# 113 學年度學科能力測驗第一次聯合模擬考試-全國公私立高級中學
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題
> 1. 若 $a$, $b$, $c$ 均為正整數，滿足 $\sqrt{61+2\sqrt{5}a}=b+\sqrt{5}c$，試選出正確的選項。
> (1) $a$ 是奇數
> (2) $b$ 是 3 的倍數
> (3) $c$ 是偶數
> (4) $\sqrt{a+b}$ 是有理數
> (5) $\sqrt{c}$ 是有理數

<details>
<summary>點擊看 單選1 詳解</summary>

[答案]4
[詳解]
兩邊平方得 $61+2a\sqrt{5} = b^2+5c^2+2bc\sqrt{5}$
$\Rightarrow\left\{
\begin{array}{ccc}
b^2+5c^2=61 \\
2bc=2a \\
\end{array}
\right.\Rightarrow\left\{
\begin{array}{ccc}
b^2+5c^2=61 \\
bc=a \\
\end{array}
\right.$
$\Rightarrow (a,b,c)=(12,4,3)$
故選(4)。

</details>

> 2. 若 $f(x)=36(3x-1)^6-65(3x-1)^5-40(3x-1)^4+25(3x-1)^3-44(3x-1)^2+57x-18$，則 $f(\frac{13}{12})$ 之值最接近下列哪一個選項？
> (1) 1
> (2) 2
> (3) 3
> (4) 4
> (5) 5
<details>
<summary>點擊看 單選2 詳解</summary>

[答案]3
[詳解]
$\begin{align*}
f(x)&=36(3x-1)^6-65(3x-1)^5-40(3x-1)^4+25(3x-1)^3-44(3x-1)^2+57x-18\\
&=36(3x-1)^6-65(3x-1)^5-40(3x-1)^4+25(3x-1)^3-44(3x-1)^2+19(3x-1)+1
\end{align*}$
$f(\frac{13}{12})=36(\frac{9}{4})^6-65(\frac{9}{4})^5-40(\frac{9}{4})^4+25(\frac{9}{4})^3-44(\frac{9}{4})^2+19(\frac{9}{4})+1$

\begin{array}{r|rrrrrrr}
& 36 & -65 & -40 & 25 & -44 & 19 & 1 \\
\frac{9}{4}& & 81 & 36 & -9 & 36 & -18 & \frac{9}{4} \\
\hline
& 36 & 16 & -4 & 16 & -8 & 1 & \frac{13}{4} \\
\end{array}
由綜合除法可得 $f(\frac{13}{12})=\frac{13}{4}$ 最接近3，故選(3)。
</details>

> 3. 直角坐標平面上有四點，分別為 $O(0,0)$、$A(5,0)$、$B(7,3)$、$C(3,5)$。今有一點 $P(m,n)$ 在第一象限，滿足 $\angle APO=90^{\circ}$，且 $\overline{PB}=\overline{PC}$，則 $m+2n$ 之值為下列哪一個選項？
> (1) 4
> (2) 6
> (3) 8
> (4) 10
> (5) 12
<details>
<summary>點擊看 單選3 詳解</summary>

[答案]3
[詳解]
$\because \overline{PB}=\overline{PC}$
$\therefore P$ 點落在 $\overline{BC}$ 的中垂線 $L:2x-y=6$ 上
$\Rightarrow 2m-n=6$ ...(1)
又 $\because \angle APO=90^{\circ}\Rightarrow \overline{PA}\perp\overline{PO}$
$\therefore m_{\overline{PA}}\times m_{\overline{PO}}=-1\Rightarrow\frac{n}{m-5}\times\frac{n}{m}=-1$
$\Rightarrow m(m-5)+n^2=0$ ...(2)
將(1)式 $n=2m-6$ 代入 (2) 式得:
$m(m-5)+(2m-6)^2=0$
$\Rightarrow 5m^2-29m+36=0$
$\Rightarrow (5m-9)(m-4)=0$
$\Rightarrow m=\frac{9}{5}$ 或 $m=4$
$\Rightarrow P(m,n)=(\frac{9}{5},\frac{-12}{5})$ (不合，因為題目說 $P$ 在第一象限) 或 $(4,2)$
$\Rightarrow m+2n=8$，故選(3)。

