112 學年度學科能力測驗聯合模擬考試(數B)-新竹區高級中等學校-翰林版E3

# 112 學年度學科能力測驗聯合模擬考試(數B)-新竹區高級中等學校-翰林版E3 更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題](https://hackmd.io/@hsinyun-love-math/S13MC0Yq0) 詳解請掃 QR code:![image](https://hackmd.io/_uploads/rkNXV2RaA.png =15%x)   [TOC] ## 第壹部分、選擇（填）題 ### 一、單選題 > 1. 已知 $m$、$n$ 皆為正整數，多項式 $f(x)=(x-2)^{2m+1}-(x-4)^{2n}$，則 $f(x)$ 除以 $(x-3)$ 的餘式為下列哪一個選項？ > (1) $2m+2n+1$ > (2) $2m-2n+1$ > (3) $0$ > (4) $2$ > (5) $4$ <details> <summary>點擊看單選1 詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 2. 已知 $a$ 為正整數，若有理數 $\frac{15}{a}$ 可化為有限小數且滿足 $\frac{1}{4}<\frac{15}{a}<\frac{1}{3}$，試問這樣的 $a$ 值有幾個？ > (1) 1個 > (2) 2個 > (3) 3個 > (4) 4個 > (5) 5個 <details> <summary>點擊看單選2 詳解</summary> [答案]2 [詳解] </details> > 3. 已知數列 $<a_n>$，其中 $a_1=\sqrt{26}$ 且 $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+26}+\sqrt{n+25}}$，則 $a_{2023}=$？ > (1) $5\sqrt{26}$ > (2) $12\sqrt{13}$ > (3) $16\sqrt{13}$ > (4) $16\sqrt{2}$ > (5) $32\sqrt{2}$ <details> <summary>點擊看單選3 詳解</summary> [答案]5 [詳解] </details> > 4. 泥水工匠都知道將大小相同的長方體磚塊以某個固定的角度相接，就可砌出近似圓形的建築形式，如圖(一)。例如：圖(二)是用10塊長方體磚塊砌成一近似圓形的牆面，每塊長方體的長邊為1單位，相鄰兩磚塊之間固定夾 $36^\circ$角。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/HJxzEDApC.png =60%x) > 若已知目前建築使用的長方體磚塊的長邊約為24公分，試問：如圖(二)方式，用60個大小相同的長方體磚塊砌成一近似圓形牆面的內部所能容納最大圓形的半徑是多少公分？ > (1) $24\cdot\cos3^\circ$ 公分 > (2) $\frac{12}{\cos3^\circ}$ 公分 > (3) $\frac{12}{\sin3^\circ}$ 公分 > (4) $\frac{12}{\tan3^\circ}$ 公分 > (5) $24\cdot\tan3^\circ$ 公分 <details> <summary>點擊看單選4 詳解</summary> [答案]4 [詳解] </details> > 5. 如右圖，在平行四邊形 $ABCD$ 中，已知 $\overline{AC}$ 交 $\overline{BD}$ 於 $O$ 點，且 $\overline{AB}=8$、$\overline{BC}=6$，則 $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BO}$ 的值為下列何者？ > ![image](https://hackmd.io/_uploads/BJgyrwApC.png =35%x) > (1) 50 > (2) 12 > (3) -7 > (4) 0 > (5) -12 <details> <summary>點擊看單選5 詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 6. 若三次函數 $f(x)=ax^3+px$ 滿足 $f(3)>0$、$f(7)<0$，試判斷 $a$、$p$ 的正負號。 > (1) $a>0$、$p>0$ > (2) $a>0$、$p<0$ > (3) $a<0$、$p>0$ > (4) $a<0$、$p<0$ > (5) 無法判斷 <details> <summary>點擊看單選6 詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 7. 已知 $f(x)$ 為三次實係數多項式且 $f(2)=0$，$g(x)$ 為不大於二次的實係數多項式且 $g(1)=-2$。若 $f(x)+g(x)=2x^3-4$ 且 $3f(x)+g(x)$ 除以 $(x+1)$ 的餘式為 30，試求 $g(0)=$？ > (1) 14 > (2) 12 > (3) 8 > (4) 0 > (5) -14 <details> <summary>點擊看單選7 詳解</summary> [答案]5 [詳解] </details> ### 二、多選題 > 8. 已知 $x=\sqrt7-1$，試判斷下列哪些選項的值是正數？ > (1) $x^2-4$ > (2) $\log\frac{3}{x}$ > (3) $\frac{1}{3^x}$ > (4) $-x^2-2x+5$ > (5) $\sin x$ <details> <summary>點擊看多選8 詳解</summary> [答案]235 [詳解] </details> > 9. ++林小豪++加入++臺灣++某職業籃球聯盟後，在10月份新球季的五場熱身賽中上場時間X(單位:分鐘)與得分數Y(單位:分)如下： <div class="center-table-container"> <table> <tr> <td>上場時間X</td> <td>7</td> <td>14</td> <td>14</td> <td>28</td> <td>42</td> </tr> <tr> <td>得分數Y</td> <td>9</td> <td>12</td> <td>9</td> <td>18</td> <td>27</td> </tr> </tr> </table> </div> > 試選出正確的選項。 > (1) ++林小豪++這五場比賽的平均上場時間為20分鐘 > (2) ++林小豪++這五場比賽的平均得分數為15分 > (3) ++林小豪++這五場比賽上場時間的標準差小於14分鐘 > (4) 根據這五場比賽得到Y對X的回歸(最適)直線為 $y=\frac{15}{28}x+\frac{15}{4}$ > (5) 若下場比賽教練讓++林小豪++上場33分鐘，利用回歸(最適)直線預測下場比賽++林小豪++的得分數會超過20分 <details> <summary>點擊看多選9 詳解</summary> [答案]2345 [詳解] </details> > 10. 某地區有 $A$、$B$ 兩種生物族群，其中 $A$ 族群的生物數量滿足 $f(t)=\frac{L}{1+e^{-t}}$，$B$ 族群的生物數量滿足 $g(t)=\frac{1.5}{1+e^{-2t}}+c$，其中 $f(t)$、$g(t)$ 單位為萬隻，時間 $t$ 單位為月數，$L$、$c$、$e$ 為常數，其中 $e$ 大約等於2.718。已知一開始($t=0$) $A$、$B$ 族群的生物數量皆為1萬隻，試問下列哪些選項正確？ > (1) $L=2$ > (2) $c=1$ > (3) 此地區 $A$ 族群的生物數量始終不超過2萬隻 > (4) 1個月後，$A$ 族群的生物數量會比 $B$ 族群的生物數量來的多 > (5) 1年後(12個月後)，$A$ 族群的生物數量會比 $B$ 族群的生物數量來的多 <details> <summary>點擊看多選10 詳解</summary> [答案]135 [詳解] </details> > 11. 若絕對值不等式 $|5x-k|\leq3$ 的解集合中所包含的整數只有1與2，則 $k$ 值可能為下列哪些選項？ > (1) 6.3 > (2) 6.8 > (3) 7.3 > (4) 7.8 > (5) 8.3 <details> <summary>點擊看多選11 詳解</summary> [答案]34 [詳解] </details> > 12. 有一個掛在垂直地面的牆上的亮燈裝置共有十二個點光源燈泡，分別逆時針編號1至12號(1號燈在最低處)，且等距圍在一個半徑為2公尺的圓上，圓心離地5公尺(即1號燈距離地面3公尺)，如圖所示。 > 此裝置的亮燈規則如下：一開始全部熄滅，接著從1號燈開始，每一秒鐘會逆時針依序亮起下一個燈泡，到第12秒時全亮，接著第13秒起又從1號燈開始，每一秒鐘會逆時針依序熄滅下一個燈泡，到第24秒時全熄滅，自第25秒起1號燈又再次亮起，以此類推。倘若在第 $T$ 秒時($T$ 為整數)，++小明++看到只有編號1至3號的燈泡亮著，試問下列哪些選項正確？ > ![image](https://hackmd.io/_uploads/B1INIcCTR.png =25%x) > (1) 再經過21秒後所有的燈恰好全部熄滅 > (2) 再經過113秒後的1號燈是亮著的 > (3) 再經過2024秒後亮著的燈共有10個 > (4) 若整數 $t$ 滿足 $T\leq t\leq T+6$，則第 $t$ 秒時亮燈的燈泡中高度最高的燈泡與地面的距離為 $2\sin(\frac{\pi}{6}t+\frac{4\pi}{3})+5$ 公尺 > (5) 若整數 $t$ 滿足 $T+15\leq t\leq T+20$，則第 $t$ 秒時亮燈的燈泡中高度最高的燈泡與地面的距離為 $2\sin(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{2})+5$ 公尺 <details> <summary>點擊看多選12 詳解</summary> [答案]15 [詳解] </details> ### 三、選填題 > 13. 從100，101，102，103，104，105，106，107，108，109 等10個數中任意取出3個數，使其和為不小於310的偶數。試問：滿足上述不同的取法共有幾種? <details> <summary>點擊看選填13 詳解</summary> [答案]$51$ [詳解] </details> > 14. 如下圖，$\triangle ABC$ 中，已知 $\overline{AB}=\overline{AC}=20\sqrt2$，$\angle BAC=90^\circ$。今沿著兩線段 $\overline{AD}$、$\overline{AE}$ 將三角形摺起，使得 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 兩邊重合於 $\overline{AF}$，形成四邊形 $ADEF$，若 $\overline{BD}=8$，試問四邊形 $ADEF$ 面積為幾平方單位？ > ![image](https://hackmd.io/_uploads/ByCAwcCT0.png =70%x) <details> <summary>點擊看選填14 詳解</summary> [答案]$230$ [詳解] </details> > 15. 將大小相同的方塊積木堆成如下圖，並將積木與積木之間的接觸面黏貼固定，形成一個新的立體堆垛形狀，並可翻轉移動。每一個積木都是1立方公分大小的正立方體。由上而下，第一層有1個方塊積木，第二層有3個方塊積木，第三層有6個方塊積木，$\cdots$，以此類推。若堆13層，並將此立體堆垛形狀的表面(含底部)塗色，試問塗色的面積為多少平方公分？