有理數，且 $a\not=0$，則 $a$ 為有理數
:::spoiler 答案與解析
答案：(1)(5)(8)(9)
O (1) 有理數的封閉性
X (2) 反例：$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$
X (3) 反例：$a=0$、$b=\sqrt{2}$
X (4) 反例：$a=b=\sqrt{2}$
O (5) 因為$a\in Q$、$b\not=0$，故$\sqrt{2}$無法被消去
X (6) 反例：$a=b=1$，$x=\sqrt{2}$，$y=-\sqrt{2}$
X (7) 反例：$a=0$，$b=1$，$x=1+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{2}$
O (8) 三式相加再除以 $2$，得到 $a+b+c\in Q$，再與各式相減，即可得到 $a,b,c\in Q$
O (9) 相除，由封閉性得到 $a\in Q$
X (10) 僅能得到 $a^2\in Q$
>[color=green]心法：$0$ 很好用，多善用
:::
---
### 3. 乘法公式
:::info
1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
5. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
6. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
8. $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
:::
---
### 4. 雙根號
:::info
以下討論 $a,b>0$
1. $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
2. $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$
:::
---
### 5. 算幾不等式(AM-GM Inequality)
:::success
Definition. **算幾不等式（AM-GM Inequality）**
若 $a,b>0$，則有
\begin{gather*}
\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}
\end{gather*}
並且等號成立於 $a=b$ 時
:::
$Remark.$ 一定要注意等號是否成立

---
### 6. 分點公式
:::info
數線上有相異兩點 $A(a)$、$B(b)$，若 $P(x)$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{AP}:\overline{PB}=m:n$，則 $x = \cfrac{mb+na}{m+n}$
:::
$Remark.$ 口訣：**比例和**分之**交叉相乘**

---
### 7. 絕對值不等式
:::info
1. $|x|\ge a\Leftrightarrow x>a$ 或 $x<-a$
2. $|x|\le a\Leftrightarrow -a\le x\le a$
:::
$Remark.$ 口訣：大於放兩邊，小於放中間
$Remark.$ 破題關鍵：找正負分界點，**分段討論**

---
### 8. 指數律
:::info
以下討論 $a,b>0$，$x,y\in R$
1. $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$
2. $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
3. $(a^x)^y=a^{xy}$
4. $(ab)^x=a^x\cdot b^x$
:::
$Remark.$ 使用指數律時須注意是否產生根號內的負數

---
### 9. 常用對數
:::success
Definition. **對數（Logarithm）**
\begin{gather*}
10^x=a\Leftrightarrow x=\log_{10}a
\end{gather*}
:::
:::info
幾個常用的值
$\log2\approx 0.3010$、$\log3\approx 0.4771$、$\log4\approx 0.6020$、$\log5\approx 0.6990$
$\log6\approx 0.7781$、$\log7\approx 0.8451$、$\log8\approx 0.9030$、$\log9\approx 0.9542$
:::

---
## Chapter.2 直線與圓
### 0. 先備知識
:::info
1. 平面上兩點 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，則
\begin{gather*}
\overline{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}
\end{gather*}
2. 數線上有相異兩點 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，若 $P(x,y)$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{AP}:\overline{PB}=m:n$，則
\begin{gather*}
x = \cfrac{mx_2+nx_1}{m+n}、y = \cfrac{my_2+ny_1}{m+n}
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 常見考題：根號內有平方式，先配方後聯想成點之間的距離

---
### 1. 斜率(Slope)
:::success
Definition. **斜率（Slope）**
平面上兩點 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，直線 $L_{\overleftrightarrow{AB}}$ 的斜率為
\begin{gather*}
m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}
\end{gather*}
:::
:::danger
Properties.
1. **水平線**的斜率為 $0$
2. **鉛直線**的斜率不存在
3. **兩平行線**的斜率相等
4. **兩垂直線**的斜率乘積為 $-1$
:::
$Remark.$ 斜率絕對值越大，直線就越斜

---
### 2. 直線方程式
:::info
1. **點斜式（常用）**
直線 $L$ 過點 $A(x_0,y_0)$，且斜率為 $m$，則
\begin{gather*}
L:(y-y_0)=m(x-x_0)
\end{gather*}
2. **斜截式**
直線 $L$ 的斜率為 $m$，且 $y$ 截距為 $b$，則
\begin{gather*}
L:y=mx+b
\end{gather*}
3. **截距式（可搭配不等式）**
直線 $L$ 的 $x$ 截距為 $a$，且 $y$ 截距為 $b$，則
\begin{gather*}
L:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 有一種考法是直線恆過定點
:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
直線 $L:mx-m+3$，可以經由整理寫成 $L:(y-3)=m(x-1)$，故不論 $m$ 為何，此直線恆過 $(1,3)$。
:::
---
### 3. 投影點與對稱點
如圖，$M$ 是 $A$ 對 $L$ 的投影點，而 $A^{\prime}$ 是 $A$ 對 $L$ 的對稱點。
>[color=red]
>解題思路
>1. 利用垂直線斜率乘積為 $-1$ 找到 $L_{AA^{\prime}}$ 的斜率
>2. 由斜率和 $A$ 坐標可知 $L_{AA^{\prime}}$ 的方程式
>3. 用 $L_{AA^{\prime}}$ 與 $L$ 解聯立求得 $M$
>4. 用 $A$ 與 $A^{\prime}$ 的中點為 $M$ 求得 $A^{\prime}$
---
### 4. 點到直線距離
:::info
平面上直線 $L:ax+by+c=0$ 與點 $A(x_0,y_0)$，則
\begin{gather*}
d(A,L) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 口訣：**係平和開根號**分之**絕對值點代入**

---
### 5. 平行線間距離
:::info
平面上兩平行線 $L_1:ax+by+c_1=0$ 與 $L_2:ax+by+c_2=0$，
\begin{gather*}
d(L_1,L_2)=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 口訣：**係平和開根號**分之**絕對值常數差**

---
### 6. 二元一次不等式(半平面)
:::info
對直線 $L:ax+by+c=0$
1. $a>0$
(a) $ax+by+c>0\Leftrightarrow$ 直線 $L$ 的**右半平面**
(b) $ax+by+c<0\Leftrightarrow$ 直線 $L$ 的**左半平面**
2. $b>0$
(a) $ax+by+c>0\Leftrightarrow$ 直線 $L$ 的**上半平面**
(b) $ax+by+c<0\Leftrightarrow$ 直線 $L$ 的**下半平面**
:::
$Remark.$
1. $x$ 看左右，$y$ 看上下
2. 右正左負，上正下負
3. $a,b$ 擇一判斷即可，不然容易亂掉

---
### 7. 距離的極值(常考)
:::info
善用 **三點共線** 以及 **對稱點**，
原理來自 **兩邊之和大於第三邊**、**兩邊之差小於第三邊**。
:::

---
### 8. 圓方程式
:::success
Definition. (標準式)
平面上以 $C(a,b)$ 為圓心，$r_{>0}$ 為半徑的圓方程式為
\begin{gather*}
\Gamma:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
\end{gather*}
Definition. (一般式)
\begin{gather*}
\Gamma:x^2+y^2+dx+ey+f=0
\end{gather*}
:::
:::danger
Properties.
點 $A(x_0,y_0)$ 與圓 $x^2+y^2+dx+ey+f=0$ 的位置關係
1. 圓內：${x_0}^2+{y_0}^2+dx_0+ey_0+f<0$
2. 圓上：${x_0}^2+{y_0}^2+dx_0+ey_0+f=0$
4. 圓外：${x_0}^2+{y_0}^2+dx_0+ey_0+f>0$
:::
:::danger
Properties.
圓 $\Gamma:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 與直線 $L:ax+by+c=0$ 的位置關係
1. 交兩點：$d((a,b),L)<r$
2. 交一點(相切)：$d((a,b),L)=r$
3. 不相交：$d((a,b),L)>r$
:::
$Remark.$ 有一種考題是三點求
>[color=red]解題思路
>1. 過三點 $A,B,C$，找 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 的中垂線，解得交點即為圓心
>2. 圓心到 $A,B,C$ 任一點距離即為半徑，即可求出圓方程式

