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title: 112 學年度學科能力測驗第一次模擬考試-文昌版E1
tags: [學測模擬試題, 112學年度]

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# 112 學年度學科能力測驗第一次模擬考試-文昌版E1
更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題]
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題

> 1. 設 $f(x)$、$g(x)$ 為多項式，並且滿足 $f(x)=(x^2+1)g(x)+x^3-1$，則下列哪個選項為 $f(x)$ 除以 $(x^2+1)$ 的商式？
> (1) $g(x)$
> (2) $g(x)+1$
> (3) $g(x)+x$
> (4) $g(x)+x^2$
> (5) $x\cdot g(x)$
<details>
    <summary>點擊看 單選1 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
  $\begin{align*}
    f(x)&=(x^2+1)g(x)+x^3-1 \\
    &=(x^2+1)g(x)+(x^2+1)(x)-x-1 \\
    &=(x^2+1)(g(x)+x)-x-1
  \end{align*}$
  $\Rightarrow f(x)$ 除以 $(x^2+1)$ 的商式 $(g(x)+x)$、餘式 $-x-1$，
  故選(3)。
</details>

> 2. 假設定義一個新的直線特性稱為「彈性係數」，其定義為：$y$ 每增加1單位，$x$ 會增加 $k$ 單位，則 $|k|$ 即為彈性係數。試問下列直線中，何者的彈性係數最大？
> (1) $y=3x+1$
> (2) $5x+2y=3$
> (3) $\frac{x}{3}+\frac{y}{7}=1$
> (4) $y-3=4(x-1)$
> (5) $2023x+112y=26$
<details>
    <summary>點擊看 單選2 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
  由題意可知 $k$ 為直線斜率的倒數
  (1) 彈性係數 $|k|=\frac{1}{3}$
  (2) 彈性係數 $|k|=|\frac{2}{-5}|=\frac{2}{5}$
  (3) 彈性係數 $|k|=|\frac{3}{-7}|=\frac{3}{7}$
  (4) 彈性係數 $|k|=\frac{1}{4}$
  (5) 彈性係數 $|k|=|\frac{112}{-2023}|=\frac{112}{2023}$
  故選(3)。
</details>

> 3. 設 $f(x)$ 為二次實係數多項式，若存在實數 $x$ 使得 $f^2(x)-f(x)<0$，則下列何者++不可能++是 $f(x)$？
> (1) $f(x)=(x-1)^2$
> (2) $f(x)=-(x-1)^2+3$
> (3) $f(x)=x^2+6x+8$
> (4) $f(x)=-2x^2+8x-9$
> (5) $f(x)=3x^2+6x+2$
<details>
    <summary>點擊看 單選3 詳解</summary>
  
  [答案]4
  [詳解]
  $f^2(x)-f(x)<0\Rightarrow f(x)[f(x)-1]<0$
  $\Rightarrow f(x)>0$ 且 $f(x)-1<0$ 有解
  (1) $f(x)=(x-1)^2\Rightarrow$ 開口向上且頂點為 $(1,0)$
  (2) $f(x)=-(x-1)^2+3\Rightarrow$ 開口向下且頂點為 $(1,3)$
  (3) $f(x)=x^2+6x+8=(x+3)^2-1\Rightarrow$ 開口向上且頂點為 $(3,-1)$
  (4) $f(x)=-2x^2+8x-9=-2(x-2)^2-1\Rightarrow$ 開口向下且頂點為 $(2,-1)$
  (5) $f(x)=3x^2+6x+2=3(x+1)^2-1\Rightarrow$ 開口向上且頂點為 $(-1,1)$
  (4) $f(x)$ 恆為負值，故不可能滿足 $f(x)>0$ 且 $f(x)-1<0$ 有解。
</details>