</details>

> 4. 平面上有 $A(2,6)$、$B(4,1)$ 兩點及直線 $L:kx-y+k^2+2k+1=0$，$k$ 為常數。欲使 $A$、$B$ 兩點都不在直線 $L$ 上，且 $A$ 點在直線 $L$ 的下方半平面，而 $B$ 點在直線 $L$ 的上方半平面，則 $k$ 值的最小範圍為 $\alpha<k<\beta$。試選出 $\alpha+\beta$ 的值為下列哪一個選項？
> (1) -11
> (2) -6
> (3) -5
> (4) -4
> (5) 1
<details>
<summary>點擊看 單選4 詳解</summary>

[答案]1
[詳解]
$\because L$ 方程式的 $y$ 係數為 $-1\\< 0$，
$\therefore A$ 點在直線 $L$ 的下方半平面，則 $A(2,6)$ 代入直線方程式: $2k-6+k^2+2k+1>0$
$\Rightarrow k^2+4k-5>0$
$\Rightarrow (k+5)(k-1)>0$
$\Rightarrow k>1$ 或 $k<-5$
且 $B$ 點在直線 $L$ 的上方半平面，則 $B(4,1)$ 代入直線方程式: $4k-1+k^2+2k+1<0$
$\Rightarrow k^2+6k<0$
$\Rightarrow k(k+6)<0$
$\Rightarrow -6<k<0$
$\therefore -6<k<-5\Rightarrow (\alpha,\beta)=(-6,-5)$
$\Rightarrow\alpha+\beta=-11$，故選(1)。
</details>

> 5. 設 $x$ 為實數，已知 $max\{|x-3|, |x+3|\}\leq 15$（即 $|x-3|$ 與 $|x+3|$ 較大者小於等於 $15$），試求其解 $x$ 的最大範圍所對應的區間長度為下列哪一選項？
> (1) 30
> (2) 24
> (3) 15
> (4) 12
> (5) 6
<details>
<summary>點擊看 單選5 詳解</summary>

[答案]2
[詳解]
$max\{|x-3|, |x+3|\}\leq 15$
即 $|x-3|\leq 15$ 且 $|x+3|\leq 15$
$\Rightarrow -12\leq x\leq 18$ 且 $-18\leq x\leq 12$
$\Rightarrow -12\leq x\leq 12$
$x$ 所對應的區間長度為 $24$，故選(2)。
</details>

### 二、多選題
> 6. 設 $a=2^{\frac{1}{3}}$、$b=3^{\frac{1}{2}}$、$c=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$、$d=(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$。試選出下列正確的選項。
> (1) $b>a>c>d$
> (2) $0<a<b<1$
> (3) $0<d<c<1$
> (4) $ad>bc$
> (5) $ac+bd=2$
<details>
<summary>點擊看 多選6 詳解</summary>

[答案]135
[詳解]
(1)O(2)X(3)O
$a=2^{\frac{1}{3}}=(2^2)^\frac{1}{6}=4^\frac{1}{6}$
$b=3^{\frac{1}{2}}=(3^3)^\frac{1}{6}=27^\frac{1}{6}$
$c=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}=((\frac{1}{2})^2)^{\frac{1}{6}}=(\frac{1}{4})^\frac{1}{6}$
$d=(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}=((\frac{1}{3})^3)^{\frac{1}{6}}=(\frac{1}{27})^\frac{1}{6}$
$\because$ 次方 $\frac{1}{6}>0$
$\therefore 27^\frac{1}{6}>4^\frac{1}{6}>1>(\frac{1}{4})^\frac{1}{6}>(\frac{1}{27})^\frac{1}{6}\Rightarrow b>a>1>c>d>0$
(4)X，$ad=(\frac{4}{27})^\frac{1}{6}<(\frac{27}{4})^\frac{1}{6}=bc$
(5)O，$ac+bd=1^\frac{1}{6}+1^\frac{1}{6}=2$
故選(1)(3)(5)。
</details>

