# 112 學年度全國高級中學學科能力測驗模擬考試-翰林版E1
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題
> 1. 設實數 $x$ 滿足 $\frac{1}{2022x-1}=2023$，下列哪一個選項為 $\frac{1}{2023x-1}$ 之值？
> (1) 1011
> (2) 1012
> (3) 2022
> (4) 2023
> (5) 2024
<details>
<summary>點擊看 單選1 詳解</summary>
[答案]1
[詳解]
$\frac{1}{2022x-1}=2023$
$\Rightarrow 2023\times2022x-2023=1$
$\Rightarrow 2022(2023x)=2024$
$\Rightarrow 2023x=\frac{2024}{2022}$
$\Rightarrow 2023x-1=\frac{1}{1011}$
$\Rightarrow \frac{1}{2023x-1}=1011$
</details>
> 2. 已知 $a=\frac{31}{4}$、$b=8$、$c=\sqrt{62}$ 和 $d$，且 $d$ 為無理數，將這四個數標註在數線上，即 $A(a)$、$B(b)$、$C(c)$、$D(d)$。試選出正確的選項。
> (1) $a+b+c+d$ 必為一個無理數
> (2) $abcd$ 必為一個有理數
> (3) 點 $A$ 和點 $B$ 的中點位於點 $C$ 的右邊
> (4) 若 $a<d<b$，則 $d=\sqrt{63}$
> (5) 若 $d^2$ 為有理數且 $c^2<d^2<b^2$，則 $d=\pm\sqrt{63}$
<details>
<summary>點擊看 單選2 詳解</summary>
[答案]3
[詳解]
(1)X，若 $d=-\sqrt{62}$，則 $a+b+c+d$ 為有理數
(2)X，若 $d=\sqrt{2}$，則 $abcd$ 為無理數
(3)O，點 $A$ 和點 $B$ 的中點為 $\frac{a+b}{2}=\frac{63}{8}$
$\because (\frac{a+b}{2})^2-c^2=(\frac{63}{8})^2-62=\frac{1}{8^2}(63^2-64\times62)>0$
$\therefore \frac{a+b}{2}>c$
(4)X，介在 $a$、$b$ 中間的無理數有無限多個
(5)X，$c^2<d^2<b^2\Rightarrow 62<d^2<64\Rightarrow$ 62和64之間有無限多個有理數和無限多個無理數
故選(3)。
</details>
> 3. 考慮兩實數乘積 $(2+\sqrt5)(4-\sqrt5)=3+2\sqrt5$，下列哪一個選項的值與雙重根號 $\sqrt{6-2\sqrt{3+2\sqrt5}}$ 的值相等？
> (1) $\sqrt{2-\sqrt5}+\sqrt{4+\sqrt5}$
> (2) $\sqrt{2+\sqrt5}+\sqrt{4-\sqrt5}$
> (3) $\sqrt{2+\sqrt5}-\sqrt{4-\sqrt5}$
> (4) $\sqrt{3+\sqrt5}-\sqrt{3-\sqrt5}$
> (5) $\sqrt{4+\sqrt5}-\sqrt{2-\sqrt5}$
<details>
<summary>點擊看 單選3 詳解</summary>
[答案]3
[詳解]
雙重根號化簡: 若 $a>b$，則 $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
$\because (2+\sqrt5)>(4-\sqrt5)$
且 $(2+\sqrt5)+(4-\sqrt5)=6$、$(2+\sqrt5)(4-\sqrt5)=3+2\sqrt5$
$\therefore \sqrt{6-2\sqrt{3+2\sqrt5}}=\sqrt{2+\sqrt5}-\sqrt{4-\sqrt5}$，故選(3)。
</details>
> 4. 多項式 $f(x)=4(x^2+1)-(x-1)^2(x+3)-(x+1)^3$ 等於下列哪一個選項？
> (1) $-x(x-1)^2$
> (2) $-2x(x+1)^2$
> (3) $-x(x+1)(x-1)$
> (4) $-2(x+1)^2(x-1)$
> (5) $-2x(x+1)(x-1)$
<details>
<summary>點擊看 單選4 詳解</summary>
[答案]5
[詳解]
$\begin{align*}
f(x)&=4(x^2+1)-(x-1)^2(x+3)-(x+1)^3 \\
&=(4x^2+4)-(x^3+x^2-5x+3)-(x^3+3x^2+3x+1) \\
&=-2x^3+2x \\
&=-2x(x+1)(x-1)
\end{align*}$，
故選(5)。
</details>
