# 112 學年度學科能力測驗第二次聯合模擬考試-全國公私立高級中學-南一版E2
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題

> 1. 已知多項式 $f(x)$ 除以 $x+2$ 得到商式為 $x^7+2x+3$，且餘式為 $3$，則 $f(x)$ 除以 $x^2+3x+2$ 所得的餘式為下列哪個選項？
> (1) $6x+5$
> (2) $4x+11$
> (3) $3x+6$
> (4) $3$
> (5) $-3$
<details>
<summary>點擊看 單選1 詳解</summary>

[答案]4
[詳解]
$f(x)$ 除以 $x+2$ 得到商式為 $x^7+2x+3$，且餘式為 $3$
$\Rightarrow f(x)=(x+2)(x^7+2x+3)+3$
假設
$\begin{align*}
f(x)&=(x^2+3x+2)Q(x)+ax+b \\
&=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b
\end{align*}$
$\left\{\begin{align*}
f(-1)&=-a+b=3\\
f(-2)&=-2a+b=3
\end{align*}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{align*}
a&=0\\
b&=3
\end{align*}\right.$
所求餘式為 $ax+b=3$，故選(4)。
</details>

> 2. 如圖(1)所示，$A$、$B$ 兩點在二次函數 $y=2x^2$ 的圖形上，$C$、$D$ 兩點在二次函數 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的圖形上，已知 $ABCD$ 為正方形，且 $\overline{AB}$ 平行於 $x$ 軸，$\overline{BC}$ 平行於 $y$ 軸。若 $D$ 點的 $x$ 坐標為 $t$，則 $t$ 之值為下列哪個選項？

> (1) $-\frac{5}{4}$
> (2) $-\frac{5}{3}$
> (3) $-1$
> (4) $-\frac{3}{4}$
> (5) $-\frac{4}{5}$
<details>
<summary>點擊看 單選2 詳解</summary>

[答案]5
[詳解]
若 $D$ 點的 $x$ 坐標為 $t<0 \Rightarrow D(t,-\frac{1}{2}t^2)$ 且 $A(t,2t^2)$
$\because\overline{AD}=\overline{CD}\Rightarrow \frac{5}{2}t^2=|2t|=-2t\Rightarrow t=-\frac{4}{5}$
故選(5)。
</details>

> 3. 已知依次函數 $f(x)=ax+b$ 的圖形，如圖(2)所示，則下列哪個選項可能為三次函數 $h(x)=-3a(x+b)^3$ 的圖形？
<details>
<summary>點擊看 單選3 詳解</summary>

[答案]2
[詳解]
線性函數 $f(x)=ax+b\Rightarrow$ 斜率為 $a<0$ 且通過點 $(0,b)\Rightarrow b<0$
三次函數 $h(x)=-3a(x+b)^3$ 的對稱中心為 $(-b,0)$ 且領導係數 $-3a>0$，故選(2)。
</details>

> 4. 已知下列各組數據
(I) $3,4,5,6,7$
(II) $7,7,7,7,7$
(III) $3,5,7,9,11$
(IV) $-5,-6,-7,-8,-9$
(V) $4,5,6,7,8$
若各組數據的標準差依序為 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5$，則各組標準差的大小關係為下列哪個選項？
> (1) $\sigma_3>\sigma_1=\sigma_4>\sigma_5>\sigma_2$
> (2) $\sigma_3>\sigma_1=\sigma_5>\sigma_4>\sigma_2$
> (3) $\sigma_3>\sigma_5=\sigma_4>\sigma_1>\sigma_2$
> (4) $\sigma_3>\sigma_1=\sigma_4=\sigma_5>\sigma_2$
> (5) $\sigma_3>\sigma_1=\sigma_5>\sigma_2>\sigma_4$
<details>
<summary>點擊看 單選4 詳解</summary>

[答案]4
[詳解]
(II) $\sigma_2=0$ 標準差最小
(III) $\because x_3=2x_1-3\therefore \sigma_3=3\sigma_1$
(IV) $\because x_4=-x_1-2\therefore \sigma_4=\sigma_1$
(V) $\because x_5=x_1+1\therefore \sigma_3=\sigma_1$
$\therefore \sigma_3>\sigma_1=\sigma_4=\sigma_5>\sigma_2$，故選(4)。
</details>