> 7. 已知直線 $L:3x+2y=26$ 與直線 $M:2x-3y=39$。今以原點 $O$ 為圓心，$r$ 為半徑畫圓 $A$。試問 $r$ 的值可以為下列哪些選項，使得圓 $A$ 和直線 $L$交兩點，並且圓 $A$ 和直線 $M$ 不相交？
> (1) 5
> (2) 6
> (3) 7
> (4) 8
> (5) 9
<details>
<summary>點擊看 多選7 詳解</summary>

[答案]45
[詳解]
(i)圓 $A$ 和直線 $L$交兩點
$\Rightarrow d(O,L)<r\Rightarrow \frac{|0+0-26|}{\sqrt{3^2+2^2}}<r\Rightarrow r>2\sqrt{13}$
(ii)圓 $A$ 和直線 $M$ 不相交
$\Rightarrow d(O,M)>r\Rightarrow \frac{|0+0-39|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}>r\Rightarrow r<3\sqrt{13}$
由(i)(ii)可得 $2\sqrt{13}<r<3\sqrt{13}$
$\Rightarrow 52<r^2<117$，故選(4)(5)。
</details>

> 8. 設座標平面上有二圓 $C_1:x^2+y^2+6x-6y+14=0$，$C_2:x^2+y^2-8x-12y+43=0$。欲在 $x$ 軸與 $y$ 軸上分別找出二點 $P(a,0)$、$Q(0,b)$，使得 $P$ 點到二圓的距離之和 $d_1$ 與 $Q$ 點到二圓的距離之和 $d_2$ 皆為最小，試選出下列正確的選項。
> (1) $a=\frac{-2}{3}$
> (2) $b=4$
> (3) $d_1=\sqrt{130}$
> (4) $d_2=\sqrt{58}-5$
> (5) $d_1+d_2>5$
<details>
<summary>點擊看 多選8 詳解</summary>

[答案]145
[詳解]
$C_1:(x+3)^2+(y-3)^2=4\Rightarrow$ 圓心 $O_1(-3,3)$、半徑 $r_1=2$
$C_2:(x-4)^2+(y-6)^2=9\Rightarrow$ 圓心 $O_2(4,6)$、半徑 $r_2=3$
(i)欲求 $P(a,0)$ 點到二圓的距離之和 $d_1$ 最小
將 $C_1$ 對稱 $x$ 軸得新圓心 $O_1'(-3,-3)$、半徑仍為 $r_1=2$
$d(P,C_1)+d(P,C_2)$
$=d(P,C_1')+d(P,C_2)$
$\geq(d(P,O_1')-r_1)+(d(P,O_2)-r_2)$
$=d(P,O_1')+d(P,O_2)-5\geq \overline{O_1'O_2}-5=\sqrt{130}-5$
$P(a,0)$ 點到二圓的距離之和 $d_1=\sqrt{130}-5$ 為最小值，
此時 $P$ 為直線 $\overleftrightarrow{O_1'O_2}:9x-7y=-6$ 與 $x$ 軸之交點
$\Rightarrow P(\frac{-2}{3}, 0)\Rightarrow a=\frac{-2}{3}$

(ii)欲求 $Q(0,b)$ 點到二圓的距離之和 $d_2$ 最小
$d(Q,C_1)+d(Q,C_2)$
$\geq(d(Q,O_1)-r_1)+(d(Q,O_2)-r_2)$
$=d(Q,O_1)+d(Q,O_2)-5\geq \overline{O_1O_2}-5=\sqrt{58}-5$
$Q(0,b)$ 點到二圓的距離之和 $d_2=\sqrt{58}-5$ 為最小值，
此時 $q$ 為直線 $\overleftrightarrow{O_1O_2}:3x-7y=-30$ 與 $y$ 軸之交點
$\Rightarrow Q(0,\frac{30}{7})\Rightarrow b=\frac{30}{7}$