> 5. 定義指數 $x^{y^z}=x^{(y^z)}$，其中 $x$、$y$、$z$ 為正實數，例如 $3^{2^5}=3^{32}$。下列哪一個選項的值最大？
> (1) $2^{4^3}$
> (2) $2^{3^4}$
> (3) $3^{2^4}$
> (4) $4^{2^3}$
> (5) $4^{3^2}$
<details>
<summary>點擊看 單選5 詳解</summary>
[答案]2
[詳解]
(1) $2^{4^3}=2^{64}$
(2) $2^{3^4}=2^{81}$
(3) $3^{2^4}=3^{16}$
(4) $4^{2^3}=4^8=2^{16}$
(5) $4^{3^2}=4^9=2^{18}$
故選(2)。
</details>
> 6. 已知二次函數 $y=f(x)$ 圖形的頂點座標為 $(h,f(h))$。若函數圖形在區間 $b\leq x\leq a$ 範圍內，$f(b)$ 為最大值但 $f(a)$ 不是最小值，其中 $b<a$，$f(a)\neq f(b)$。試選出正確的選項。
> (1) $h<b$
> (2) $h=b$
> (3) $b<h<a$
> (4) $h=a$
> (5) $h>a$
<details>
<summary>點擊看 單選6 詳解</summary>
[答案]3
[詳解]
在區間 $b\leq x\leq a$ 範圍內，$f(b)$ 為最大值但 $f(a)$ 不是最小值
$\Rightarrow y=f(x)$ 圖形為開口向上且 $b<h<a$
故選(3)。
</details>
> 7. 根據氣象局資料，到了21世紀初，地震學者採用更能直接反應地震破裂過程物理特性(如地震錯動的大小和地震的能量等)的表示方法，即地震矩規模($M_W$)來描述地震大小，其計算公式為 $M_W=\frac{2}{3}\log M_0-10.73$，其中 $M_0$ 為地震矩，是地震學家用來表示地震所釋放出之能量的數量。根據紀錄，1999年++集集++大地震的地震規模為 7.7，2016年++美濃++地震的地震矩規模為 6.4，兩次地震所釋放的能量(地震矩)，前者是後者個幾倍？選出最接近的數值。
> (1) 20倍
> (2) 60倍
> (3) 75倍
> (4) 90倍
> (5) 105倍
<details>
<summary>點擊看 單選7 詳解</summary>
[答案]4
[詳解]
++集集++大地震的地震規模為 7.7
$\Rightarrow 7.7=\frac{2}{3}\log M_{集集}-10.73$...(1)
++美濃++地震的地震矩規模為 6.4
$\Rightarrow 6.4=\frac{2}{3}\log M_{美濃}-10.73$...(2)
(1)-(2) 得 $1.3=\frac{2}{3}\log M_{集集}-\frac{2}{3}\log M_{美濃}=\frac{2}{3}\log\frac{M_{集集}}{M_{美濃}}$
$\Rightarrow \log\frac{M_{集集}}{M_{美濃}}=1.95$
$\Rightarrow \log\frac{M_{集集}}{M_{美濃}}=10^{1.95}\approx 10^1\times9=90$($\because 9\approx 10^{0.9542}$)，
故選(4)。
</details>
### 二、多選題
> 8. 已知 $n$ 為正實數，下列哪選項是絕對值不等式 $|x-n|\geq 2x$ 的解？
> (1) $x=0$
> (2) $x=\frac{n}{3}$
> (3) $x=\frac{2n}{3}$
> (4) $x=n$
> (5) $x=2n$
<details>
<summary>點擊看 多選8 詳解</summary>
[答案]12
[詳解]
兩邊平方得 $(x-n)^2\geq (2x)^2$
$\Rightarrow (2x)^2-(x-n)^2\leq0$
$\Rightarrow (x+n)(3x-n)\leq 0$
$\Rightarrow -n\leq x\leq\frac{n}{3}$
故選 (1)(2)。
</details>
> 9. 若多項式函數 $f(x)$ 滿足 $g(x)=f(x^2)-f(x)=4x^6-2x^4-4x^3+5x^2-3x$，試選出正確的選項。
> (1) $\deg f(x)=3$
> (2) $\deg g(x)=\deg f(x^2)-\deg f(x)$
> (3) $f(x)$ 的首項係數為2
> (4) $f(x^2)$ 的係數和等於 $f(x)$ 的係數和
> (5) $x(x-1)$ 是 $g(x)$ 的因式
<details>
<summary>點擊看 多選9 詳解</summary>
[答案]145
[詳解]
(1)O(2)X(3)X
設 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$