> 4. 已知坐標平面上有一菱形，其中一條對角線方程式為 $2x+5y=3$，一個頂點座標為 $(4,1)$，則下列哪個選項為另一條對角線的方程式？
> (1) $2x-5y=3$
> (2) $2x+5y=13$
> (3) $5x-2y=18$
> (4) $5x-2y=3$
> (5) 條件不足，無法找出另一條對角線方程式
<details>
    <summary>點擊看 單選4 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
  (i)菱形的兩條對角線互相垂直
  (ii)頂點必落在某條對角線上，$(4,1)$ 不在 $2x+5y=3$ 上，故會落在另一條對角線上
  由(i)(ii) 可知另一條對角線的方程式為 $5x-2y=18$，故選(3)。
</details>

> 5. 已知不等式 $\left\{
>   \begin{align*}
>     ax+y\geq 2 \\
>     x+by\leq 3
>   \end{align*}
> \right.$，其所圍的區域如下圖所示。下列有關 $a$、$b$ 的正負敘述，試選出正確的選項。
> ![image](https://hackmd.io/_uploads/SkqZvkiqC.png =40%x)

> (1) $a<0$、$b>0$
> (2) $a<0$、$b<0$
> (3) $a>0$、$b>0$
> (4) $a>0$、$b<0$
> (5) 不存在對應的 $a$、$b$ 使得此不等式所圍的區域與圖相符
<details>
    <summary>點擊看 單選5 詳解</summary>
  
  [答案]1
  [詳解]
  當 $m>0$ 時，$mx+ny\geq k$ 表示 $mx+ny=k$ 的右半平面；$mx+ny\leq k$ 表示 $mx+ny=k$ 的左半平面
  由圖可知，灰色區域皆在兩條直線的左半平面 $\Rightarrow a<0$
  又直線 $x+by=3$ 會通過點 $(3,0)$
  $\Rightarrow x+by=3$ 對應圖上斜率為負的直線 $\Rightarrow b>0$，
  故選(1)。
</details>

> 6. 直線 $y=k$ 與二次函數 $y=\frac{3}{2}(x-3)^2$ 交於相異兩點 $A$、$B$，若將 $A$、$B$ 與二次函數的頂點連線，恰可得一個正三角形，則 $k$ 值為何？
> (1) 1
> (2) 2
> (3) 3
> (4) 4
> (5) 5
<details>
    <summary>點擊看 單選6 詳解</summary>
  
  [答案]2
  [詳解]
  $\left\{\begin{align*}
    y&=k \\
    y&=\frac{3}{2}(x-3)^2
  \end{align*}\right.\Rightarrow k=\frac{3}{2}(x-3)^2\Rightarrow x=3\pm\sqrt{\frac{2k}{3}}$
  $\Rightarrow A(3+\sqrt{\frac{2k}{3}}, k), B(3-\sqrt{\frac{2k}{3}}, k)\Rightarrow\overline{AB}=2\sqrt{\frac{2k}{3}}$
  二次函數 $y=\frac{3}{2}(x-3)^2$ 的頂點為 $V(3,0)$
  $\Rightarrow V$ 到直線 $L:y=k$ 的距離為 $k$
  $\because \triangle VAB$ 為正三角形
  $\therefore\overline{AB}:d(V,L)=2:\sqrt{3}$
  $\Rightarrow 2\sqrt{\frac{2k}{3}}:k=2:\sqrt{3}\Rightarrow 2k=2\sqrt{2k}\Rightarrow k^2=2k\Rightarrow k=2$，
  故選(2)。
</details>

### 二、多選題
> 7. 設有三個實數 $a=0.\overline{4}$、$b=\sqrt{3-2\sqrt2}$、$c=5^{-0.5}$，試選出正確的選項。($\sqrt2\approx 1.414$，$\sqrt5\approx2.236$)
> (1) $a$ 為無理數
> (2) $a-b>0$
> (3) 三個數均小於 $\frac{1}{2}$
> (4) $c$ 為三個數當中最大的
> (5) 存在正實數 $x$、$y$，使得 $a=bx+cy$
<details>
    <summary>點擊看 多選7 詳解</summary>
  