(例如，疊兩層後，表面需塗色的面積為18平方公分) > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkKZ_cRaC.png =30%x) <details> <summary>點擊看選填15 詳解</summary> [答案]$546$ [詳解] </details> > 16. ++阿明++同學有一個特製的計算機，上面只有數字0，1，2，$\cdots$，9，以及三個特殊按鍵，分別為常用對數鍵 $\log x$、指數鍵 $2^x$ 與 $100^x$。常用對數鍵的功能為：若輸入一個數字後再按 $\log x$，計算機螢幕會輸出該數字的對數值；指數鍵的功能為：若輸入一個數字後再按 $2^x$ 或 $100^x$，計算機螢幕會輸出該數字的指數值。例如：輸入數字2再按 $100^x$ 會得到 10000，接著再按 $\log x$ 會得到4，再按 $2^x$ 會得到16。 > 根據以上說明，當愛玩數字的++阿明++同學輸入數字1，再將這三個特殊按鍵依序按來按去，即 > $1\rightarrow$ $2^x$ $\rightarrow$ $\log x$ $\rightarrow$ $100^x$ $\rightarrow$ $2^x$ $\rightarrow$ $\log x$ $\rightarrow$ $100^x$ > 則該特製的計算機螢幕最後輸出的數字為何？ <details> <summary>點擊看選填16 詳解</summary> [答案]$256$ [詳解] </details> > 17. 有一平行四邊形房間 $OABC$，其中$O$ 在坐標平面原點，$A(10,0)$、$B(12,8)$、$C(2,8)$，現有一臺掃地機器人置放在 $O$ 點，++小明++設計了一個程式可以控制掃地機器人的掃地範圍，只要依序輸入八個數字 $a_1$ 至 $a_8$，即可讓掃地機器人在 $\{P|\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}=(a_1,a_2), \overrightarrow{v}=(a_3,a_4), a_5\leq x\leq a_6, a_7\leq y\leq a_8\}$ 的範圍掃地。++小明++現在想讓掃地機器人的掃地範圍限制在平行四邊形房間 $OABC$ 內(含邊界)，若不考慮中間的障礙物，則他需要依序輸入 $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8)=(1,0,1,?,?,?,?,?)$。 > <details> <summary>點擊看選填17 詳解</summary> [答案]$(1,0,1,4,0,10,0,2)$ [詳解] </details> ## 第貳部分、混合題或非選擇題 > 18-20為題組 > 復活節是基督教重要節日之一，乃是紀念耶穌被釘死在十字架上後第三天復活。而復活節彩蛋是慶祝復活節時特別裝飾的蛋，彩蛋一般會事先藏好，然後由兒童來尋找。基督徒以復活節彩蛋比喻為「新生命的開始」，象徵耶穌復活。 > ++小明++在學校跟同學們玩尋找復活節彩蛋的遊戲。++小明++把學校平面圖畫在坐標塗上，如下圖所示。已知學校範圍有六條直線：$m$、$h$、$i$、$j$、$k$、$a$ 包圍成一個六角形。而各直線方程式為 $m:2x-y=0$、$h:y=5$、$i:2x+y=18$、$j:2x-y=10\sqrt5$、$k:y=-5$、$a:2x+y=0$。若坐標圖上1單位長代表實際距離40公尺。是回答下列問題： > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rJ2HO5A6C.png =25%x) > 18. 若++小明++在學校範圍內(不包含邊界)的坐標整數點(即 $x$、$y$ 坐標都為整數的點)都放置一顆彩蛋，試求他總共放了多少顆彩蛋？ > (1) 56顆 > (2) 60顆 > (3) 64顆 > (4) 68顆 > (5) 72顆 <details> <summary>點擊看 18題詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 19. 若要在學校範圍內，且符合 $x\leq\frac{5}{2}$ 條件的範圍內作為復活節的表演區域，試問表演區域的面積為多少平方公尺？ <details> <summary>點擊看 19題詳解</summary> [答案]20000平方公尺 [詳解] </details> > 20. ++小明++跟同學們商量好找完彩蛋後可到直線 $j$ 等待，已知直線 $m$ 與 $j$ 為平行線。++小花++現在位於直線 $m$ 上，要走到直線 $j$ 等待，若++小花++一分鐘走50公尺，則++小花++最少要走多少分鐘？(不考慮中間的障礙物) <details> <summary>點擊看 20題詳解</summary> [答案]8分鐘 [詳解] </details> --- ## 答案 | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | |------|------|------|------|------|------|------| | (3) | (2) | (5) | (4) | (3) | (3) | (5) | | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. | |------|------|------|------|------| | (2)(3)(5) | (2)(3)(4)(5) | (1)(3)(5) | (3)(4) | (1)(5) | | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. | |------|------|------|------|------|------|------|------| | $51$ | $230$ | $546$ | $256$ | $(1,0,1,4,0,10,0,2)$ | (3) | 20000平方公尺 | 8分鐘 |