(5)O，$d_1+d_2=(\sqrt{82}-5)+(\sqrt{58}-5)=3.~+2.~\geq 5$
故選 (1)(4)(5)。
</details>

> 9. 下列哪些選項中的不等式的解包含所有的正整數？
> (1) $x^2-2024x<0$
> (2) $x^2+2x-3>0$
> (3) $8x^2-8x+1>0$
> (4) $x^2-6x+9>0$
> (5) $x^2-5x+7>0$
<details>
<summary>點擊看 多選9 詳解</summary>

[答案]35
[詳解]
(1)X，$x^2-2024x<0\Rightarrow x(x-2024)<0\Rightarrow x>2024$ 或 $x<0$
(2)X，$x^2+2x-3>0\Rightarrow (x-1)(x+3)>0\Rightarrow x>1$ 或 $x<-3$
(3)O，$8x^2-8x+1>0\Rightarrow(x-\frac{2-\sqrt{2}}{4})(x-\frac{2+\sqrt{2}}{4})>0$
$\Rightarrow x>\frac{2+\sqrt{2}}{4}\simeq 0.~$ 或 $x<\frac{2-\sqrt{2}}{4}$
(4)X，$x^2-6x+9>0\Rightarrow (x-3)^2>0\Rightarrow x\in R-\{3\}$
(5)O，$x^2-5x+7>0\Rightarrow x\in R
(\because$ 判別式 $<0 \therefore x^2-5x+7>0$ 恆成立
故選(3)(5)。
</details>

> 10. 設 $a$, $b$, $c$ 為實數，已知 $y=ax^2+bx+c$ 的圖形和 $x$ 軸交於 $(\alpha, 0)$、$(\beta, 0)$ 兩點，其中 $\alpha<\beta$。若 $x$ 的不等式 $ax^2+bx+c>5$ 無解，且 $x$ 的不等式 $ax^2+bx+c>-5$ 的解為 $\gamma<x<\delta$，試選出正確的選項。
> (1) $a>0$
> (2) $x$ 的不等式 $ax^2+bx+c>1$ 可能無解
> (3) $x$ 的不等式 $ax^2+bx+c>0$ 可能無解
> (4) $\alpha<\gamma<\delta<\beta$
> (5) $\gamma<\alpha<\beta<\delta$
<details>
<summary>點擊看 多選10 詳解</summary>

[答案]25
[詳解]
(1)X，$\because ax^2+bx+c>5$ 無解，$\therefore a<0$
(2)O(3)X
$\because y=ax^2+bx+c$ 的圖形和 $x$ 軸交於 $(\alpha, 0)$、$(\beta, 0)$ 兩點
$\therefore ax^2+bx+c=0$ 的解為 $x=\alpha, \beta$
$\Rightarrow ax^2+bx+c>0$ 的解為 $\alpha<x<\beta$
但 $ax^2+bx+c>1$ 有可能無解
(4)X(5)O，由圖可知 $\gamma<\alpha<\beta<\delta$
故選(2)(5)。
</details>

> 11. 若 $x$, $y$, $z$ 均為實數，滿足 $\sqrt{x^2-20x+100}+\sqrt{y^2-60y+900}+\sqrt{z^2-100z+2500}=5$，則 $\sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{y^2-2yz+z^2}$ 的值可能為下列哪些選項？
> (1) 25
> (2) 35
> (3) 45
> (4) 55
> (5) 65
<details>
<summary>點擊看 多選11 詳解</summary>

