112 學年度學科能力測驗第四次聯合模擬考試(數A)-全國公私立高級中學-南一版E4

# 112 學年度學科能力測驗第四次聯合模擬考試(數A)-全國公私立高級中學-南一版E4 更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題](https://hackmd.io/@hsinyun-love-math/S13MC0Yq0) 詳解請掃 QR code:![image](https://hackmd.io/_uploads/SylB6EK6C.png =15%x)  [TOC] ## 第壹部分、選擇（填）題 ### 一、單選題 > 1. 已知 $a, b$ 為正整數，定義一個新的運算符號 $\{\}$ 滿足 $a\{1\}b=a^b$ 及 $a\{n+1\}b=a^{a\{n\}b}$，$n\in N$，例如：$2\{1\}4=2^4$，$2\{2\}4=2^{2\{1\}4}=2^{2^4}$，$2\{3\}4=2^{2\{2\}4}=2^{2^{2^4}}$，$\cdots$，試問下列哪個選項是數字 $2\{3\}3$ 以十進位表示時的位數？ > (1) 4 位數 > (2) 19 位數 > (3) 20 位數 > (4) 77 位數 > (5) 78 位數 <details> <summary>點擊看單選1 詳解</summary> [答案]5 [詳解] </details> > 2. 已知一速食店推出「買A送B」的優惠活動，買A欄中的任何一品項即送B欄中的任何一品項，可自由搭配，飲品中冰/熱視為不同的品項，假設每種品項皆供應無虞，惟須注意供應時間，沒有標註時間的品項即為全天供應，試問正午十二點參加「買A送B」活動，A欄、B欄各選一品項共有多少種不同的商品組合？(例如：A欄美式咖啡(熱)+B欄雪碧與A欄雪碧+B欄美式咖啡(熱)視為相同的商品組合) > ![image](https://hackmd.io/_uploads/BkjeNwn7yl.png) > (1) 104 種 > (2) 103 種 > (3) 102 種 > (4) 101 種 > (5) 100 種 <details> <summary>點擊看單選2 詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 3. 已知三個數列 $<a_n>$、$<b_n>$ 及 $<c_n>$，其中 $<a_n>$、$<b_n>$ 的遞迴式如下， > $<a_n>=\left\{\begin{align*} > 3 &,n=1\\ > a_{n-1}+2 &,n\geq2,n\in N > \end{align*}\right.$、$<b_n>=\left\{\begin{align*} > 4 &,n=1\\ > b_{n-1}+4n &,n\geq2,n\in N > \end{align*}\right.$，而 $a_n,b_n,c_n$ 為直角三角形的三個邊長，且 $c_n$ 為斜邊長，試求 $c_1+c_2+c_3+\cdots+c_{10}$ 之值為何？ > (1) 881 > (2) 890 > (3) 925 > (4) 950 > (5) 1010 <details> <summary>點擊看單選3 詳解</summary> [答案]2 [詳解] </details> > 4. 設 $a$ 為實數且 $a>0$，已知滿足不等式 $3|x-a|\leq a$ 的實數解之最小值為 7，試求 $a$ 值為何？ > (1) 14 > (2) 18 > (3) 21 > (4) 24 > (5) 28 <details> <summary>點擊看單選4 詳解</summary> [答案]1 [詳解] </details> > 5. 已知二階線性變換矩陣 $P$ 將點 $A(3,4)$ 對應到 $A'(1,0)$，$P$ 將點 $B(1,2)$ 對應到點 $B'(0,1)$，若 $P^{-1}$ 將直線 $L:2x+3y=5$ 上所有點都對應到一直線 $L'$，試求 $L'$ 之斜率為何？ > (1) $-\frac{9}{14}$ > (2) $\frac{9}{14}$ > (3) $-\frac{14}{9}$ > (4) $\frac{8}{7}$ > (5) $-\frac{8}{7}$ <details> <summary>點擊看單選5 詳解</summary> [答案]4 [詳解] </details> > 6. 已知 $a>b>0$，試問下列等式何者可成立？ > (1) $(a+\frac{4}{a})(b+\frac{9}{b})=23$ > (2) $(a+\frac{9}{b})(\frac{4}{a}+b)=24$ > (3) $(a+b)(\frac{4}{a}+\frac{9}{b})=25$ > (4) $2^a+2^{\frac{4}{a}}=10$ > (5) $(\log_3b)(\log_3\frac{9}{b})=2$ <details> <summary>點擊看單選6 詳解</summary> [答案]4 [詳解] </details> ### 二、多選題 > 7. 設有 10 比數據 $(x_i,y_i)$，其中 $i=1,2,\cdots,10$，若 $x$ 與 $y$ 的散布圖上 10 個點均在直線 $y=9-2x$ 上，且令資料 $x$ 的算術平均數 $\mu_x=3$，資料 $x$ 的標準差 $\sigma_x=2.5$，資料 $y$ 的算術平均數 $\mu_y$，試選出正確的選項。 > (1) $\mu_y=3$ > (2) 資料 $y$ 的標準差為 $4$ > (3) 另外 10 筆數據 $(4x_i-3, 5-2y_i)$，其中 $i=1,2,\cdots,10$ 的相關係數為 $1$ > (4) 若將這 10 筆資料 $(x_i,y_i)$ 標準化後得 $(x_i',y_i')$，則 $x_i'$ 與 $y_i'$ 的散布圖上 10 個點均在直線 $y'=-x'$ 上 > (5) 如果原資料再加上一筆數據 $(\mu_x,\mu_y)$，$y$ 對 $x$ 的迴歸直線仍為 $y=9-2x$ <details> <summary>點擊看多選7 詳解</summary> [答案]1345 [詳解] </details> > 8. 