  [答案]2345
  [詳解]
  (1)X，無限循環小數為有理數且 $a=\frac{4}{9}$
  (2)O，$b=\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt{2}-1\Rightarrow a-b=\frac{13}{9}-\sqrt2>0$
  (3)O，$a=0.\overline{4}<\frac{1}{2}$、$b=\sqrt{2}-1\approx 0.414<\frac{1}{2}$、$c=5^{-0.5}=\frac{1}{\sqrt5}<\frac{1}{2}$
  (4)O，$a=0.\overline{4}$、$b=\sqrt{2}-1\approx 0.414$、$c=\frac{1}{\sqrt5}\approx 0.4472$
  (5)O，承(4)知 $b<a<c$，故可由分點公式得正實數 $x$、$y$
  故選(2)(3)(4)(5)。
</details>

> 8. 考慮計算機上的 $\sqrt{}$(取正平方根)與 $\log$(取常用對數值)按鈕，已知此計算機上一按下 $\sqrt{}$ 鍵或 $log$ 鍵，就會把計算數值呈現在螢幕上，假設目前計算機螢幕上顯示數字為20231120501，下列敘述中請選出正確的選項。($2\approx10^{0.3010}$)
> (1) 按一下 $\log$ 鍵，螢幕顯示數字 $k_1$ 範圍為 $11\leq k_1<12$
> (2) 按一下 $\sqrt{}$ 鍵再按 $\log$ 鍵，螢幕顯示數字 $k_2$ 範圍為 $5\leq k_2<6$
> (3) 按兩下 $\log$ 鍵，螢幕顯示數字 $k_3$ 範圍為 $0\leq k_3<1$
> (4) 若按 $n$ 次 $\sqrt{}$ 之後，螢幕顯示數字 $k_4<10$，則 $n$ 至少為 $5$
> (5) 若按了第 $m$ 次 $\log$ 鍵時，螢幕顯示數字 $k_5$ 範圍為 $0\leq k_5<1$，則 $m$ 至少為 $3$
<details>
    <summary>點擊看 多選8 詳解</summary>
  
  [答案]25
  [詳解]
  (1)X，$20231120501=2.0231120501\times 10^{10}\Rightarrow 10\leq k_1<11$
  (2)O，$\sqrt{20231120501}\approx 1.~\times 10^5\Rightarrow 5\leq k_2<6$
  (3)X，承(1)按了一次得 $10\leq k_1<11\Rightarrow 1\leq k_3<2$
  (4)X，按 $n$ 次 $\sqrt{}$ 之後 $k_4=(20231120501)^{\frac{1}{2^n}}<10$
  $\Rightarrow 20231120501<10^{2^n}\Rightarrow n\geq 6$
  (5)O，承(3)可知正確
  故選(2)(5)。
</details>

> 9. 已知 $A=a\times 10^6$、$B=b\times 10^9$、$C=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}B$，其中 $1\leq a<b<10$，若 $C$ 寫成科學記號為 $c\times 10^k$，試選出正確的選項。
> (1) $A<C<B$
> (2) $a<c<b$
> (3) $k=8$
> (4) $|B-C|>|A-B|$
> (5) $C$ 可能的最大值與最小值差距超過 $10^9$
<details>
    <summary>點擊看 多選9 詳解</summary>
  
  [答案]15
  [詳解]
  (1)O(4)X，$C$ 為 $\overline{AB}$ 的內分點，
  且 $\overline{AC}:\overline{BC}=2:1\Rightarrow |B-C|<|A-B|$
  (2)X(3)X(5)O，
  $10^6\leq A<10^{7}$ 且 $10^9<B<10^{10}$
  $\Rightarrow \frac{1}{3}10^6+\frac{2}{3}10^9<C=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}B<\frac{1}{3}10^7+\frac{2}{3}10^{10}$
  $\Rightarrow$ 可能的最大值與最小值差距 $(\frac{1}{3}10^7+\frac{2}{3}10^{10})-(\frac{1}{3}10^6+\frac{2}{3}10^9)=3\times10^6+6\times 10^9>10^9$
  且 k 可能為 7,8,9。
  故選(1)(5)。
</details>