> 5. 三次函數 $y=f(x)$ 的對稱中心為 $(h,k)$，且 $y=f(x)$ 和直線 $L$ 交於 $(0,23)$、$(1,7)$、$(5,-57)$ 三點，則 $h$ 的值為下列哪一個選項？
> (1) 1
> (2) 2
> (3) 3
> (4) 4
> (5) 5
<details>
<summary>點擊看 單選5 詳解</summary>

[答案]2
[詳解]
直線 $L$ 通過 $(0,23)$、$(1,7)$、$(5,-57)\Rightarrow L:y=-16x+23$
$f(x)$ 與 $L$ 交於此三點
$\Rightarrow\begin{align*}
f(x)&=-16x+23+ax(x-1)(x-5) \\
&=a(x^3-6x^2+5x)-16x+23 \\
&=a(x-2)^3+p(x-2)+k
\end{align*}$
$\Rightarrow h=2$，故選(2)。
</details>

> 6. 如圖(3)，圓 $C_1$ 的圓心 $O$ 落在圓 $C_2$ 的圓周上，兩圓交於 $A$、$B$ 兩點，若點 $P$ 在圓 $C_1$ 的外部且在圓 $C_2$ 的圓周上，$\overline{AP}=12$、$\overline{OP}=11$、$\overline{BP}=8$，則圓 $C_1$ 的半徑為何？

> (1) $5$
> (2) $\sqrt{26}$
> (3) $3\sqrt{3}$
> (4) $2\sqrt{7}$
> (5) $6$
<details>
<summary>點擊看 單選6 詳解</summary>

[答案]1
[詳解]
令 $\overline{OA}=\overline{OB}=r$，$\angle APB=\angle BPO=\theta$
$\cos\theta=\frac{12^2+11^2-r^2}{2\times 12\times 11}=\frac{11^2+8^2-r^2}{2\times 11\times 8}$
$\Rightarrow 2(265-r^2)=3(185-r^2)$
$\Rightarrow r^2=25\Rightarrow r=5$
故選(1)。
</details>

### 二、多選題
> 7. 已知宇集 $U$ 為全體實數 $R$，且集合 $A=\{x||x+1|<3\}$，$B=\{x|x^2+2x-8\geq 0\}$、$C=\{|(2-x)(x^2+5x+4)>0\}$，試選出正確的選項。
> (1) $A\cap B=\emptyset$
> (2) $A\cap C=\emptyset$
> (3) $B\cap C=\emptyset$
> (4) $A\cup B=R$
> (5) $A\cup C=R$
<details>
<summary>點擊看 多選7 詳解</summary>

[答案]14
[詳解]
$A=\{x||x+1|<3\}=\{x|-4<x<2\}$
$\begin{align*}
B&=\{x|x^2+2x-8\geq 0\} \\
&=\{x|(x-2)(x+4)\geq 0\} \\
&=\{x|x\geq 2, x\leq -4\}
\end{align*}$
$\begin{align*}
C&=\{|(2-x)(x^2+5x+4)>0\} \\
&=\{x|(x-2)(x+1)(x+4)< 0\} \\
&=\{x|-1<x<2, x<-4\}
\end{align*}$
(1)O
(2)X，$A\cap C=\{x|-1<x<2\}$
(3)X，$B\cap C=\{x|x<-4\}$
(4)O
(5)X，$A\cup C=\{x|x<2,x\neq -4\}$
故選(1)(4)。
</details>

> 8. $|ax-1|<5$ 的解為 $-2<x<b$，其中 $a$ 和 $b$ 為實數。試選出正確的選項。
> (1) $a+b\geq 0$
> (2) $a+b\leq 0$
> (3) $a-b\geq 0$
> (4) $a-b\leq 0$
> (5) $|a|\leq |b|$
<details>
<summary>點擊看 多選8 詳解</summary>

[答案]4
[詳解]
$|ax-1|<5\Rightarrow -4<ax<6$
(i) 若 $a>0$，則 $\frac{-4}{a}<x<\frac{6}{a}$$\Rightarrow\left\{\begin{align*}
\frac{-4}{a} &=-2 \\
\frac{6}{a} &=b
\end{align*}\right.$$\Rightarrow\left\{\begin{align*}
a&=2 \\
b&=3
\end{align*}\right.$
(ii) 若 $a<0$，則 $\frac{6}{a}<x<\frac{-4}{a}$$\Rightarrow\left\{\begin{align*}
\frac{6}{a} &=-2 \\
\frac{-4}{a} &=b
\end{align*}\right.$$\Rightarrow\left\{\begin{align*}
a&=-3 \\
b&=\frac{4}{3}
\end{align*}\right.$
故選(4)。
</details>