$\Rightarrow f(x^2)=a_nx^{2n}+\cdots+a_1x^2+a_0$
$\deg g(x)=\deg(f(x^2)-f(x))=2n\Rightarrow n=3$ 且首項係數為 $4$
(4)O，$f(x^2)$ 的係數和$=f(x)$ 的係數和=$f(1)$
(5)O，$\because g(0)=f(0^2)-f(0)=0$ 且 $g(1)=f(1^2)-f(1)=0$
$\therefore x(x-1)$ 是 $g(x)$ 的因式
</details>
> 10. 平面上三角形 $ABC$ 頂點座標分別為 $A(0,5)$、$B(2,3)$、$C(-4,1)$，令圓 $\Gamma$ 為過三角形頂點的外接圓，試選出正確的選項。
> (1) $\overline{AB}\perp\overline{AC}$
> (2) 圓 $\Gamma$ 的圓心為 $(-1,2)$
> (3) 圓 $\Gamma$ 的半徑等於 $\sqrt{10}$
> (4) 原點 $(0,0)$ 在圓 $\Gamma$ 的外部
> (5) 圓 $\Gamma$ 恰通過三個象限
<details>
<summary>點擊看 多選10 詳解</summary>
[答案]123
[詳解]
(1)O，$m_{AB}\times m_{AC}=-1\times 1=-1$
(2)O(3)O，$\because \triangle ABC$ 為直角三角形，
$\therefore$ 圓心為斜邊 $\overline{BC}$ 中點 $(-1,2)$ 且半徑為 $\frac{\overline{BC}}{2}=\sqrt{10}$
(4)X，承(2)(3) 可得圓 $\Gamma: (x+1)^2+(y-2)^2=10$
$\Rightarrow $ 原點 $(0,0)$ 帶入圓 $\Gamma$ 得 $1+4<10$，故原點 $(0,0)$ 在圓 $\Gamma$ 的內部
(5)X，承(4)，圓 $\Gamma$ 通過四個象限
故選(1)(2)(3)。
</details>
> 11. 有一直角三角形，其中兩股長分別為 $a$、$b$，斜邊長為 $c$，若 $a$、$b$、$c$ 為互質正整數，++羅馬++時期的數學家++丟番圖++(Diophantus)約在西元前250年提出下列公式：
> $\left\{\begin{align*}
a&=m^2-n^2 \\
b&=2mn \\
c&=m^2+n^2
\end{align*}\right.$，其中 $m$、$n$ 為互質正整數($m>n$)。
根據此公式，當 $a=m^2-n^2$ 為質數時，則下列那些選項中的數值==不可能==為完全平方數？
> (1) $b+c$
> (2) $2b+1$
> (3) $2c+1$
> (4) $2(a+b+1)$
> (5) $2(a+c+1)$
<details>
<summary>點擊看 多選11 詳解</summary>
[答案]35
[詳解]
$a=m^2-n^2=(m-n)(m+n)$ 為質數
$\Rightarrow\left\{\begin{align*}
m-n=1 \\
m+n=a
\end{align*}\right.$$\Rightarrow\left\{\begin{align*}
m=\frac{a+1}{2} \\
n=\frac{a-1}{2}
\end{align*}\right.$$\Rightarrow\left\{\begin{align*}
b=\frac{a^2-1}{2} \\
c=\frac{a^2+1}{2}
\end{align*}\right.$
(1) O，$b+c=m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$
(2) $2b+1=a^2$
(3) $2c+1=a^2+2$
(4) $2(a+b+1)=2a+(a^2-1)+2=a^2+2a+1=(a+1)^2$
(5) $2(a+c+1)=2a+(a^2+1)+2=a^2+2a+3$
故選(3)(5)。
</details>
### 三、選填題
> 12. 設 $x$、$y$ 為循環小數，且 $x=0.\overline{9}$、$y=0.0\overline{3}$，則 $x-y$ 的值等於？(化為最簡分數)
<details>
<summary>點擊看 選填12 詳解</summary>
[答案]$\frac{29}{30}$
[詳解]
$x=0.\overline{9}=\frac{9}{9}=1$
$y=0.0\overline{3}=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}$
$\Rightarrow x-y=\frac{29}{30}$
</details>
> 13. 若 $(\frac{10000}{10^{\sqrt{10}}})^{4+\sqrt{10}}=10^k$，則整數 $k=$？
<details>
<summary>點擊看 選填13 詳解</summary>