> 10. 在一個射擊遊戲中，玩家可以在坐標平面上的原點朝某個直線方向發射子彈，子彈可以想像成半徑為 $2$ 的圓盤，子彈的中心點則沿著 $y=2x$ 的直線朝第一象限前進，假設子彈打到任何東西都不會改變方向，則下列選項中那些可能會被子彈擊中？
> (1) 位於 $(8,12)$ 的點
> (2) 位於 $(-4,-4.1)$ 的點
> (3) 中心在 $(9,10)$，邊長為 $\sqrt2$ 之正方形
> (4) 長度為 $3$ 的線段，而線段的其中一個端點在 $(5,21)$
> (5) 頂點在 $(112,0)$，開口向上的拋物線
<details>
    <summary>點擊看 多選10 詳解</summary>
  
  [答案]145
  [詳解]
  (1)O(2)X
  判斷點到 $L:y=2x$ 的距離 $\leq2$，則會被子彈擊中
  (3)X，正方形的中心到頂點的距離為 1，$\because (9,10)$ 到 $L:y=2x$ 的距離為 $\frac{8}{\sqrt5}>2+1$
  $\therefore$ 子彈不會擊中
  (4)O，$\because (5,21)$ 到 $L:y=2x$ 的距離為 $\frac{11}{\sqrt5}<2+3$
  $\therefore$ 子彈會擊中
  (5)O，可能會被子彈擊中
  故選(1)(4)(5)。
</details>

> 11. 試選出滿足不等式: $(x^4-1)(x^3-1)(x^2-1)(x+1)<0$ 的選項。
> (1) $0$
> (2) $\log 0.301$
> (3) $\log 2023$
> (4) $0.5^{0.5}$
> (5) $3^{0.1}$
<details>
    <summary>點擊看 多選11 詳解</summary>
  
  [答案]124
  [詳解]
  將 $x$ 的數值分別帶入 (x^4-1)、(x^3-1)、(x^2-1)、(x+1)判斷正負
  (1) $0$ 帶入分別得「負、負、負、正」$\Rightarrow$ 相乘為負
  (2) $\log 0.301\approx-0.~$ 帶入分別得「負、負、負、正」$\Rightarrow$ 相乘為負
  (3) $\log 2023\approx3.~$ 帶入分別得「正、正、正、正」$\Rightarrow$ 相乘為正
  (4) $0.5^{0.5}\approx0.~$ 帶入分別得「負、負、負、正」$\Rightarrow$ 相乘為負
  (5) $3^{0.1}\approx1.~$ 帶入分別得「正、正、正、正」$\Rightarrow$ 相乘為正
  故選(1)(2)(4)。
</details>

> 12. 設實數 $x$ 滿足 $|1-x|+|2x-4|<5$，下列有關此不等式的敘述，試選出正確的選項。
> (1) 原式可解釋為在實數線上，$x$ 到 $1$ 的距離與 $x$ 到 $2$ 的距離和小於 $5$
> (2) 與 $x|1-x|+x|2x-4|<5x$ 的解相同
> (3) 與 $|x-1|+|2x-4|<5$ 的解相同
> (4) $x>2$ 時，$3x<10$
> (5) 不到5個整數 $x$ 滿足此不等式
<details>
    <summary>點擊看 多選12 詳解</summary>
  
  [答案]345
  [詳解]
  (1)X，應解釋為 $x$ 到 $1$ 的距離與 $x$ 到 $2$ 距離的兩倍和小於 $5$
  (2)X，$x$ 可能為負數，故解不相同
  (3)O，絕對值內部變號，其解不變
  (4)O，$x>2$ 時，不等式可得 $(x-1)+(2x-4)<5\Rightarrow 3x<10$
  (5)O，
  (i) $x>2$ 時，不等式可得 $(x-1)+(2x-4)<5\Rightarrow x<\frac{10}{3}\therefore 2<x<\frac{10}{3}$
  (ii) $1<x\leq2$ 時，不等式可得 $(x-1)+(-2x+4)<5\Rightarrow x>-2\therefore 1<x\leq2$
  (iii) $x\leq1$ 時，不等式可得 $(1-x)+(-2x+4)<5\Rightarrow x>0\therefore 0<x\leq1$
   由(i)(ii)(iii)可得 $0<x<\frac{10}{3}\Rightarrow x$ 的整數解為 $1,2,3$
  故選(3)(4)(5)。
</details>