> 9. 已知 $x,y,z$ 皆為異於 $1$ 的正數，且 $x^\frac{1}{5}=(\frac{y}{2})^\frac{1}{6}=(\frac{z}{4})^\frac{1}{7}$。試選出正確的選項。
> (1) $x>y>z$
> (2) $x<y<z$
> (3) $x,y,z$ 可能形成等差數列
> (4) $x,y,z$ 可能形成等比數列
> (5) 數列 $x,y,z$ 可以不是等差數列，且也不是等比數列
<details>
<summary>點擊看 多選9 詳解</summary>

[答案]34
[詳解]
令 $x^\frac{1}{5}=(\frac{y}{2})^\frac{1}{6}=(\frac{z}{4})^\frac{1}{7}=k$
$\Rightarrow\left\{\begin{align*}
x&=k^5+ \\
y&=2k^6 \\
z&=4k^7
\end{align*}\right.$
(1)X(2)X
(i)若 $k>1$，則 $x<y<z$
(ii)若 $0<k<1$，則 $x>y>z$
故不能確定其大小關係
(3)O，若 $x+z=2y$
$\Rightarrow k^5+4k^7=4k^6\Rightarrow k^2-4k+1=0\Rightarrow k=2\pm\sqrt{3}$
(4)O，$x,y,z$ 為一公比 $=2k$ 的等比數列
(5)X
故選(3)(4)。
</details>

> 10. 已知坐標平面上有相異三個點 $A(-1,-5)$、$B(5,,-5)$、$C(-1,3)$，若直線 $L$ 可以使得 $A$、$B$、$C$ 三個點到直線 $L$ 的距離都相等，則直線 $L$ 的方程式可以是下列哪些選項？
> (1) $x+2=0$
> (2) $x-2=0$
> (3) $y+1=0$
> (4) $4x-3y+7=0$
> (5) $4x+3y+7=0$
<details>
<summary>點擊看 多選10 詳解</summary>

[答案]235
[詳解]
$\overline{AB}$ 中點為 $M(2,-5)$；$\overline{BC}$ 中點為 $N(2,-1)$；$\overline{AC}$ 中點為 $O(-1,-1)$
若 $A$、$B$、$C$ 三個點到直線 $L$ 的距離都相等
則 $L$ 可能為 $\overleftrightarrow{MN}:x-2=0$ 或 $\overleftrightarrow{NO}:y+1=0$ 或 $\overleftrightarrow{MO}:4x+3y+7=0$
故選(2)(3)(5)。
</details>

> 11. 多項式 $f(x)=x^4+ax^3-3x^2+bx+3$ 除以 $(x+1)^2$ 的餘式為 $r(x)$，其中 $a>5$。若 $f(p)=r(p)$，則 $p$ 的值可能是下列哪些選項？
> (1) -2
> (2) -1
> (3) 0
> (4) 1
> (5) 2
<details>
<summary>點擊看 多選11 詳解</summary>

[答案]25
[詳解]
$f(x)=(x+1)^2Q(x)+r(x)$
$\Rightarrow\begin{align*}
x^4+ax^3-3x^2+bx+3&=(x^2+2x+1)(x^2+(a-2)x-2a)+r(x) \\
&=(x+1)^2(x-2)(x+a)+r(x)
\end{align*}$
若 $f(p)=r(p)$，則 $(p+1)^2(p-2)(p-a)=0\Rightarrow p=-1$ 或 $2$
故選(2)(5)。
</details>

> 12. 「迴歸」一詞最早由高頓所使用，他曾對親子間的身高做研究，發現父母的身高雖然會遺傳給子女，但子女的身高卻有逐漸「迴歸到中等(即人的身高之平均值)」的現象。設父輩的身高($X$)(單位:吋)與子輩的身高($Y$)(單位:吋)，若研究 $n$ 對父子的身高後，得到 $n$ 對數據 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$，並進行二維數據分析，試選出正確的選項。(1吋 $\approx$ 2.54公分)
> (1) 若 $y$ 對 $x$ 的迴歸直線方程式為 $y=0.516x+33.73$，則由一名身高為 $69.85$ 吋的子輩，可預估其父輩的身高為 $70$ 吋
> (2) 若 $y$ 對 $x$ 的迴歸直線之斜率為正，則子輩的身高與父輩的身高呈現正相關
> (3) 若所有的點都在 $y=0.516x+33.73$ 這條直線上，則子輩的身高與父輩的身高之相關係數為 $0.516$
> (4) 若 $y$ 對 $x$ 的迴歸直線方成是為 $y=0.516x+33.73$，則子輩身高的標準差會大於富輩身高的標準差
> (5) 若將身高的單位從吋改成公分，則子輩的身高與父輩的身高之相關係數不變
<details>
<summary>點擊看 多選12 詳解</summary>