---
### 9. 阿波羅尼斯圓
考法：
平面上給定兩點 $A,B$，試問滿足 $\overline{PA}=k\cdot \overline{PB}$ 的 $P$ 形成的軌跡方程式
>[color=red] 解題思路
>1. 數學上找軌跡就是 **找關係**，利用 $\overline{PA}=k\cdot \overline{PB}$ 列式求關係式
>2. 當 $k=1$ 時，軌跡為 $\overline{AB}$ 的**中垂線**
>3. 當 $k\not=1$ 時，軌跡為**一圓**

---
### 10. 求切線
1. 圓上一點求切線
>[color=red]解題思路
>1. 利用**切線斜率**與**圓心-切點**斜率乘積為 $-1$ 求得切線斜率
>2. 代入切點後可用點斜式找到切線方程式

$Remark.$ 你也可以用隱函數微分求切線，也許會更快，也許不會

2. 圓外一點求切線
>[color=red]解題思路
>1. 令切線斜率為 $m$，用切點坐標與斜率列點斜式
>2. 利用**圓心與切線**距離為半徑列式，可求出兩個 $m$，代回後即可得兩條切線

## Chapter.3 多項式函數
### 1. 係數和
:::info
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，則有
1. 常數項 $a_0=f(0)$
2. 所有係數和 $\sum a_i$ $=f(1)$
3. 偶數項係數和 $\sum a_偶$ $=\cfrac{f(1)+f(-1)}{2}$
4. 奇數項係數和 $\sum a_奇$ $=\cfrac{f(1)-f(-1)}{2}$
:::

---
### 2. 除法原理
:::info
兩多項式 $f(x),g(x)_{\not=0}$，有
\begin{gather*}
f(x)=g(x)\cdot Q(x)+r(x)
\end{gather*}
其中 $Q(x)$ 為商式，$r(x)$ 為餘式，
並且 $r(x)=0$ 或 deg $r(x)<$ deg $g(x)$
:::
$Remark.$ 一句話：**被除** = **除** x **商** + **餘**

---
### 3. 餘式定理
:::success
Theorem. **餘式定理（Remainder Theorem）**
多項式 $f(x)$ 除以 $x-a$ 的餘式為 $f(a)$
:::
$Remark.$ 推廣：多項式 $f(x)$ 除以 $ax-b$ 的餘式為 $f(\frac{b}{a})$

---
### 4. 因式定理
:::success
Theorem. **因式定理（Factor Theorem）**
『$x-a$ 是多項式 $f(x)$ 的因式』$\Leftrightarrow$ 『$f(a)=0$』
:::
$Remark.$ 推廣：『$ax-b$ 是多項式 $f(x)$ 的因式』$\Leftrightarrow$ 『$f(\frac{b}{a})=0$』

---
### 5. 綜合除法
一種 **號稱** 更快的多項式除法，但很少人在用

---
### 6. 連續綜合除法
可以將某個多項式轉換為另一個多項式的乘冪
:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
我們可以透過連續綜合除法將 $f(x)=x^3+2x^2-3x-1$ 轉換成 $f(x)=(x+2)^3-4(x+2)^2+(x+2)+5$
:::
>[color=white]
>如果你看不懂這段，可能要自己google相關資源，因為我不會畫除法的圖...

---
### 7. 函數圖形
:::info
以下皆討論實係數函數，且領導係數 $a\not=0$
1. 一次函數 $y=f(x)=ax+b$
圖形為 **一直線**，其中 $a$ 為斜率，$b$ 為 $y$ 截距
2. 二次函數 $y=f(x)=ax^2+bx+c$
圖形為 **拋物線**，由 $a$ 的正負決定開口方向(正上負下)
a. 對稱軸：$x=\frac{-b}{2a}$
b. 判別式：$D=b^2-4ac$，由正負判斷解的個數
c. 開口向上頂點有極小值，開口向下頂點有極大值
:::
$Remark.$ 用二次函數求極值時，務必留意題目的範圍限制

---
### 8. 三次函數
:::danger
Properties.
1. 形如 $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
2. 對稱中心 $P$ $(\frac{-b}{3a},f(\frac{-b}{3a}))$
3. 點對稱：
若 $P$ 為 $y=f(x)$ 的對稱中心，且 $A$ 在 $y=f(x)$ 上，則 $A$ 對 $P$ 的對稱點 $A^{\prime}$ 也在 $y=f(x)$ 上
:::
:::info
1. 考慮 $y=f(x)=ax^3$
a. $a>0$ 則趨勢向上(嚴格遞增)
b. $a<0$ 則趨勢向下(嚴格遞減)
2. 考慮 $y=f(x)=ax^3+px$
a. $a,p$ 異號：中心附近有曲折
b. $a,p$ 同號：中心附近無曲折
:::
:::info
1. **廣域特徵**
當 $|x|$ 很大時，
$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 會近似於$y=ax^3$
2. **局部特徵(一次近似)**
對 $y=f(x)=a(x-k)^3+b(x-k)^2+c(x-k)+d$ 而言，
在 $x=k$ 附近的局部特徵為 $y=c(x-k)+d$
:::
$Remark.$
在 $x-k$ 附近的一次近似也可以表示為 $y=f^{\prime}(k)(x-k)+f(k)$

---
### 9. 多項式不等式
>[color=red]解題思路
>1. 先因式分解（善用一次因式檢驗法）
>2. 將因式的根標記在數線上
>3. 由右而左畫線穿過各個根，若為偶次方因式則相切
>4. 留意領導係數之正負，將影響圖形的趨勢
:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
>
>
>故解為 $x>-2$，$x\not=3$
>註：因為 $x^2+x+3$ 為恆正式，故忽略不需考慮
:::

---
### 10. 二次函數的恆正恆負
:::info
對實係數二次函數 $y=f(x)=ax^2+bx+c$，且判別式為 $D$
1. 恆正：$a>0$ 且 $D<0$
2. 恆負：$a<0$ 且 $D<0$
:::

---
### 補充：牛頓一次因式檢驗法
:::success
Theorem. **牛頓一次因式檢驗法（Linear Factor Test）**
設 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ 是一個整係數多項式，其中 $a_n\not=0$。
若 $f(x)$ 有一次因式 $(mx-n)$，其中 $m,n$ 互質，則：
1. $m|a_n$
2. $n|a_0$
:::
>[color=red]解題思路
>1. 分別以 $a_n$ 與 $a_0$ 的因數作為**可能之一次因式的**一次項與常數項
>2. 用因式定理判斷該**可能的因式**是否真的為因式
>3. 通常找到一兩個就夠了，只要次數壓在2次內應該能自己分解
:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
>$f(x)=3x^2-5x-2=0$，列出可能因式：
>$x+1$、$x-1$、$x+2$、$x-2$、$3x+1$、$3x-1$、$3x+2$、$3x-2$
>這些因式的根分別為：
>$-1$、$1$、$-2$、$2$、$\frac{-1}{3}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{-2}{3}$、$\frac{2}{3}$
>代回檢查後只有 $2$ 與 $\frac{-1}{3}$ 符合，
>故得到 $3x^2-5x-2=0=(3x+1)(x-2)$
:::

