112 學年度學科能力測驗第三次聯合模擬考試(數A)-全國公私立高級中學-南一版E3

# 112 學年度學科能力測驗第三次聯合模擬考試(數A)-全國公私立高級中學-南一版E3 更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題](https://hackmd.io/@hsinyun-love-math/S13MC0Yq0) 詳解請掃 QR code:![image](https://hackmd.io/_uploads/SylB6EK6C.png =15%x)  [TOC] ## 第壹部分、選擇（填）題 ### 一、單選題 > 1. 設 $m$ 為實數，已知在坐標平面上，直線 $L:y=mx$ 除 $(0,0)$ 外，仍會通過其他格子點($x$、$y$ 坐標皆為整數)，則 $m$ 值可能為下列哪一個選項？ > (1) $10^{\log\sqrt2}$ > (2) $\log2$ > (3) $\log_{\frac{1}{4}}\sqrt{\sqrt2}$ > (4) $2^{\sqrt2}$ > (5) $2^{\frac{1}{4}}$ <details> <summary>點擊看單選1 詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 2. 二次函數 $y=ax^2+bx+c$ (其中$a$、$b$、$c$ 為實數且 $x\neq1$) 的部份圖形如圖(1)，試問下列哪一個選項可能為 $y=b+a^2$ 與 $y=c+\log_a x$ 的部份圖形？ > ![image](https://hackmd.io/_uploads/Bk9YbHzy1l.png =20%x) > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkCjWBfkJe.png =100%x) <details> <summary>點擊看單選2 詳解</summary> [答案]4 [詳解] </details> > 3. 甲、乙、$\cdots$、壬共9人抽籤評分成3隊報名籃球賽，則甲、乙同隊的機率為下列哪一選項？ > (1) $\frac{1}{12}$ > (2) $\frac{1}{4}$ > (3) $\frac{1}{3}$ > (4) $\frac{1}{2}$ > (5) $\frac{2}{3}$ <details> <summary>點擊看單選3 詳解</summary> [答案]2 [詳解] </details> > 4. 一筆成對資料 $(X,Y)$ 之 $Y$ 對 $X$ 的迴歸直線如圖(2)。設 $Y$ 的標準差大於 $X$ 的標準差，若將兩變量 $X$、$Y$ 分別標準化後得到新的一筆成對資料 $X'$、$Y'$，則 $Y'$ 對 $X'$ 的迴歸直線最有可能為下列哪一個選項？ > ![image](https://hackmd.io/_uploads/BkzAZSGJke.png =25%x) > ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1weGrfkJg.png =100%x) <details> <summary>點擊看單選4 詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 5. 小賴和小劉是好朋友，他們一起到台東鹿野高台參加熱氣球嘉年華。已知小賴先搭乘熱氣球上升到空中，觀測遠處地面上的小劉，俯角為 $\theta_1$；垂直向上飛行100公尺後，重新觀測小劉的俯角為 $\theta_2$，再垂直向上飛行100公尺後，重新觀測小劉的俯角 $\theta_3$。下列哪一個選項的數值依序必為等差數列？(小賴和小劉的身高可忽略不計) > (1) $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ > (2) $\theta_1, \theta_2-\theta_, \theta_3-\theta_2$ > (3) $\sin\theta_1, \sin\theta_2, \sin\theta_3$ > (4) $\cos\theta_1, \cos\theta_2, \cos\theta_3$ > (5) $\tan\theta_1, \tan\theta_2, \tan\theta_3$ <details> <summary>點擊看單選5 詳解</summary> [答案]5 [詳解] </details> > 6. 「主動式抗噪耳機」的原理是先使用耳機上的麥克風測量周圍的噪音聲波，如圖(3)的實線，再利用電子電路製造出一個相位相反、震幅相同的聲波，如圖(3)的虛線，來抵銷噪音以達抗噪功效，即虛線與實現對稱 $x$ 軸。若某款主動式抗噪耳機上的麥克風測得目前周圍的噪音聲波如圖(4)，則該耳機應產生下列哪一個聲波才足以抵銷目前周圍的噪音？ > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkDVzrzyJe.png =90%x) > (1) $\sqrt5\sin(x+\frac{\pi}{6})$ > (2) $\sqrt5\sin(2x+\frac{\pi}{3})$ > (3) $-\sin(2x+\frac{\pi}{3})$ > (4) $\sqrt5\sin(-2x-\frac{\pi}{6})$ > (5) $\sqrt5\sin(-2x-\frac{\pi}{3})$ <details> <summary>點擊看單選6 詳解</summary> [答案]5 [詳解] </details> ### 二、多選題 > 7. 設 $a$、$x$ 為實數，試選出正確的選項。 > (1) 方程式 $|4x-2|=a$ 的解與方程式 $\sqrt{(-4x+2)^2}=a$ 的解相同 > (2) 方程式 $|4x-2|=a$ 的解與方程式 $4x-2=\pm a$ 的解相同 > (3) 不等式 $|4x-2|\geq a$ 的解與方程式 $(4x-2)^2\geq a^2$ 的解相同 > (4) 不等式 $|4x-2|<2a$ 的解與方程式 $|-2x+1|>-a$ 的解相同 > (5) 不等式 $-3<|4x-2|<|a|$ 的解與方程式 $|4x-2|<|a|$ 的解相同 <details> <summary>點擊看多選7 詳解</summary> [答案]15 [詳解] </details> > 8. 關於三次函數 $f(x)=(x-1)^3+2(x-1)^2+p(x-1)+1$ > $=a(x+2)^3+b(x+2)^2+18(x+2)+c$，試選出正確的選項。 > (1) 序組 $(p,a,b,c)=(3,1,-7,-17)$ > (2) $f(0.98)\approx0.94$ (四捨五入至小數點後第二位) > (3) $y=f(x)$ 圖形的對稱中心為 $(1,1)$ > (4) $y=f(x)$ 在 $x=1$ 附近的一次近似為 $y=3x-2$ > (5) $y=f(x)$ 圖形與 $x$ 軸必有交點 <details> <summary>點擊看多選8 詳解</summary> [答案]1245 [詳解] </details> > 9. 已知兩圓方程式分別為圓 $C_1:x^2+y^2=16$、圓 $C_2:(x-6)^2+(y-1)^2=4$，其中圓 $C_1$ 的圓心為 $O_1$、圓 $C_2$ 的圓心為 $O_2$，設 $P$ 為圓 $C_1$ 上一點，$Q$ 為圓 $C_2$ 上一點，試選出正確的選項。 > (1) 設 $\overline{PQ}$ 最小值為 $m$，則 $0<m<1$ > (2) 設 $\overline{PQ}$ 最小值為 $M$，則 $12<M<13$ > (3) 同時與圓 $C_1$、圓 $C_2$ 皆相切的直線只有 2 條 > (4) 設同時與圓 $C_1$、圓 $C_2$ 皆相切的直線為 $L_1$ 與 $L_2$，且 $L_1$、$L_2$ 與 $\overline{O_1O_2}$ 皆不相交，則 $L_1$ 與 $L_2$ 的交點 $K$ 座標為 $(12,2)$ > (5) 設 $R$ 點在圓 $C_1$ 上，則 $\triangle PQR$ 可能為正三角形 <details> <summary>點擊看多選9 詳解</summary> [答案]1245 [詳解] </details> > 10. 下圖(5) 為台灣中油今年5月每週一調整後的零售價。關於這5次調價的敘述，試選出正確的選項。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/BJjDfrM11g.png =90%x) > (1) 95無鉛汽油這5次零售價的平均價格為 30.4 元 > (2) 95無鉛汽油這5次零售價的標準差小於 1 元 > (3) 92無鉛汽油、95無鉛汽油與98無鉛汽油這5次零售價的標準差皆一樣 > (4) 超級/高級柴油這5次零售價的標準差比95無鉛汽油的標準差大 > (5) 台灣中油依經濟部指示實施油價平穩機制，當95無鉛汽油零售價在 30~32.4 元/公升，當週油價若需上漲 $x$ 元，則零售價只漲 $\frac{3x}{4}$ 元，其餘 $\frac{x}{4}$ 元由台灣中油吸收(下跌時亦同)。因此95無鉛汽油在5月最後一次調價時，台灣中油吸收了 0.1 元/公升 <details> <summary>點擊看多選10 詳解</summary> [答案]1235 [詳解] </details> > 11. 如圖(6)，以紅、黃、綠三種顏色塗色三行三列的格子，每格只塗一色，相鄰格子不同色，且三色皆需使用。++小天++依相鄰格子數多寡分成圖中三區：I、II、III，並依序完成塗色。期計畫先塗 I 區，再依 II 區顏色異同的個數及分布塗色，最後塗完 III 區。試選出正確的選項。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rygjzBfkke.png =20%x) > (1) 若 II 區顏色皆相同，則塗完所有格子的方法有 6 種 > (2) 若 II 區恰有 3 格用同一色，則塗完所有格子的方法有 24 種 > (3) 若 II 區只用紅色及綠色，每種顏色塗 2 格，則 II 區的塗法有 $C^4_2C^2_2$ 種 > (4) 若 II 區恰為兩種顏色各塗 2 格，則塗完所有格子的方法有 72 種 > (5) 塗完所有格子的方法共有 240 種塗法 <details> <summary>點擊看多選11 詳解</summary> [答案]35 [詳解] </details> ### 三、選填題 > 12. 已知++小賴++和其他四名好朋友一起參加大嘻哈時代的饒舌比賽，他們在某次比賽環節的演唱表演分數都在 80 分到 90 分之間，已知他的四個好朋友的分數分別為 82、84、85、86，++小賴++的分數是整數，而且他們五個人分數的算術平均數和標準差也都是整數，則++小賴++的分數為？分。 <details> <summary>點擊看選填12 詳解</summary> [答案]$88$ [詳解] </details> > 13. 設兩相異點 $A$、$B$ 分別為直線 $y=x$ 與 $y=\log_a x$ 的交點，若 $O$ 點為原點，且 $A$ 點恰為 $\overline{OB}$ 的中點，試求 $\overline{OA}^2$ 之值為何？ <details> <summary>點擊看選填13 詳解</summary> [答案]$8$ [詳解] </details> > 14. 