已知三次函數 $y=f(x+2)$ 的圖形如圖(1)，且 $f(0)=16$，試選出正確的選項。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1SW_wnm1e.png =30%x) > (1) $y=f(x)$ 的圖形左移 2 單位即為 $y=f(x+2)$ > (2) $f(x)$ 除以 $x-3$ 的餘式為 -10 > (3) $y=f(x)$ 的圖形經過適當平移後會與 $y=x^3-9x$ 的圖形重合 > (4) $y=f(x)$ 的圖形在對稱中心附近的一次近似直線斜率為 -18 > (5) 不等式 $(x+2)f(x)\leq0$ 的整數解一共有 5 個 <details> <summary>點擊看多選8 詳解</summary> [答案]145 [詳解] </details> > 9. 有一圓心為原點且半徑為 4 的圓，將一雷射光圓放在點 $H(2\sqrt3,1)$ 沿著 $\overrightarrow{v}=(0,-1)$ 的方向發射，碰到圓後進行反射，依序碰到圓上的點分別為 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$，最後光線回到 $H$ 點，試選出正確的選項。 > (1) 點 $A$ 的極座標為 $[4,\frac{\pi}{6}]$ > (2) $\triangle HDE$ 面積為 $5\sqrt3$ > (3) 圓上的點與 $H$ 點之距離為整數者共有 16 個 > (4) $\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HF}=-5$ > (5) 若 $\overrightarrow{HB}=\alpha\overrightarrow{HA}+\beta\overrightarrow{HD}$，其中 $\alpha,\beta$ 為實數，則 $\alpha+\beta=\frac{7}{3}$ <details> <summary>點擊看多選9 詳解</summary> [答案]245 [詳解] </details> > 10. 已知函數 $f(x)=\cos2x-\cos(2x-\frac{\pi}{3})$，試選出正確的選項。 > (1) $f(x)$ 的週期為 $\pi$ > (2) $a$ 為實數，可知 $f(a)=f(\frac{\pi}{3}-a)$ > (3) 在區間 $[0,2\pi)$ 中滿足 $f(x)=\frac{1}{2}$ 的所有實數 $x$ 之和為 $\frac{10}{3}\pi$ > (4) $f(x)=\frac{x}{3}$ 有 5 個實根 > (5) $y=f(x)$ 的圖形可由 $y=\sin^2x$ 的圖形經適當(左右、上下)平移得到 <details> <summary>點擊看多選10 詳解</summary> [答案]1345 [詳解] </details> > 11. 已知平面上有四個非零向量 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{OD}$，其中 $O$ 為原點，且滿足 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1$ 及 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}>0$，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0$，試選出正確的選項。 > (1) $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 必不平行 > (2) $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{c}$ 必不平行 > (3) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 與 $\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}$ 垂直 > (4) 若將點 $A$ 以 $O$ 為中心旋轉有向角 $\theta$ 至點 $C$，則點 $B$ 以 $O$ 為中心旋轉 $\theta$ 角會至點 $D$ > (5) 若將點 $A$ 已過原點 $O$ 的直線 $L$ 為鏡射軸鏡設至點 $B$，則點 $C$ 以 $L$ 為鏡射軸會鏡射至點 $D$ <details> <summary>點擊看多選11 詳解</summary> [答案]135 [詳解] </details> > 12. 已知有一正四面體 $A-BCD$，如示意圖(2)，其中平面 $BCD$ 平貼於地面，今太陽光(平行光) 垂直照射平面 $ABC$，若太陽光將點 $A$ 照射在平面 $BCD$ 的影子為點 $A'$，試選出正確的選項。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/SJCN_wn71l.png =25%x) > (1) 直線 $AA'$ 垂直平面 $BCD$ > (2) 點 $A'$ 在 $\triangle BCD$ 的內部 > (3) 設平面 $AA'B$ 與平面 $AA'C$ 的兩面角為 $\alpha$，則 $\sin\alpha=\frac{1}{2}$ > (4) 設太陽光與平面 $BCD$ 的銳夾角為 $\beta$，則 $\sin\beta=\frac{1}{3}$ > (5) $\triangle A'BC$ 的面積為 $\triangle ABC$ 面積的 3 倍 <details> <summary>點擊看多選12 詳解</summary> [答案]145 [詳解] </details> ### 三、選填題 > 13. 棒球投手++大古++和打擊手++翔評++哪一位比較厲害，常是人們茶餘飯後的話題。