## Chapter.4 數列與級數
### 1. 等差數列
:::success
Definition. **等差數列（Arithmetic Sequence）**
數列 $\langle a_n\rangle$ 為首項為 $a_1$，公差為 $d$ 的等差數列，則
\begin{gather*}
\langle a_n\rangle = \begin{cases}a_1=a\\a_{n+1}=a_{n}+d\\\end{cases}
\end{gather*}
一般式：$a_n=a_1+(n-1)d$
:::
:::danger
Properties.
若 $a,b,c$ 依序成等差數列，則 $2b=a+c$
:::

---
### 2. 等比數列
:::success
Definition. **等比數列（Geometric Sequence）**
數列 $\langle a_n\rangle$ 為首項為 $a_1$，公比為 $r$ 的等比數列，則
\begin{gather*}
\langle a_n\rangle = \begin{cases}a_1=a\\a_{n+1}=a_{n}\cdot r\\\end{cases}
\end{gather*}
一般式：$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$
:::
:::danger
Properties.
若 $a,b,c$ 依序成等比數列，則 $b^2=a\cdot c$
:::

---
### 3. 遞迴數列
:::info
1. 累加法
適用於形如 $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$，其中 $f(n)$ 為與 $n$ 相關的式子
2. 累乘法
適用於形如 $a_{n+1}=a_{n}\cdot f(n)$，其中 $f(n)$ 為與 $n$ 相關的式子
3. 一階(常係數線性齊次)遞迴 (少考)
為上述兩者的結合款，形如 $a_n=p\cdot a_{n-1}+q$，其中 $p,q\in R$
:::
:::spoiler 舉例
>[color=blue]
>**Example.1**
>$\langle a_n\rangle = \begin{cases}a_1=2\\a_{n}=a_{n-1}+2(n-1),n\ge 2\\\end{cases}$
>答案：$a_n=n^2-n+2$
>詳解：
>$a_1=2$
>$a_2=a_1+2\cdot 1$
>$a_3=a_2+2\cdot 2$
>...
>$a_n=a_{n-1}+2\cdot (n-1)$
>累加後，得 $a_n=2+2(1+2+...+(n-1))=n^2-n+2$。
>
>**Example.2**
>$\langle a_n\rangle = \begin{cases}a_1=\frac{1}{3}\\a_{n}=a_{n-1}\cdot (\frac{1}{3})^n,n\ge 2\\\end{cases}$
>答案：$a_n=3^{\frac{-n^2-n}{2}}$
>詳解：
>$a_1=\frac{1}{3}$
>$a_2=a_1\cdot (\frac{1}{3})^2$
>...
>$a_n=a_{n-1}\cdot (\frac{1}{3})^n$
>累乘後，得 $a_n=(\frac{1}{3})^{\frac{n^2+n}{2}}=3^{\frac{-n^2-n}{2}}$

>**Example.3**
>$\langle a_n\rangle = \begin{cases}a_1=2\\a_{n}=-3\cdot a_{n-1}+4,n\ge 2\\\end{cases}$
>答案：$a_n=(-3)^{n-1}+1$
>詳解：
>令 $k\in R$，使得 $(a_n-k)=-3(a_{n-1}-k)$。
>比較係數得 $k=1$，即 $(a_n-1)=-3(a_{n-1}-1)$。
>令 $b_n=a_n-1$，則有 $b_n=-3\cdot b_{n-1}$。
>故 $b_n$ 為一等比數列，且 $b_1=a_1-1=1$，因此可以列式：$b_n=(-3)^{n-1}$。
>換回原式，有 $a_n=b_n+1=(-3)^{n-1}+1$。
:::
$Remark.$ 但事實上學測考的遞迴通常只考 **找規律**，這沒有任何捷徑，多列個幾項就能找到規律了。

$Remark.$ 對於一階遞迴，觀念是 **配出等比數列**，所以我們才要透過同減 $k$ 來配出 $b_n$。

$Remark.$ 等差數列一定是 **單調數列**，而等比數列不一定有這個性質。

---
### 4. 級數
:::success
Definition. **級數（Series）**
對於一數列 $a_n$ 之級數 $S_n$，定義為：
\begin{gather*}
S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i
\end{gather*}
:::
:::info
1. 等差級數：
考慮等差數列 $a_n$ 的首項為 $a_1$，公差為 $d$，則等差級數為
\begin{gather*}
S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}
\end{gather*}
2. 等比數列
考慮等比數列 $a_n$ 的首項為 $a_1$，公比為 $r$，則等比級數為
\begin{gather*}
S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r},r\not=1
\end{gather*}
當公比 $r=1$ 時，級數 $S_n$ 為 $na_1$
:::
:::danger
Properties.
對等差數列 $a_n$ 而言，有 $S_n-S_{n-1}=a_n$
:::

### 5. 常用級數公式
:::info
1. 連續整數一次方和
$1+2+...+n=\cfrac{n(n+1)}{2}$
2. 連續整數二次方和
$1^2+2^2+...+n^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
3. 連續整數三次方和
$1^3+2^3+...+n^3=(\cfrac{n(n+1)}{2})^2$
:::
註：以上公式可以用數學歸納法證明

---
### 6. 數學歸納法(Mathematical Induction，MI)
:::info
1. 確認命題在 $n=1$ 時成立（確認初始條件）
2. 令命題在 $n=k$ 時成立，
利用這個結果推導至 $n=k+1$
:::
$Remark.$ 使用時機：要證明某個命題對所有正整數都成立

$Remark.$ **學測少考，但這是證明中非常重要的手段**

$Remark.$ 有時候不一定要從 $n=1$ 開始，由命題的條件開始下手

## Chapter.5 數據分析
### 0. 基本名詞複習
:::success
Definition.
對於 $n$ 筆數據 $x_1,x_2,...,x_n$ 而言：
1. 算術平均數(AM)$=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ **(常考)**
2. 幾何平均數(GM)$=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_n}$ **(常考)**
3. 中位數(Me) $= \begin{cases}x_{(\frac{n+1}{2})},n為奇數\\\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}),n為偶數\\\end{cases}$ **(少考)**
4. 眾數：數據中出現最多次的數 **(常識)**
5. 百分位數、四分位數、全距、四分位距等太少考，有興趣者可以上網搜尋
:::
---
### 1. 一維數據的離散程度
:::success
Definition. **標準差（Standard Deviation,SD）**
標準差($\sigma$)$:=\sqrt{\frac{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+...+(x_n-\mu)^2}{n}}=\sqrt{\frac{(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)}{n}- \mu^2}$
:::
$Remark.$ 口訣：方均根(離均差平**方**和 平**均** 開**根**號)、根號(方均$-$均方)

$Remark.$ 變異數定義為 $\sigma^2$，在學測很少考，考出來請自動換成標準差，通常在考一組數據的離散程度

$Remark.$ 一組數據的離散程度越高，標準差越大；數據越集中，標準差越小

---
### 2. 數據的伸縮平移
:::info
一組數據 $x_1,x_2,...,x_n$，其算術平均為 $\mu_x$，標準差為 $\sigma_x$。
令 $y_i=ax_i+b$，則：
1. $\mu_y=a\mu_x+b$
2. $\sigma_y=|a|\sigma_x$
:::
---
### 3. 數據標準化
:::info
一組數據 $x_1,x_2,...,x_n$，其算術平均為 $\mu_x$，標準差為 $\sigma_x$。
則其標準化數據為 $y_i=\cfrac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}$
:::
$Remark.$ 口訣：減平均除以標準差
:::danger
Properties.
標準化數據 $y_i$ 的：
1. 算術平均 $\mu_y=0$
2. 標準差 $\sigma_y=1$
:::
---
### 4. 二維數據
:::success
Definition. **相關係數（Correlation Coefficient）**