[答案]23
[詳解]
$\sqrt{x^2-20x+100}+\sqrt{y^2-60y+900}+\sqrt{z^2-100z+2500}=5$
$\Rightarrow $\sqrt{(x-10)^2}+\sqrt{(y-30)^2}+\sqrt{(z-50)^2}=5$
$\Rightarrow |x-10|+|y-30|+|z-50|=5$
所求 $\sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{y^2-2yz+z^2}$
$\Rightarrow \sqrt{(x-y)^2}+\sqrt{(y-z)^2}$
$\Rightarrow |x-y|+|y-z|=|x-z|$
(不論 $y$ 在什麼位置，$x$ 到 $y$ 的距離加上 $y$ 到 $z$ 的距離都會等於 $x$ 到 $z$ 的距離)
因此，不失一般性，我們將 $y$ 假設為 $30$，
則 $|x-10|+|y-30|+|z-50|=|x-10|+|z-50|=5$
由三角不等式可得 $|x-10|+|z-50|=|x-10|+|-z+50|\geq|(x-10)+(-z+50)|=|x-z+40|$
$\Rightarrow |x-z+40|\leq 5$
$\Rightarrow -5\leq x-z+40\leq 5$
$\Rightarrow -45\leq x-z\leq -35$
$\Rightarrow 35\leq |x-z|\leq 45$
故選(2)(3)。
</details>

### 三、選填題
> 12. 化簡 $\frac{1}{\sqrt{3.5-\sqrt{8.25}}}=$？
<details>
<summary>點擊看 選填12 詳解</summary>

[答案]$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$
[詳解]
分母: $\sqrt{3.5-\sqrt{8.25}}=\sqrt{\frac{7}{2}-\sqrt{\frac{33}{4}}}=\sqrt{\frac{7-\sqrt{33}}{2}}$
$=\sqrt{\frac{14-2\sqrt{33}}{4}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{2}$
故所求 $\frac{1}{\sqrt{3.5-\sqrt{8.25}}}=\frac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$
</details>

> 13. 設圓 $C$ 通過 $O(0,0)$、$P(0,3)$、$Q(\frac{-3}{2}, 0)$ 三點，則過點 $P$ 的切線斜率 $m=$？
<details>
<summary>點擊看 選填13 詳解</summary>

[答案]$\frac{-1}{2}$
[詳解]
$\because$ 圓 $C$ 通過 $O$、$P$、$Q$ 且 $\overline{OP}\perp\overline{OQ}$
$\therefore$ 圓 $C$ 是以 $\overline{PQ}$ 為直徑的圓 $\Rightarrow$ 圓心 $A(\frac{-3}{4}, \frac{3}{2})$
$\Rightarrow m_{AP}=2\Rightarrow$ 過點 $P$ 的切線斜率 $m=m_{\perp AP}=\frac{-1}{2}$
</details>

> 14. $\triangle ABC$，$A(7,15)$、$B(-3,-5)$、$C(12,5)$。$D$、$E$、$F$ 三點分別在 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 的邊上，已知四邊形 $ADEF$ 是平行四邊形，且 $\overline{AD}:\overline{DE}=1:2$，則 $E$ 點座標為何？
<details>
<summary>點擊看 選填14 詳解</summary>

[答案]$E(9,3)$
[詳解]
向量 $\vec{AD}//\vec{AB}=(-10,-20)//(-1,-2)$
向量 $\vec{AF}//\vec{AC}=(5,-10)//(1,-2)$
$\because\overline{AD}:\overline{AF} = \overline{AD}:\overline{DE}=1:2$
$\therefore \vec{AD}=t(-1,-2)$、$\vec{AF}=2t(1,-2)$
$\vec{AE}=\vec{AD}+\vec{AF}=(t,-6t)\Rightarrow E(7+t, 15-6t)$
$\because E$ 在線段 $\overline{BC}: 2x-3y=9$ 上
$\therefore 2(7+t)-3(15-6t)=9\Rightarrow t=2\Rightarrow E(9,3)$
</details>

> 15. 坐標平面上有 $A(-4,m)$、$B(n,r)$ 兩點，若線段 $\overline{AB}$ 和直線 $L$ 交於點 $P(4,3)$，又 $A$、$B$ 兩點到直線 $L$ 的投影點分別為 $C(0,1)$、$D(10,6)$，則數對 $(m,n,r)=$？
<details>
<summary>點擊看 選填15 詳解</summary>