四邊形 ABCD 中，$\angle ABC=90^\circ$，$\overline{BC}=3$、$\overline{CD}=5$、$\overline{DA}=4$，如圖(7) 所示。若 $\overline{AC}$ 為 $\angle BCD$ 的角平分線，則 $\overline{AC}=？$(化為最簡根式) > ![image](https://hackmd.io/_uploads/Bydazrzkkl.png =30%x) <details> <summary>點擊看選填14 詳解</summary> [答案]$\sqrt{21}$ [詳解] </details> > 15. 如圖(8)所示，圓 $C:(x+2)^2+(y-2)^2=4$ 與 $x$ 軸相切於 $A$ 點，若圓 $C$ 沿 $x$ 軸向右滾動，碰到直線 $L$ 之後即停止，過程中 $A$ 點繞著圓心旋轉了 -5 度。已知 $L$ 過點 $(8,0)$，則 $L$ 的 $y$ 截距為何？(化為最簡分數) > ![image](https://hackmd.io/_uploads/SJRJQHG1ye.png =45%x) <details> <summary>點擊看選填15 詳解</summary> [答案]$\frac{10}{3}$ [詳解] </details> > 16. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $A(4,-5)$，若 $\angle B$、$\angle C$ 之角平分線分別為 $L_1:x+y=3$、$L_2:x-3y=-11$，試求直線 $BC$ 的斜率為何？(化為最簡分數) <details> <summary>點擊看選填16 詳解</summary> [答案]$-\frac{7}{5}$ [詳解] </details> > 17. 設正六邊形 $ABCDEF$ 的邊長為 1，今以 $E$ 為圓心作一圓弧 $DF$，如圖(9)所示。若 $P$ 為圓弧 $DF$ 上之動點，則當內積 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BP}$ 有最大值時，$\overrightarrow{AC}$ 與 $\overrightarrow{BP}$ 的夾角餘弦值為何？(化為最簡根式) > ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1YQmBGJyx.png =22%x) <details> <summary>點擊看選填17 詳解</summary> [答案]$\frac{\sqrt5}{5}$ [詳解] </details> ## 第貳部分、混合題或非選擇題 > 18-20為題組 > ++小賴++創業，自行設計公司的商標如圖(10)所示，$\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 為大園的切線，$B$ 和 $C$ 為切點，其中 $G$ 在 $\overline{AB}$ 上，$I$ 在 $\overline{AC}$ 上，$H$ 為 $\overline{GI}$ 和大園的切點；$\triangle AGI$ 為小圓的外切三角形，$D$、$E$、$F$ 為切點；且 $\overline{AD}=1$、$\overline{GF}=3$、$\overline{EI}=2$ (單位為公分)。試回答下列問題： > ![image](https://hackmd.io/_uploads/SJY8XSfyye.png =22%x) > 18. $\angle AGI$ 的餘弦值為下列哪一個選項？ > (1) $\frac{1}{2}$ > (2) $\frac{\sqrt3}{2}$ > (3) $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ > (4) $\frac{3}{5}$ > (5) $\frac{4}{5}$ <details> <summary>點擊看 18題詳解</summary> [答案]$\frac{4}{5}$ [詳解] </details> > 19. 大園的切線長 $\overline{AB}$ 為何？ <details> <summary>點擊看 19題詳解</summary> [答案]$6$ [詳解] </details> > 20. 試求出大圓的半徑。 <details> <summary>點擊看 20題詳解</summary> [答案]$6$ [詳解] </details> --- ## 答案 | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | |------|------|------|------|------|------| | (3) | (4) | (2) | (3) | (5) | (5) | | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | |------|------|------|------|------| | (1)(5) | (1)(2)(4)(5) | (1)(2)(4)(5) | (1)(2)(3)(5) | (3)(5) | | 12. | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. | |------|------|------|------|------|------|------|------|------| | $88$ | $8$ | $\sqrt{21}$ | $\frac{10}{3}$ | $-\frac{7}{5}$ | $\frac{\sqrt5}{5}$ | $\frac{4}{5}$ | $6$ | $6$ |