$n$ 筆二維數據 $(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、...、(x_n,y_n)$，
其相關係數 $r$ $:=\cfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}$
:::
$Remark.$ 可以改寫為 $r=\cfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{n\sigma_x \sigma_y}=\cfrac{\sum_{i=1}^nx^{\prime}_iy^{\prime}_i}{n}$
其中 $x^{\prime}_i$ 與 $y^{\prime}_i$ 為標準化數據。
:::danger
Properties.
相關係數的範圍：$-1\le r\le 1$
:::
:::danger
相關係數的伸縮平移：
若數據 $(x_i,y_i)$ 的相關係數為 $r$，令 $x^{\prime}=ax+b$，$y^{\prime}=cy+d$，
則數據 $(x^{\prime}_i,y^{\prime}_i)$ 的相關係數 $r^{\prime} = \begin{cases}r,ac>0\\-r,ac<0\\\end{cases}$
:::

---
### 5. 迴歸直線、最適直線
:::success
數據 $(x_1,y_1)、...(x_n,y_n)$ 的迴歸直線方程式為
\begin{gather*}
L:(y-\mu_y)=r\cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)
\end{gather*}
若為標準化數據 $(x^{\prime},y^{\prime})$，則迴歸直線方程式為
\begin{gather*}
L:y^{\prime}=rx^{\prime}
\end{gather*}
:::

## Chapter.6 排列組合與機率
### 0. 邏輯先備知識
:::info
1. **笛摩根定律（De Morgan's Laws）**
$(A\cup B)^{\prime}\equiv A^{\prime}\cap B^{\prime}$、$(A\cap B)^{\prime}\equiv A^{\prime}\cup B^{\prime}$
2. $A$ 為 $B$ 的**充分條件（Sufficient Condition）**：$A\Rightarrow B$
$A$ 為 $B$ 的**必要條件（Necessary Condition）**：$A\Leftarrow B$
$A,B$ 互為**充要條件（If and only if）**：$A\Leftrightarrow B$
3. **一一對應（One to one correspond-ence）**
有時候題目的情境不方便我們思考(或是根本沒有情境)，我們一般可以透過**一一對應原則**來建立合理的數學模型，以便我們思考。
:::
$Remark.$ 集合論不常考，有興趣可以自行上網搜尋

---
### 1. 計數原理
:::info
1. **加法原理（Rule of Sum）**
關鍵字：**分類**，完成一件事可以有多個方式可以做到，這時透過加總的方式將各方法加起來即為總方法數。
2. **乘法原理（Rule of Product）**
關鍵字：**步驟**，完成一件事須多個步驟方可完成，這時將執行各個步驟的方法數相乘，即可得到總方法數。
3. **排容原理（Principle of Inclusion and Exclusion,PIE）**
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
(三集合版請自行推導，這裡打不下)
4. 窮舉
近年學測的排列組合沒有非常困難，甚至多數用窮舉即可得到答案，所以遇到**數字小**的題目，不妨試試窮舉。
5. 樹狀圖
窮舉有時會東漏西漏，而樹狀圖可以有系統地整理你的窮舉內容，不容易漏寫某些情形，但比較耗空間。
:::
$Remark.$ 排容原理的中心思想在 **多退少補**，掌握後不論幾個集合你都會

---
### 2. 排列
:::success
Definition. **階乘(Factorial)**
\begin{gather*}
n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1
\end{gather*}
其中 $n$ 為正整數，並且規定 $0!=1$
:::
:::info
$n$ 個相異物排成一列，方法數為 $n!$ 種
:::
:::success
Definition. **排列(Permutation)**
\begin{gather*}
P_k^n:=\cfrac{n!}{(n-k)!}
\end{gather*}
:::
:::info
從 $n$ 個**相異物**中，取出不重複的 $k$ 個東西，且**排成一列**，
方法數為$P_k^n=\cfrac{n!}{(n-k)!}$ 種
:::
:::info
$n$ 個不盡相同物中，共有 $k$ 種，每種分別有 $x_1,x_2,...,x_k$ 種，且 $n=x_1+x_2+...+x_k$，則將這些物品排成一列，
方法數為 $\cfrac{n!}{x_1!\cdot x_2!\cdots x_n!}$ 種
:::
:::info
【重複排列】
有 $k$ 種相異物，任意選出 $n$ 個排成一列，**可以重複選取**，
方法數為 $k^n$ 種
:::
$Remark.$ $P^n_k$ 可以視為從 $n$ 開始往下乘 $k$ 個數
:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
>$P^6_3=6\cdot 5\cdot 4=120$
:::
>[color=red]解題思路1
>遇到 **不相鄰** 的問題，優先考慮 **插空隙**

>[color=red]解題思路2
>走格子問題，若圖很單純、沒障礙物，優先考慮 **不盡相同物排列**
>若有障礙物或分支，**直接用數的**

$Remark.$ **錯排（Derangements）** 學測中不常考，有興趣可以上網搜尋

---
### 3. 組合
:::success
Definition. **組合(Combination)**
\begin{gather*}
C^n_k:=\cfrac{P^n_k}{k!}=\cfrac{n!}{k!(n-k)!}
\end{gather*}
:::
:::info
從 $n$ 個相異物中，取出不重複的 $k$ 個，**不考慮排列順序**，
方法數為 $C^n_k$ 種
:::
>[color=red]解題思路3
>由定義我們知道：$P^n_k=C^n_k\cdot k!$，因此面對某些組合的問題時，可以先算排列，再乘上階乘來消去順序造成的問題。

$Remark.$ $C^n_k=C^n_{n-k}$

:::success
Theorem. **巴斯卡定理(Pascal Formula)**
\begin{gather*}
C^n_k=C^{n-1}_k+C^{n-1}_{k-1}
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 口訣：上同加一，下差一取大

>[color=red]解題思路4
>**分組討論** 是慣用伎倆，有效地分類能大幅減少計算時間

>[color=red]解題思路5
>分組分堆三大要訣：
>1. 分堆時，**相同個數除以該個數階乘**
>2. 指定個數指定人，**C取完就走**
>3. 依照數量分給人，**先分堆再配發**

---
### 4. 二項式定理
:::success
Theorem. **二項式定理(Binomial Theorem)**
\begin{gather*}
(x+y)^n=C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}y+...+C^n_kx^{n-k}y^k+...+C^n_ny^n
\end{gather*}
:::
>[color=red]解題思路6
>變形1：$(1+x)^n=C^n_0+C^n_1x+...+C^n_kx^k+...+C^n_nx^n$
>變形2：$(1+1)^n=C^n_0+C^n_1+...+C^n_k+...+C^n_n=2^n$

$Remark.$ 同餘的基礎概念其實就是二項式定理
:::spoiler 舉例
>[color=blue]Example
試問 $40^{2024}$ 除以 $13$ 的餘數
答案：1
詳解：
用 $40$ 用 $3\cdot 13+1$ 二項式展開，前面所有項有 $13$，因此都能被 $13$ 整除，唯最後一項 $C^{2024}_{2024}\cdot 1^{2024}$ 無法被 $13$ 整除，故餘數為 $1$。
此外，若用同餘就會是這樣表達：
$40^{2024}\equiv 1^{2024}\equiv 1$ (mod$13$)
:::

---
### 5. 古典機率
:::success
**拉普拉斯古典機率(Laplace Classical Probability)**

樣本空間 $S$ (由 $x$ 個樣本點組成，每一個樣本點出現的機會相等) 中的某個子集合 $A$ (由 $y$ 個樣本點組成)，$n\le m$。
則事件 $A$ 發生的機率為 $P(A)=\cfrac{n(A)}{n(S)}$
:::
$Remark.$ 互斥事件：若 $A,B$ 為兩互斥事件，代表這兩件事不會同時發生，因此 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