已知++大古++投球時可將球投進好球帶及沒有投進好球帶兩種結果，++翔評++擊球時可將球擊出安打、被接殺、及揮棒落空三種結果，今由電腦大數據分析，++翔評++擊出安打、被接殺、及揮棒落空的機率分別為 0.2、0.4、0.4，已知++翔評++擊出安打、被接殺、及揮棒落空的條件下，++大古++能將球投進好球帶的機率分別為 0.9、0.5、0.3，今++大古++投一球，已知++大古++沒有將球投進好球帶，則此時被++翔評++擊出安打的機率為何？(化為最簡分數) <details> <summary>點擊看選填13 詳解</summary> [答案]$\frac{1}{25}$ [詳解] </details> > 14. 設 $\left[\begin{align*} > a && b\\ > c && d > \end{align*}\right]$ 是一個沒有反方陣的二階轉移矩陣，且 $A+A^2=\left[\begin{align*} > \frac{1}{2} && \frac{1}{2}\\ > \frac{3}{2} && \frac{3}{2} > \end{align*}\right]$，則 $d$ 值為何？(化為最簡分數) <details> <summary>點擊看選填14 詳解</summary> [答案]$\frac{3}{4}$ [詳解] </details> > 15. 學校請甲、乙、丙三位同學投票選擇高三畢旅地點，其中城市地點有 $A$、$B$ 兩個，遊樂園地點有 $C$、$D$ 兩個，若要求每位同學從中選擇兩個不同的地點，且城市地點至少選一個，則此三位同學至少有一個相同的選擇地點(例如: 甲、乙、丙皆有選 $A$，投票結果為甲選 $A$、$B$，乙選 $A$、$C$，丙選 $A$、$D$)的機率為何？(化為最簡分數) <details> <summary>點擊看選填15 詳解</summary> [答案]$\frac{13}{25}$ [詳解] </details> > 16. 坐標平面上有直線 $L$，已知 $A(1,1)$ 到直線 $L$ 的距離為 2，$B(8,0)$ 到直線 $L$ 的距離為 7，則滿足上述條件中斜率最小的直線 $L$ 方程式為何？ <details> <summary>點擊看選填16 詳解</summary> [答案]$4x+3y+3=0$ [詳解] </details> > 17. $\triangle ABC$ 中，$\overline{BC}=14$，點 $M$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\angle BAM=120^\circ$ 且 $\angle CAM=30^\circ$，則 $\triangle ABC$ 面積為何？(化為最簡根式) <details> <summary>點擊看選填17 詳解</summary> [答案]$7\sqrt3$ [詳解] </details> ## 第貳部分、混合題或非選擇題 > 18-20為題組 > 如圖(3)，已知長方體 $ABCD-EFGH$，試回答下列問題。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rk-vuv2Qkg.png =20%x) > 18. 試問哪一個平面包含直線 $CE$ 並與直線 $AB$平行？ > (1) 平面 $ACGE$ > (2) 平面 $CDHG$ > (3) 平面 $CDEF$ > (4) 平面 $BCHE$ > (5) 平面 $ABGH$ <details> <summary>點擊看 18題詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 19. 若 $\overline{AB}=a$、$\overline{AD}=b$、$\overline{AE}=c$，試求直線 $CE$ 與直線 $AB$ 的距離。(以 $a$、$b$、$c$ 表示) <details> <summary>點擊看 19題詳解</summary> [答案]$\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$ [詳解] </details> > 20. 若直線 $CE$ 與直線 $AB$ 的距離為 $\frac{8}{\sqrt5}$，且直線 $CE$ 與直線 $AD$ 的距離為 $\frac{16}{\sqrt{17}}$，且直線 $CE$ 與直線 $BF$ 的距離為 $\frac{16}{\sqrt5}$，試求長方體 $ABCD-EFGH$ 的體積。 <details> <summary>點擊看 20題詳解</summary> [答案]$512$ [詳解] </details> --- ## 答案 | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | |------|------|------|------|------|------| | (5) | (3) | (2) | (1) | (4) | (4) | | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. | |------|------|------|------|------|------| | (1)(3)(4)(5) | (1)(4)(5) | (2)(4)(5) | (1)(3)(4)(5) | (1)(3)(5) | (1)(4)(5) | | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. | |------|------|------|------|------|------|------|------| | $\frac{1}{25}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{13}{25}$ | $4x+3y+3=0$ | $7\sqrt3$ | (3) | $\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$ | $512$ |