### 三、選填題
> 13. 設兩直線 $L_1:k_1x-6y=3$ 與 $L_2:k_2x+3y=5$ 互相垂直，若 $k_1$、$k_2$ 均大於 $0$，則 $k_1+k_2$ 的最小值為何？(化為最簡根式)
<details>
    <summary>點擊看 選填13 詳解</summary>
  
  [答案]$6\sqrt2$
  [詳解]
  $L_1\perp L_2\Rightarrow m_1\times m_2=-1\Rightarrow\frac{k_1}{6}\times\frac{-k_2}{3}=-1\Rightarrow k_1k_2=18$
  由「算幾不等式」可得
  $\frac{k_1+k_2}{2}\geq\sqrt{k_1k_2}\Rightarrow k_1+k_2\geq6\sqrt2$
  故 $k_1+k_2$ 的最小值為 $6\sqrt2$。
</details>

> 14. 已知 $0.00004\times(\sqrt{12}+1)^3=a+b\sqrt3$，其中 $a$、$b$ 為有理數，若有一整數 $n$ 使得 $n\leq\log b<n+1$，則 $n=$？
<details>
    <summary>點擊看 選填14 詳解</summary>
  
  [答案]$-3$
  [詳解]
  $0.00004\times(\sqrt{12}+1)^3=a+b\sqrt3$
  $0.00004\times(\sqrt{12}-1)^3=-a+b\sqrt3$
  兩式相加得 $\begin{align*}
    2b\sqrt3&=0.00004((\sqrt{12}+1)^3+(\sqrt{12}-1)^3) \\
    &=0.00004((2\sqrt{12})^3-3(\sqrt{12}+1)(\sqrt{12}-1)(2\sqrt{12})) \\
    &=0.00004\times 60\sqrt3 \\
    &=0.0024
  \end{align*}$
  $$
</details>

> 15. 設圓 $C_1$ 為圓心在原點且半徑為 $5$ 之圓；設圓 $C_2$ 為圓心在 $C_1$ 上且半徑為 $1$ 之圓。今有一點 $P$ 距離原點 $2$ 單位，若 $P$ 到圓 $C_2$ 的最長距離為 $m$，最短距離為 $n$，則數對 $(m,n)=$？
<details>
    <summary>點擊看 選填15 詳解</summary>
  
  [答案]$(8,2)$
  [詳解]
  設 $C_2$ 的圓心為 $Q$；
  $P$ 在以原點 $O$ 為圓心、半徑為 $2$ 的圓 $C_3$上。
  $d(P,C_2)$ 最大值為 $m=\overline{PQ}+1\leq\overline{OQ}+2+1=8$
  $d(P,C_2)$ 最小值為 $n=\overline{PQ}-1\geq\overline{OQ}-2-1=2$
  $(m,n)=(8,2)$。
</details>

> 16. 方程式 $x^2+y^2+2mx-4my+8m^2-13m+4=0$ 當中，有幾個整數 $m$ 會使得此方程式為一圓？
<details>
    <summary>點擊看 選填16 詳解</summary>
  
  [答案]$3$
  [詳解]
  $(x+m)^2+(y-2m)^2=-3m^2+13m-4$ 為一圓
  $\Rightarrow -3m^2+13m-4>0\Rightarrow (3m-1)(m-4)<0\Rightarrow \frac{1}{3}<m<4$
  $m=1,2,3$ 有三個整數解。
</details>

> 17. 已知圓 $C:(x-1)^2+(y-2)^2=25$，過第一象限點 $P(m,n)$ 對圓作切線，已知其中一條切線過圓上一點 $(4,6)$，另一條切線為鉛直線，求 $(m,n)=$？(化為最簡分數)
<details>
    <summary>點擊看 選填17 詳解</summary>
  