>[color=red]解題思路7
>如果分子不考慮排列順序，則分母也不需考慮，反之亦然

>[color=red]解題思路8
>夫妻問題，**先選對再選人**

---
### 6. 期望值
:::success
Definition. **期望值(Expectation)**
\begin{gather*}
期望值就是『價值\times 機率』
\end{gather*}
:::

>[color=red]解題思路9
>抽到 $n$ 顆球的期望值是抽到 $1$ 顆球的 $n$ 倍

>[color=green]總結
>排列組合需要的是**練習題目保持手感**，近年學測排組不難，連我都會，不必刻意練習過難的題目

## Chapter.7 三角比
### 1. 直角三角比
:::success
Definition. **三角比**

直角三角形 $\Delta ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}$，$\overline{BC}=a$、$\overline{AC}=b$、$\overline{AB}=c$
定義 $\angle A$ 的三角比為：
1. 正弦(sine)：$\sin A=\cfrac{a}{c}$
2. 餘弦(cosine)：$\cos A=\cfrac{b}{c}$
3. 正切(tangent)：$\tan A=\cfrac{a}{b}$
:::
:::danger
Properties.

常用三角比數值：
| | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ |
| ------------- |:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:|
| $\sin \theta$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos \theta$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\tan \theta$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
:::
$Remark.$ $15^{\circ}$那些的可以用半角公式求得，不需死記

:::danger
Properties.

設 $\theta$ 為銳角，則有：
1. $\cfrac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$
2. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$ **(受用一輩子)**
3. $\sin (90^{\circ}-\theta)=\cos \theta$，反之亦然
:::

---
### 2. 廣義角三角比
:::success
Definition. **同界角(Coterminal Angles)**
\begin{gather*}
\theta \equiv \phi \mod360^{\circ} \Leftrightarrow \theta,\phi為同界角
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 簡單地說，始邊與終邊相同的角度們稱為同界角

$Remark.$ 兩同界角之間的差必為 $360^{\circ}$ 的整數倍

$Remark.$ 我們定義 **逆時針** 為正，**順時針**

:::success
Definition. **三角比**

設 $\theta$ 為廣義角，其始邊與 $x$ 軸正向重合，終邊上一點 $P(x,y)$，且
$\overline{OP}=r$，則定義三角比：
1. 正弦(sine)：$\sin \theta =\cfrac{y}{r}$
2. 餘弦(cosine)：$\cos \theta =\cfrac{x}{r}$
3. 正切(tangent)：$\tan \theta =\cfrac{y}{x}$
:::

$Remark.$ 快速判斷：$\sin$ 看高度($y$)，$\cos$ 看寬度($x$)

$Remark.$ 注意到 $\tan$ 的定義與**斜率**相等，故解題時經常將兩者視為等價，方便我們計算

:::danger
Properties.

廣義角三角比的正負
1. 第一象限：$\sin >0,\cos >0,\tan >0$
2. 第二象限：$\sin >0,\cos <0,\tan <0$
3. 第三象限：$\sin <0,\cos <0,\tan >0$
4. 第四象限：$\sin <0,\cos >0,\tan <0$
:::
$Remark.$ 若還沒記熟，可以使用 **才字大法**

:::danger
Properties. **廣義角的轉換**

萬年口訣：**奇變偶不變，正負看象限**
:::
>[color=white]如果您這邊還不熟悉，建議您把這句口訣每天念，上課念，下課念，吃飯念，洗澡念，直到睡著也在念

---
### 3. 極坐標
:::success
Definition. **極坐標(Polar Coordinate System)**

平面上 $O$ 為原點，另一點 $P$，滿足 $\overline{OP}=r$，且 $\theta$ 為 $\overline{OP}$ 與 $x$ 軸正向的夾角。
則 $P$ 的極坐標定義為 $[r,\theta]$，其直角坐標為 $(r\cos \theta,r\sin \theta)$
:::

---
### 4. 面積公式
:::success
Formula.

在 $\Delta ABC$ 中，$\overline{BC}=a$，$\overline{AC}=b$，$\overline{AB}=c$，則 $\Delta ABC$ 的面積為
\begin{gather*}
\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B
\end{gather*}
:::

---
### 5. 正弦定理
:::success
Theorem. **正弦定理(Law of Sine)**

在 $\Delta ABC$ 中，$\overline{BC}=a$，$\overline{AC}=b$，$\overline{AB}=c$，$R$ 為外接圓半徑，則
\begin{gather*}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 結合面積公式與正弦定理，可得 $\Delta ABC$ 面積為 $\cfrac{abc}{4R}$

$Remark.$ 解題時，如有看到**三角形的外接圓**、**圓內接四邊形**，記得想到正弦定理

---
### 6. 餘弦定理
:::success
Theorem. **餘弦定理(Law of Cosine)**

在 $\Delta ABC$ 中，$\overline{BC}=a$，$\overline{AC}=b$，$\overline{AB}=c$，則
\begin{gather*}
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
\end{gather*}
其他邊同理，可自行推導
:::
$Remark.$
一般我們只記上述結論，有時我們會用到它的變形 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$Remark.$ 餘弦定理不須死記，將他視為**畢氏定理的推廣**就好

:::danger
Properties. **三角形判斷**
1. $\angle A$ 為銳角 $\Leftrightarrow$ $a^2<b^2+c^2$
2. $\angle A$ 為直角 $\Leftrightarrow$ $a^2=b^2+c^2$ (畢氏定理)
3. $\angle A$ 為鈍角 $\Leftrightarrow$ $a^2>b^2+c^2$
:::

---
### 補充. 幾個小定理
:::info
1. **中線定理（Pappus Theorem）**
$\Delta ABC$ 中，$M$ 為 $\overline{BC}$ 的中點，則
\begin{gather*}
\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=2(\overline{BM}^2+\overline{AM}^2)
\end{gather*}
2. **角平分線定理（Angle Bisector Theorem）**
$\Delta ABC$ 中，$\overline{AI}$ 為 $\angle A$ 的內角平分線，則
\begin{gather*}
\overline{AI}=\sqrt{\overline{AB}\times \overline{AC}-\overline{BI}\times \overline{CI}}
\end{gather*}
3. **平行四邊形定理（Parallelograms Theorem）**
平行四邊形 $ABCD$ 中，有
\begin{gather*}
\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DA}^2=\overline{AC}^2+\overline{BD}^2
\end{gather*}
即 **四邊平方和 = 對角線平方和**
4. **海龍公式（Heron's Formula）**
$\Delta ABC$ 中，$a,b,c$ 為三邊長，$s$ 為半周長，則三角形面積為
\begin{gather*}
\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{gather*}
5. **婆羅摩笈多公式(大海龍)（Brahmagupta Formula）**
圓內接四邊形 $ABCD$ 中，$a,b,c,d$ 為四邊長，$s$ 為半周長，則四邊形面積為
\begin{gather*}
\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
\end{gather*}
6. **托勒密定理（Ptolemy Theorem）**
圓內接四邊形 $ABCD$ 中，滿足
\begin{gather*}
\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}=\overline{AC}\cdot \overline{BD}
\end{gather*}
即 **對邊乘積和 = 對角線的乘積**
:::

## Chapter.8 三角函數
### 1. 弧度
:::success
Definition. **弧度（Radian）**
\begin{gather*}
1^{\circ}=\frac{\pi}{180}弳，1弳=(\frac{180}{\pi})^{\circ}
\end{gather*}
:::