[答案]25
[詳解]
(1)X，$y$ 對 $x$ 的迴歸直線方程式是用來預估 $y$ 值(子輩的身高)
(2)O，迴歸直線之斜率為正 $\Rightarrow$ 相關係數為正
(3)X，所有的點都落在斜率為正的直線上，則相關係數為 $1$
(4)X，$m=r\times\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\Rightarrow$ 不知道相關係數，所以不能確定
(5)O
故選(2)(5)。
</details>

### 三、選填題
> 13. ++小康++在某個公園看見一座數字塔，如圖(4)，他仔細觀察了一下，發現全部的數字都是偶數，由上而下分別是 $2,4,6,8,\cdots,20$，而其對應的個數，由上而下，每層皆多2個，請問這些數字的總和為何？

<details>
<summary>點擊看 選填13 詳解</summary>

[答案]$1430$
[詳解]
所求 $=2\times1+4\times3+6\times5+\cdots+20\times19$
一般項為 $2k(2k-1)=4k^2-2k$，$k=1,2,\cdots,10$
故所求為 $4\times\frac{10\times11\times21}{6}-2\times\frac{10\times11}{2}=1430$
</details>

> 14. 如圖(5)，四邊形 $ABCD$ 中，$\angle B=\angle C=120^\circ$，$\overline{AB}=6$、$\overline{BC}=8$、$\overline{CD}=10$，則四邊形 $ABCD$ 的面積為何？

<details>
<summary>點擊看 選填14 詳解</summary>

[答案]$47\sqrt3$
[詳解]
<法一>
座標化: $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(10,4\sqrt3)$、$D(5,9\sqrt3)$
四邊形 $ABCD$ 面積 $=\triangle ABC+\triangle ACD$
$=\frac{1}{2}|\left|\begin{align*}
\overrightarrow{AB}\\
\overrightarrow{AC}
\end{align*}\right||$$+\frac{1}{2}|\left|\begin{align*}
\overrightarrow{AC}\\
\overrightarrow{AD}
\end{align*}\right||$
$=\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{cc}
6 & 0\\
10 & 4\sqrt3
\end{array}\right||$$+\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{cc}
10 & 4\sqrt3 \\
5 & 9\sqrt3
\end{array}\right||$
$=12\sqrt3+35\sqrt3=47\sqrt3$
<法二>
延長直線 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 交於 $E$ 點，
此時 $\triangle EBC$ 為一正三角形
故四邊形 $ABCD$ 面積 $=\triangle EAD-\triangle EBC$
$=\frac{1}{2}\times18\times14\times\sin60^\circ-\frac{\sqrt3}{4}\times8^2=47\sqrt3$
</details>

> 15. 在某個風和日麗的優閒午後，++小辰++與朋友++小涵++一起相約去搭船遊湖，她們發現在船的正西方有一座高塔，塔高約 $h$ 公尺，待船靜止後，她們測得此高塔塔頂的仰角為 $30^\circ$，在短暫停留後，此船便往南 $60^\circ$ 西的方向沿直線航行，航行了 $d$ 公尺後($d>0$)，她們再測得此高塔塔頂的仰角亦為 $30^\circ$，她們回家後，回想了這段難得的搭船經驗，此時，++小涵++問++小辰++，$h$ 和 $d$ 之間有沒有關係呢？++小辰++想了一下說，有的，我發現 $d=kh$，其中 $k$ 為正整數。試問 $k$ 之值為何？
<details>
<summary>點擊看 選填15 詳解</summary>

[答案]$3$
[詳解]
</details>

> 16. 一次同時擲三粒骰子，若出現的點數是三個連續的正整數時，我們則稱之為「順子」，例如:擲出1,2,3 時，稱之。如果同時擲三粒骰子，共擲3次，試求出現順子次數的期望值為幾次？(化為最簡分數)
<details>
<summary>點擊看 選填16 詳解</summary>