  [答案]$(6,\frac{9}{2})$
  [詳解]
  圓 $C$ 的圓心 $A(1,2)$、半徑 $r=5$
  (i)在第一象限且與圓相切的鉛直線為 $L_1:x=6$
  (ii)通過 $B(4,6)$ 且與圓相切的直線 $L_2$ 與 $\overleftrightarrow{AB}$ 垂直
  $\because m_{AB}=\frac{4}{3}\therefore L_2$ 的斜率為 $\frac{-3}{4}\Rightarrow L_2:3x+4y=36$
  $P$ 點即為 $L_1$ 和 $L_2$ 的交點 $\Rightarrow P(m,n)=(6,\frac{9}{2})$
</details>

## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> 設 $y=f(x)$ 為三次實係數多項式，且 $x^3$ 的係數等於 $1$。++小琪++觀察 $f(x)$ 在坐標平面上的圖形，並從函數圖形上挑選了三個在對稱中心右側的點，將其大幅放大，發現函數圖形在放大之後像是一條直線，觀察到的圖形如下圖。根據上述，試回答下列問題。
![image](https://hackmd.io/_uploads/BknFR-oq0.png =70%x)

> 18. 三個圖形在坐標平面上所對應的 $x$ 座標大小順序為何？
> (1) 甲<乙<丙
> (2) 乙<甲<丙
> (3) 丙<甲<乙
> (4) 丙<乙<甲
> (5) 甲<丙<乙
<details>
    <summary>點擊看 18題 詳解</summary>
  
  [答案]2
  [詳解]
  $\because x^3$ 的係數 $1>0$ 且甲、乙、丙都在對稱中心的右側
  $\therefore$ 乙<甲<丙，故選(2)。
</details>

> 19. 已知其中一個圖形所在的 $y$ 座標大於對稱中心的 $y$ 座標，則三個圖形在坐標平面上所對應的 $y$ 座標大小順序為何？
> (1) 甲<乙<丙
> (2) 乙<甲<丙
> (3) 丙<甲<乙
> (4) 丙<乙<甲
> (5) 甲<丙<乙
<details>
    <summary>點擊看 19題 詳解</summary>
  
  [答案]1
  [詳解]
  承18題，再由題意可知丙的 $y$ 座標大於對稱中心的 $y$ 座標
  故 $y$ 座標大小順序為「甲<乙<丙」，故選(1)。
</details>

> 20. 若甲圖的一次近似直線為水平線，其為 $f(x)$ 在座標 $(1,1)$ 放大的結果；斜率為正的近似直線是在坐標 $(3,21)$ 放大的結果(這兩點均在圖形上)。試由此求出：
> (1) $f(x)$ (請寫為 $ax^3+bx^2+cx+d$ 的形式)。
> (2) $f(x)$ 的對稱中心與在對稱中心的一次近似直線方程式。
<details>
    <summary>點擊看 20題 詳解</summary>
  
  [答案](1)$x^3-3x+3$ (2)$(0,3)$；$y=-3x+3$
  [詳解]
  (1) 甲圖的一次近似直線為水平線，其為 $f(x)$ 在座標 $(1,1)$ 放大的結果
  $\Rightarrow$ 甲的近似直線方程式為 $y=1$
  $\Rightarrow f(x)=(x-1)^3+b(x-1)^2+1$
  將 $(3,21)$ 帶入 $21=8+4b+1\Rightarrow b=3$
  $\Rightarrow f(x)=(x-1)^3+3(x-1)^2+1=x^3-3x+3$
  (2) $f(x)=x^3-3x+3$
  $\Rightarrow$ 對稱中心為 $(0,3)$ 且在對稱中心的一次近似直線方程式為 $y=-3x+3$
</details>

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## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
|------|------|------|------|------|------|
| (3) | (3) | (4) | (3) | (1) | (2) |

| 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
|------|------|------|------|------|------|
| (2)(3)(4)(5) | (2)(5) | (1)(5) | (1)(4)(5) | (1)(2)(4) | (3)(4)(5) |


| 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20.(1) | 20.(2) |
|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $6\sqrt2$ | $-3$ | $(8,2)$ | $3$ | $(6,\frac{9}{2})$ | (2) | (1) | $x^3-3x+3$ | $(0,3)$；$y=-3x+3$ |