$Remark.$ $1$ 弳約為 $57.3^{\circ}$

---
### 2. 扇形弧長與面積
:::info
一扇形之半徑為 $r$，圓心角為 $\theta$ (弳)，則有：
1. 弧長為 $s=r \theta$
2. 面積為 $A=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rs$
:::

$Remark.$ 雖然學測很少考，但面對**時針問題**，你是可以看手錶的

---
### 3. 三角函數的圖形
>[color=white]圖片來源：國立臺灣師範大學
:::info
1. 正弦函數 $y=\sin x$
(1) 週期 $2\pi$
(2) 定義域 $\{x|x\in R\}$
(3) 值域 $\{y|-1\le y\le 1\}$
:::

:::info
2. 餘弦函數 $y=\cos x$
(1) 週期 $2\pi$
(2) 定義域 $\{x|x\in R\}$
(3) 值域 $\{y|-1\le y\le 1\}$
:::
:::info
3. 正切函數 $y=\tan x$
(1) 週期 $\pi$
(2) 定義域 $\{x|x\in R，x\not=\frac{奇數\pi}{2}\}$
(3) 值域 $\{y|y\in R\}$
:::

$Remark.$ 不論 $\sin 或 \cos$，最大值都是 $1$，最小值都是 $-1$

>[color=red]解題思路
>三角函數求極值：
>1. 留意 $x$ 的範圍
>2. 善用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

>[color=red]解題思路
>圖形與某水平線/鉛直線的交點：
>1. 數字小、圖好畫：畫圖就好
>2. 數字醜、圖難畫：解聯立

>[color=red]解題思路
>圖形的對稱點、對稱軸
>1. $y=\sin x$ 為奇函數，對稱於原點
>$y=\cos x$ 為偶函數，對稱於 $y$ 軸
>2. 不論 $\sin$ 或 $\cos$，**對稱點代入為0，對稱軸代入為極值**
---
### 4. 三角函數的伸縮平移
:::info
1. $y=f(x)$ 的平移（以下的 $p>0$）
(1) 向上 $p$ 單位：$y=f(x)+p$
(2) 向下 $p$ 單位：$y=f(x)-p$
(3) 向左 $p$ 單位：$y=f(x+p)$
(4) 向右 $p$ 單位：$y=f(x-p)$
2. $f(x)$ 的伸縮
(1) 上下伸縮 $p$ 倍：$y=p\cdot f(x)$
(2) 左右伸縮 $p$ 倍：$y=f(\frac{1}{p}\cdot x)$
:::

$Remark.$ 左右伸縮記得是倒數

$Remark.$ $\sin$ 和 $\cos$ 可以經由平移得到彼此

---
### 5. 和差角公式
:::success
Formula.
1. 和角公式
$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$
$\tan(\alpha+\beta)=\cfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$
2. 差角公式
$\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$
$\tan(\alpha-\beta)=\cfrac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}$
3. 二倍角公式
$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=2\cos^2 \alpha-1=1-2\sin^2 \alpha$
$tan 2\alpha=\cfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}$
4. 半角公式
$\sin \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$
$\cos \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$
$\tan \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}$
(正負由 $\frac{\alpha}{2}$ 所在的象限而定)
:::

$Remark.$ $\tan$ 的半角不須死記，直接拿 $\sin$ 除以 $\cos$ 即可

$Remark.$ 三倍角不在課綱內，有興趣者可以自行上網搜尋

---
### 6. 疊合（年年必考）
:::info
$y=a\sin x + b\cos x$，可以疊合為
\begin{gather*}
y=\sqrt{(a^2+b^2)}\cdot \sin (x+\theta)
\end{gather*}
其中 $\theta$ 滿足 $\sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$、$\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
:::

>[color=red]解題思路
>疊合步驟：
>1. 新函數前方倍數為**平方相加開根號**
>2. 將原函數中的 $\sin$ 的係數視為 $x$，$\cos$ 的係數視為 $y$，點在坐標平面上，該點與 $x$ 軸正向夾角即為 $\theta$

$Remark.$ 疊合的原理為**和差角**，如果基礎不熟建議從和差角自行推導一次
:::danger
Properties. **疊合後可以求極值**
新函數 $y=\sqrt{(a^2+b^2)}\cdot \sin (x+\theta)$ 的範圍為
\begin{gather*}
-\sqrt{a^2+b^2}\le y\le \sqrt{a^2+b^2}
\end{gather*}
因此可以藉由結合來求極值，當然，也需留意 $x$ 的範圍
:::

## Chapter.9 指對數函數
### 1. 指數函數(Exponentail Function)
:::success
Definition. **指數函數(Exponentail Function)**
\begin{gather*}
y=f(x)=a^x(a>0,a\not=1,x\in R)
\end{gather*}
:::
>[color=white]圖片來源：國立臺灣師範大學
:::danger
Properties.
1. 函數恆正，即 $y=f(x)>0,\forall x\in R$
2. 圖形恆過 $(0,1)$
3. 當 $a>1$ 時，底數越大，圖形越陡
當 $0<a<1$ 時，底數越大，圖形越平
4. $y=f(x)=a^x$ 與 $y=f(x)=(\frac{1}{a})^x$ 對稱於 $y$ 軸
5. $y=f(x)=a^x$ 有漸近線 $y=0$ (即 $x$ 軸)
6. $y=f(x)=a^x$ 凹口向上
:::
$Remark.$ 判斷凹性可以用**琴生不等式**判斷。
因為對於指數函數有 $\frac{a^{x_1}+a^{x_2}}{2} > a^{\frac{x_1+x_2}{2}}$，因此凹口向上。

$Remark.$
底數 $a>1$ 的指數函數為**嚴格遞增**；
底數 $0<a<1$ 的指數函數為**嚴格遞減**

$Remark.$ 考試時須特別注意**底數與指數的限制**

>[color=red]解題思路
>面對**指數不等式**或**指數方程式**的題目，先換成相同的底數

>[color=red]解題思路
>指數函數也有求極值的問題，將**某個重複的指數項**假設為 $A$，改用**二次函數求極值**，此外，仍須注意指數項的範圍限制

---
### 2. 對數函數(Logarithmic Function)
:::success
Definition. **對數函數(Logarithmic Function)**
\begin{gather*}
y=f(x)=\log_ax(a>0,a\not=1,x>0)
\end{gather*}
:::
>[color=white]圖片來源：桃園市政府教育局

$Remark.$ 因為對數函數與指數函數互為反函數，所以它所有的性質都與指數函數對應，你可以將 $x$ 軸與 $y$ 軸互反，會更方便你判斷。

$Remark.$ 相同地，須特別留意**底數與真數**的範圍限制。

$Remark.$ 因為指數函數與對數函數互為反函數，
因此 $y=\log_ax$ 與 $y=a^x$ 對稱於 $y=x$。

---
### 3. 對數律(Law of Logarithm)
:::info
以下考慮 $a,b>0$，$x\in R$：
1. $\log a+\log b=\log ab$
2. $\log a-\log b=\log \cfrac{a}{b}$
3. $\log {a^x}=x\log a$
:::
$Remark.$ 我們可以推廣出 $\log_{a^x}{b^x}=\log_ab$。

## Chapter.10 平面向量
### 1. 向量的基本概念
:::success
Definition. **向量(Vector)**
\begin{gather*}
即為包含『方向』與『大小』的量
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 如果兩向量相等，則必須滿足 **長度相等**、**方向相同**
:::success
Definition.
**反元素（Inverse Element）：**
向量的正負號表方向，即 $\vec{v}$ 與 $-\vec{v}$ 的方向相反，且 $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