[答案]$\frac{1}{3}$
[詳解]
同時擲三粒骰子一次，出現順子的機率為 $\frac{4\times 3!}{216}=\frac{1}{9}$
所以擲3次出現順子的期望值為 $\frac{1}{9}\times3=\frac{1}{3}$。
</details>

> 17. 直角三角形 $ABC$ 中，$\overline{AB}=5$、$\overline{AC}=12$、$\overline{BC}=13$。直線 $L$ 垂直 $\overline{BC}$，且分別交 $\overline{BC}$，$\overline{AC}$，$\overleftrightarrow{AB}$ 的延長線於 $P$、$Q$、$R$。$\overline{QP}\times\overline{QR}$ 的最大值為何？
<details>
<summary>點擊看 選填17 詳解</summary>

[答案]$36$
[詳解]
如上圖，令 $\overline{CQ}=a$、$\overline{AQ}=b$，且 $a+b=12$
$\Rightarrow \overline{QP}=\frac{5a}{13}$、$\overline{QR}=\frac{13b}{5}$
由算幾不等式可得 $\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$
$\Rightarrow \overline{QP}\times\overline{QR}=ab\leq36$，最大值為 $36$
</details>

## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> 圓 $C$ 和直線 $L:y=2$ 相切且過點 $A(2,4)$，則圓 $C$ 的圓心為 $(a,b)$

> 18. 圓心 $(a,b)$ 必落在下列哪個圖形上？
> (1) $y=\frac{1}{4}x^2-3x+8$
> (2) $y=\frac{1}{4}x^2-2x+6$
> (3) $y=\frac{1}{4}x^2-x+4$
> (4) $y=\frac{1}{4}x^2+2$
> (5) $y=\frac{1}{4}x^2+x$
<details>
<summary>點擊看 18題 詳解</summary>

[答案]3
[詳解]
圓心 $B(a,b)$ 到 $L$ 的距離等於 $\overline{AB}$(都等於半徑)
$\Rightarrow |b-2|=\sqrt{(a-2)^2+(b-4)^2}$
$\Rightarrow b^2-4b+4=a^2+b^2-4a-8b+20$
$\Rightarrow a^2-4a-4b+16=0$
$\Rightarrow b=\frac{1}{4}a^2-a+4$
所以圓心 $B(a,b)$ 必落在 $y=\frac{1}{4}x^2-x+4$ 的圖形上。
故選(3)。
</details>

> 19. 求圓 $C$ 的半徑最小值。
<details>
<summary>點擊看 19題 詳解</summary>

[答案]$1$
[詳解]
承18.題，圓半徑為圓心 $B(a,b)$ 到 $L$ 的距離
$\begin{align*}
|b-2|&=|\frac{1}{4}a^2-a+2|\\
&=|\frac{1}{4}(a-2)^2+1|\geq 1
\end{align*}$
故半徑最小值為 $1$
</details>

> 20. $A(2,4)$ 是圓 $C$ 上距離 $P(-6,-2)$ 最近的點，求圓 $C$ 的標準式。
<details>
<summary>點擊看 20題 詳解</summary>

[答案]$C:(x-6)^2+(y-7)^2=25$
[詳解]
由題意可知圓心 $B(a,b)$ 會落在直線 $\overline{AP}: 3x-4y+10=0$ 上
$\left\{\begin{align*}
b=\frac{1}{4}a^2-a+4\\
3a-4b+10=0
\end{align*}\right.$
$\Rightarrow a^2-7a+6=0\Rightarrow (a-1)(a-6)=0\Rightarrow a=1$ 或 $6$
又由題意：$A$ 為圓 $C$ 上距離 $P$ 最近的點，故圓心在線段 $\overline{AP}$ 外，故 $(a,b)=(6,7)$ 且半徑為 $\overline{AB}=5$，
故圓 $C$ 的標準式 $C:(x-6)^2+(y-7)^2=25$
</details>

---
## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
|------|------|------|------|------|------|
| (4) | (5) | (2) | (4) | (2) | (1) |

| 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
|------|------|------|------|------|------|
| (1)(4) | (4) | (3)(4) | (2)(3)(5) | (2)(5) | (2)(5) |

| 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $1430$ | $47\sqrt3$ | $3$ | $\frac{1}{3}$ | $36$ | (3) | $1$ | $C:(x-6)^2+(y-7)^2=25$ |