[答案]$(9,16,-6)$
[詳解]
$\because A$ 在直線 $L$ 上的投影點為 $C$
$\therefore \overline{AC}\perp\overline{CP}\Rightarrow m_{AC}\times m_{CP}=-1$
$\Rightarrow \frac{m-1}{-4}\times\frac{2}{4}=-1\Rightarrow m=9$ 且 $A(-4,9)$
$\because B$ 在直線 $L$ 上的投影點為 $D$
$\therefore \overline{BD}\perp\overline{DP}\Rightarrow m_{BD}\times m_{DP}=-1$
$\Rightarrow \frac{r-6}{n-10}\times\frac{3}{6}=-1\Rightarrow 2n+r=26$...(1)
又 $B(n,r)$ 在直線 $\overleftrightarrow{AP}: 3x+4y=24$ 上...(2)
由(1)(2)解得 $B(n,r)=(16,-6)$，故 $(m,n,r)=(9,16,-6)$。
</details>

> 16. 三次函數 $y=f(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{5}{2}x-1$ 圖形的對稱中心為 $P$ 點。$y=f(x)$ 的圖形上有 $A(-2,0)$、$B$、$C$、$D$ 四點，且 $ABCD$ 是菱形，兩對角線 $\overline{AC}$、$\overline{BD}$ 交於 $P$ 點，則菱形 $ABCD$ 的面積為何？
<details>
<summary>點擊看 選填16 詳解</summary>

[答案]$30$
[詳解]
$y=f(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{5}{2}x-1$ 圖形的對稱中心為 $P(0,-1)$
$\overline{AC}$ 對稱於 $P\Rightarrow C(2,-2)$
$\because ABCD$ 為菱形，$\overline{BD}$ 垂直 $\overline{AC}$ 於 $P$ 點，且 $m_{AC}=\frac{-1}{2}$
$\therefore \overleftrightarrow{BD}: y=2x-1$
$\Rightarrow \frac{1}{2}x^3-\frac{5}{2}x-1=2x-1$
$\Rightarrow x^3-9x=0\Rightarrow x(x+3)(x-3)=0$
$\Rightarrow B(3,5)$、$D(-3,-7)$
菱形 $ABCD$ 的面積為 $\frac{1}{2}\times\overline{AC}\times\overline{BD}=30$
</details>

> 17. 某一城市在坐標平面 $0\leq x\leq 10$，$0\leq y\leq 6$ 的長方形範圍內，設有三處派出所 $A$、$B$、$C$，其坐標分別為 $A(2,4)$、$B(9,5)$、$C(6,2)$。若規定在此長方形區域內(含邊界)的任一位置 $D(x,y)$ 發生案件，則由距離案發地點 $D$ 最近的派出所管轄處理，若與案發地點 $D$ 最近的派出所有二個以上時，則由這些派出所共同處理。試問 $C$ 派出所的管轄面積大小為多少平方單位？
<details>
<summary>點擊看 選填17 詳解</summary>

[答案]$\frac{283}{12}$
[詳解]
$\overline{AC}$ 的中垂線 $L_1: 2x-y=5$
$\overline{BC}$ 的中垂線 $L_2: x+y=11$
由圖可知 $C$ 的管轄區域在 $L_1$ 的右半平面且在 $L_2$ 的左半平面，
故 $C$ 的管轄區域為 $\left\{
\begin{matrix}
0\leq x\leq 10\\
0\leq y\leq 6 \\
2x-y\geq 5 \\
x+y\leq 11
\end{matrix}
\right.$
$\Rightarrow C$ 派出所的管轄面積大小為 $\frac{283}{12}$ 平方單位。
</details>

## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組

> 18. 已知 $y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 圖形的對稱中心為 $A(2,3)$，$y=g(x)$ 的圖形是以 $A(2,3)$ 為頂點的拋物線，$y=h(x)$ 的圖形是過點 $A(2,3)$ 且斜率為 $m$ 的直線，根據上述條件，試回答下列問題。
> $y=f(x)+h(x)$ 圖形的對稱中心為下列哪一個選項？
> (1) $(0,0)$
> (2) $(2,3)$
> (3) $(2,6)$
> (4) $(4,3)$
> (5) $(4,6)$
<details>
<summary>點擊看 18題 詳解</summary>

[答案]3
[詳解]
$y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 圖形的對稱中心為 $A(2,3)$
$\Rightarrow y=f(x)=(x-2)^3+p(x-2)+3$
$y=h(x)$ 的圖形是過點 $A(2,3)$ 且斜率為 $m$ 的直線
$\Rightarrow y=h(x)=m(x-2)+3$
$\therefore y=f(x)+h(x)=(x-2)^3+(p+m)(x-2)+6$
$\Rightarrow y=f(x)+h(x)$ 的對稱中心為 $(2,6)$，故選(3)。
</details>

> 19. 若 $y=g(x)+h(x)$ 的圖形是以 $B(3,4)$ 為頂點的拋物線，試求 $m$ 之值。
<details>
<summary>點擊看 19題 詳解</summary>

[答案]$-4$
[詳解]
$y=g(x)$ 的圖形是以 $A(2,3)$ 為頂點的拋物線
$\Rightarrow y=g(x)=k(x-2)^2+3$
$\begin{align*}
y&=g(x)+h(x)=k(x-2)^2+m(x-2)+6 \\
&=kx^2+(-4k+m)x+4k-2m+6...(1)
\end{align*}$
又由題目可知 $y=g(x)+h(x)$ 的圖形是以 $B(3,4)$ 為頂點的拋物線
$\begin{align*}
\Rightarrow y&=g(x)+h(x)=k(x-3)^2+4 \\
&=kx^2-6kx+9k+4...(2)
\end{align*}$
比較(1)(2)的係數可得
$\left\{
\begin{array}{ccc}
-4k+m=-6k\\
4k-2m+6=9k+4
\end{array}
\right.
\Rightarrow\left\{
\begin{array}{ccc}
2k+m=0\\
5k+2m=2
\end{array}
\right.
\Rightarrow\left\{
\begin{array}{ccc}
k=2\\
m=-4
\end{array}
\right.$
</details>

> 20. 承 19 題，若 $f(x)$ 除以 $(g(x)-h(x))$ 的餘式為 $x+1$，試求 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 的一次近似直線。
<details>
<summary>點擊看 20題 詳解</summary>

[答案]$-3x+9$
[詳解]
$y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 圖形的對稱中心為 $A(2,3)$
$\Rightarrow y=f(x)=(x-2)^3+p(x-2)+3$
承 19 題，
$g(x)=2(x-2)^2+3=2x^2-8x+11$
$h(x)=-4(x-2)+3=-4x+11$
$\Rightarrow g(x)-h(x)=2x^2-4x$
由題意 $f(x)$ 除以 $(g(x)-h(x))$ 的餘式為 $x+1$ 可得
$f(x)=(g(x)-h(x))Q(x)+x+1$
$\Rightarrow (x-2)^3+p(x-2)+3=(2x^2-4x)Q(x)+x+1$
$x=0$ 帶入得 $-5-2p=1\Rightarrow p=-3$
$\Rightarrow y=f(x)=(x-2)^3-3(x-2)+3$
故 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 的一次近似直線為 $y=-3(x-2)+3=-3x+9$
</details>

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## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. |
|------|------|------|------|------|
| (4) | (3) | (3) | (1) | (2) |

| 6. | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. |
|------|------|------|------|------|------|
| (1)(3)(5) | (4)(5) | (1)(4)(5) | (3)(5) | (2)(5) | (2)(3) |

| 12. | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$ | $\frac{-1}{2}$ | $E(9,3)$ | $(9,16,-6)$ | $30$ | $\frac{283}{12}$ | (3) | $-4$ | $-3x+9$ |