**零向量（Zero Vector）：**
定義 $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$，並且其方向為四面八方，而非無方向

**向量加法（幾何）：**
\begin{gather*}
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
\end{gather*}
**向量減法（幾何）：**
\begin{gather*}
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}
\end{gather*}
**係數積（Scalar Multiplication）：**
考慮向量 $\vec{v}$ 與常數 $r\in R$，則有：
1. $r>0$，$r\vec{v}$ 代表與 $\vec{v}$ 同向且長度為 $r$ 倍的向量
2. $r<0$，$r\vec{v}$ 代表與 $\vec{v}$ 反向且長度為 $|r|$ 倍的向量

**代數表示：**
在平面上，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

**向量加法（代數）：**
平面上有 $\vec{u}=(x_1,y_1)$，$\vec{v}=(x_2,y_2)$，則有
\begin{gather*}
\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)
\end{gather*}
**向量減法（代數）：**
平面上有 $\vec{u}=(x_1,y_1)$，$\vec{v}=(x_2,y_2)$，則有
\begin{gather*}
\vec{u}-\vec{v}=(x_1-x_2,y_1-y_2)
\end{gather*}
**係數積（代數）：**
平面上有 $\vec{v}=(x_1,y_1)$，$r\in R$，則有
\begin{gather*}
r\vec{v}=r(x_1,y_1)=(rx_1,ry_1)
\end{gather*}
:::
:::danger
Properties.
兩向量 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 若平行，則存在 $r\in R$，使得 $\vec{u}=r\vec{v}$
:::
:::danger
Properties. **線性組合(Linear Combination)**
平面上不平行的兩向量 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$，平面上所有向量 $\vec{w}$ 都可以透過 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 的線性組合來表示，即
\begin{gather*}
\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v} (a,b\in R)
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 延伸地說，因為 $(0,1),(1,0)$ 兩向量可以透過線性組合得到所有二維向量，因此 $R^2$ 的基底 (basis) 即為$(0,1),(1,0)$，他們可以span出整個 $R^2$。

$Remark.$ 線性組合的表示法是 **唯一的**。

>[color=red]解題思路
>有一種考法為線性組合後向量的位置

>[color=white]圖片來源：南一出版

### 2. 分點公式
:::success
平面上共線的三點 $A,P,B$。
$P$ 在 $A,B$ 之間，滿足，$\overline{AP}:\overline{PB}=m:n$，以及平面上任一點 $O$，
則：$\overrightarrow{OP}=\cfrac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\cfrac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$
:::
:::danger
Properties.
若 $A,P,B$ 共線，則 $\overrightarrow{OP}=a\cdot \overrightarrow{OA}+b\cdot \overrightarrow{OB}$ 中，$a+b=1$
(反之亦然，為 $\Leftrightarrow$)
:::
:::danger
Properties. **重心 ( $G$ )（Centroid）**

$\Delta ABC$ 中，重心為 $G$，$O$ 為平面上任一點則：
1. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$
2. $\overrightarrow{OG}=\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$
3. 重心的直角坐標為 **三頂點坐標的平均**
:::

---
### 3. 內積
:::success
Definition. **內積（Inner Product）**

兩非零向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$、$\vec{b}=(x_2,y_2)$，且夾角為 $\theta$，則
\begin{gather*}
\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1x_2+y_1y_2=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 我們可以移項得到 $\cos \theta = \cfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

:::danger
Properties.
1. $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
2. $|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2 \vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}|^2$
3. $\vec{a}\perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0$
:::

>[color=red]解題思路
>看到 **垂直** ，務必想到
>1. **斜率乘積** 為【$-1$】
>2. **向量內積** 為【$0$】

$Remark.$ 有一種考題是兩直線夾角
>[color=red]解題思路
>【解 1：向量款】
>1. 對直線 $ax+by+c=0$ 而言，有一個法向量為 $(a,b)$
>（口訣：係數就是法向量）
>2. 用內積的方式找到兩個法向量的夾角餘弦值 $\cos \theta$
>3. 有趣的是這個餘弦值就是兩直線的夾角，這樣你就算出答案了!

>[color=red]解題思路
>【解 2：三角款】
>1. 如果題目給了兩直線與 $x$ 軸正向的夾角，則先算出這兩個角的正切值 $\tan \theta$
>2. 利用 $\tan$ 的差角公式算出兩夾角的差，即為兩直線之夾角

---
### 4. 正射影
:::success
Definition. **單位向量(Unit Vector)**
\begin{gather*}
長度為 1 的向量
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 與向量 $\vec{v}$ 同向的單位向量為 $\cfrac{1}{|\vec{v}|}\cdot \vec{v}$

:::success
Definition. **正射影（Orthographic Projection）**

設 $\vec{u},\vec{v}$ 為兩夾角為 $\theta$ 的非零向量，則 $\vec{u}$ 在 $\vec{v}$ 上的正射影為
\begin{gather*}
\vec{p}=(\cfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2})\cdot \vec{v}
\end{gather*}
:::
:::danger
Properties. **正射影長**
\begin{gather*}
|\vec{p}|=\cfrac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}
\end{gather*}
:::

---
### 5. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
:::success
Definition. **柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）**

【代數版本】
設 $a_1,a_2,b_1,b_2\in R$，後兩者不為 $0$，則有
\begin{gather*}
(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge (a_1b_1+a_2b_2)^2
\end{gather*}
等號成立於 $\cfrac{a_1}{b_1}=\cfrac{a_2}{b_2}$ 時。
【向量版本】
平面上兩向量 $\vec{u},\vec{v}$，則有
\begin{gather*}
|\vec{u}||\vec{v}|\ge |\vec{u}\cdot \vec{v}|
\end{gather*}
等號成立於 $\vec{u}\parallel \vec{v}$ 時。
:::

---
### 6. 三角不等式（Triangle Inequality）
:::success
Definition. **三角不等式（Triangle Inequality）**

【代數版本】
設 $x,y\in R$，則有
\begin{gather*}
|x|+|y|\ge |x+y|
\end{gather*}
等號成立於 $xy\ge 0$ 時。
【向量版本】
平面上兩向量 $\vec{u},\vec{v}$，則有
\begin{gather*}
|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge |\vec{u}+\vec{v}|
\end{gather*}
等號成立於 $\vec{u},\vec{v}$ 同向或至少一者為 $\vec{0}$ 時。
:::

---
### 7. 二階行列式（Second Order Determinant）
:::success
Definition. **二階行列式（Second Order Determinant）**
\begin{gather*}
\left| \begin{matrix}
a & b \\
c & d \\
\end{matrix} \right|=ad-bc
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 口訣：**右斜減左斜**
:::danger
Properties.
1. 行列互換值不變，即$\left| \begin{matrix}
a & b \\
c & d \\
\end{matrix} \right|=
\left| \begin{matrix}
a & c \\
b & d \\
\end{matrix} \right|=
ad-bc$
2. 行行對調、列列對調，值變號，即$\left| \begin{matrix}
a & b \\
c & d \\
\end{matrix} \right|=
-\left| \begin{matrix}
c & a \\
d & b \\
\end{matrix} \right|$
3. 同行、同列可提倍數，即$\left| \begin{matrix}
ra & b \\
rc & d \\
\end{matrix} \right|=
r\left| \begin{matrix}
a & c \\
b & d \\
\end{matrix} \right|$
4. 行加行、列加列，值不變，即$\left| \begin{matrix}
a & b \\
c & d \\
\end{matrix} \right|=
\left| \begin{matrix}
a+c & b+d \\
c & c \\
\end{matrix} \right|$
5. 加法：$\left| \begin{matrix}
a & b \\
c & d \\
\end{matrix} \right|+
\left| \begin{matrix}
e & b \\
f & d \\
\end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}
a+e & b \\
c+f & d \\
\end{matrix} \right|$
:::

---
### 8. 面積公式
:::success
Formula.
平面上兩向量 $\vec{u}=(x_1,y_1)$、$\vec{v}=(x_2,y_2)$，則由 $\vec{u},\vec{v}$ 所張開的三角形面積為
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2-(\vec{u}\cdot \vec{v})^2}=\frac{1}{2}|\left| \begin{matrix}
x_1 & x_2 \\
y_1 & y_2 \\
\end{matrix} \right||
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 從小到大三角形面積都有**除以2**，這裡也不例外，請別忘記了

$Remark.$ 沒有除以2就會變成 **平行四邊形** 面積

$Remark.$ 這裡討論的面積沒有方向，故恆不為負，記得加 **絕對值**

---
### 9. 克拉瑪公式（Cramer's Formula）
:::success
Formula. **克拉瑪公式（Cramer's Formula）**

二元一次聯立方程式
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
令 $\Delta =$ $\left|\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
\end{matrix} \right|$、$\Delta_x =$ $\left|\begin{matrix}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2 \\
\end{matrix} \right|$、$\Delta_y =$ $\left|\begin{matrix}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2 \\
\end{matrix} \right|$
則：
1. $\Delta \not=0$，方程式**恰有一組解** $(x,y)=(\frac{\Delta_x}{\Delta},\frac{\Delta_y}{\Delta})$
2. $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$，方程式有**無限多組解**
3. $\Delta=0$，但 $\Delta_x,\Delta_y$ 恰一者 $\not=0$，方程式**無解**
:::
$Remark.$
$\Delta$ 就是 $x,y$ 的係數，而 $\Delta_x$ 就把 $x$ 換成常數項；$\Delta_y$ 就把 $y$ 換成常數項

>[color=green]和幾何的連結
>1. **恰一組解** $\Leftrightarrow$ 兩直線**相交於一點**
>2. **無限組解** $\Leftrightarrow$ 兩直線**重合**
>3. **無解** $\Leftrightarrow$ 兩直線**平行**

:::danger
Properties. **克拉瑪公式與面積**

我們可以將聯立方程式
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
視為向量的線性組合：$x\vec{a}+y\vec{b}=\vec{c}$，其中
\begin{gather*}
\vec{a}=(a_1,a_2)，\vec{b}=(b_1,b_2)，\vec{c}=(c_1,c_2)，x,y>0
\end{gather*}
則：
\begin{gather*}
x=\cfrac{\vec{b},\vec{c}所張的平行四邊形面積}{\vec{a},\vec{b}所張的平行四邊形面積}，y=\cfrac{\vec{a},\vec{c}所張的平行四邊形面積}{\vec{a},\vec{b}所張的平行四邊形面積}
\end{gather*}
:::

## Chapter.11 空間向量
### 1. 空間概念
:::info
如何可以決定一個空間中的平面呢？
1. 不共線的相異三點
2. 一直線與線外一點
3. 兩平行直線
4. 兩相交直線
>[color=orange]外積求法向量，點代入求平面
:::
:::info
空間中兩直線間的關係
1. 交一點
2. 平行
3. 歪斜（不平行也不相交）
:::
$Remark.$ 兩歪斜線無法決定平面，意即兩歪斜線必不共平面
:::success
Definition. **二面角（Dihedral Angle）**

兩平面相交於一直線，取線上一點做分別在兩平面上與此直線垂直的射線，則這兩條射線的夾角定義為這兩個平面的夾角，稱為二面角

:::
>[color=white]圖片來源：維基百科

:::success
Theorem. **三垂線定理（Theorem of Three Perpendiculars）**

空間中，$AB$ 垂直於平面 $E$，取 $E$ 上不通過 $B$ 的直線 $L$。
若 $BC\perp L$，則 $AC\perp L$。
:::

:::info
基本體積公式：
1. 柱體體積 $=$ 底面積 $\times$ 柱高
2. 錐體體積 $=$ $\frac{1}{3}$ $\times$ 底面積 $\times$ 柱高
:::
$Remark.$ 空間相關計算追求幾個要素
>[color=green]心法：
>1. 善用餘弦定理、相似形比例線段
>2. 空間概念要好，至少圖形要想像的到
>3. 正四面體兩鄰邊夾角餘弦值 $\cos \theta =\frac{1}{3}$

### 2. 空間坐標與空間向量
:::success
Definition. **空間中的點距離**

空間中兩點 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，則
\begin{gather*}
\overline{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 有些複習講義或補習班會整理點到各種軸、平面等距離，但個人推薦直接現場算就好，不必花過多心力去背誦

:::success
Definition. **空間向量**
空間中兩點 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，則
\begin{gather*}
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)
\end{gather*}
而長度 $|\overrightarrow{AB}|=\overline{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$
:::
$Remark.$ 空間向量99%的性質都與在平面上相同，故重複部分不再贅述

---
### 3. 柯西不等式（三維版本）
:::success
Definition. **柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）**

【代數版本】
設 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，後三者不為 $0$，則有
\begin{gather*}
(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\ge (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2
\end{gather*}
等號成立於 $\cfrac{a_1}{b_1}=\cfrac{a_2}{b_2}=\cfrac{a_3}{b_3}$ 時。
【向量版本】
平面上兩向量 $\vec{u},\vec{v}$，則有
\begin{gather*}
|\vec{u}||\vec{v}|\ge |\vec{u}\cdot \vec{v}|
\end{gather*}
等號成立於 $\vec{u}\parallel \vec{v}$ 時。
:::

---
### 4. 外積（Cross Product）
:::success
Definition. **外積（Cross Product）**

空間中兩向量 $\vec{u}=(x_1,y_1,z_1)$、$\vec{v}=(x_2,y_2,z_2)$，定義外積為
\begin{gather*}
\vec{u}\times \vec{v}=(\left|\begin{matrix}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2 \\
\end{matrix} \right|,\left|\begin{matrix}
z_1 & x_1 \\
z_2 & x_2 \\
\end{matrix} \right|,\left|\begin{matrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
\end{matrix} \right|)
\end{gather*}
若兩向量之夾角為 $\theta$，則外積也可以寫為
\begin{gather*}
\vec{u} \times \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\sin \theta
\end{gather*}
:::

>[color=green]全世界90%的人都這樣記（除非你能直接看出來）
>1. 向量抄兩遍
>2. 去頭去尾
>3. 中間交叉相乘

:::danger
Properties.
1. 外積後是一個向量，此向量垂直於原本的兩個向量
2. 因為外積是一個向量，因此具有方向性
\begin{gather*}
\vec{u}\times \vec{v}=-(\vec{v} \times \vec{u})
\end{gather*}
:::
$Remark.$ 內積結果為 **純量**，外積結果為 **向量**

:::danger
Properties.
不論平面上、空間中，向量 $\vec{u},\vec{v}$ 所張開的平行四邊形面積為
\begin{gather*}
\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2-(\vec{u}\cdot \vec{v})^2}
\end{gather*}
而在空間中，我們也可以用外積的長度來表示，即面積為
\begin{gather*}
|\vec{u}\times \vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin \theta
\end{gather*}
:::

$Remark.$ 內積用 $\cos$，外積用 $\sin$

---
### 5. 三階行列式（Third Order Determinant）
:::success
Definition. **三階行列式（Third Order Determinant）**
\begin{gather*}
\left| \begin{matrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{matrix}\right|\\=
a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2
\end{gather*}
:::
:::danger
Properties.
1. 二階行列式滿足的性質在此都適用
2. 某兩行（兩列）成比例時，行列式之值為 $0$
:::
:::danger
Properties. **降階**
# 強尼待補
:::

## Chapter.12 空間中的平面與直線

## Chapter.13 條件機率

## Chapter.14 矩陣