[答案]$6$
[詳解]
$(\frac{10000}{10^{\sqrt{10}}})^{4+\sqrt{10}}=(10^{4-\sqrt{10}})^{4+\sqrt{10}}=10^{(4-\sqrt{10})(4+\sqrt{10})}=10^6$
</details>
> 14. 已知 $2^{2023}$、$5^{2023}$ 兩數的科學記號分別為 $a\times 10^{608}$、$b\times 10^{1414}$，其中 $1\leq a,b< 10$，則 $ab=$？
<details>
<summary>點擊看 選填14 詳解</summary>
[答案]$10$
[詳解]
由題意知 $2^{2023}=a\times 10^{608}$ 且 $5^{2023}=b\times 10^{1414}$
兩數相乘得 $10^{2023}=ab\times 10^{2022}\Rightarrow ab=10$
</details>
> 15. 已知四次多項式函數 $f(x)=a(3x-16)(x-1)^2(x+\sqrt5)$ 的部分圖形如下所示，則滿足不等式 $f(x)<0$ 的整數解有？個。
> 
<details>
<summary>點擊看 選填15 詳解</summary>
[答案]$7$
[詳解]
由圖可知 $f(x)<0$ 的解為 $-\sqrt{5}<x<\frac{16}{3}, x\neq 1$
$\Rightarrow x$ 的整數解有 $-2,-1,0,2,3,4,5$，共 $7$ 個。
</details>
> 16. 已知三次實係數多項式函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中 $a\neq 0$。若 $y=g(x)=x^3-5x+4$ 的圖形向右平移2個單位可得到 $y=f(x)$ 的圖形，則 $y=f(x)$ 的圖形在 $x=0$ 附近會近似於直線為？
<details>
<summary>點擊看 選填16 詳解</summary>
[答案]$y=7x+6$
[詳解]
$y=g(x)=x^3-5x+4$ 的圖形向右平移2個單位可得到
$y=f(x)=(x-2)^3-5(x-2)+4=x^3-6x^2+7x+6$
$\Rightarrow y=f(x)$ 的圖形在 $x=0$ 附近的近似直線為 $y=7x+6$
</details>
> 17. 某甲計算多項式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 除以 $g(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的餘式，其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 為實數，且 $a>0$。他誤看成 $g(x)$ 除以 $f(x)$，計算後得出餘式為 $-2x^2-18$。假設 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 正確的餘式等於 $px^2+qx+r$，則 $q+\frac{r}{p}=$？
<details>
<summary>點擊看 選填17 詳解</summary>
[答案]$9$
[詳解]
$g(x)$ 除以 $f(x)$ 得餘式為 $-2x^2-18$
$\Rightarrow g(x)=a\times f(x)-2x^2-18$
$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{a}g(x)+\frac{1}{a}(2x^2+18)$
$\Rightarrow f(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式為 $\frac{2}{a}x^2+\frac{18}{a}$
$\therefore q+\frac{r}{p}=0+\frac{18}{2}=9$。
</details>
## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> 坐標平面上 $O$ 為原點，給定點 $P(-12,-9)$ 與圓 $\Gamma: x^2+y^2=10^2$，另有兩點 $A$、$B$ 在圓 $\Gamma$ 上且 $\overline{AB}=2\sqrt{19}$，已知直線 $L$ 過 $P$、$A$、$B$ 三點且斜率為 $m$，根據上述，試回答下列問題：
> 18. 直線 $L$ 方程式為下列哪一個選項？
> (1) $y+9=m(x+12)$
> (2) $(y+9)+m(x+12)=0$
> (3) $y-9=m(x-12)$
> (4) $m(y+9)=x+12$
> (5) $m(y-9)=x-12$
<details>
<summary>點擊看 18題 詳解</summary>
[答案]1
[詳解]
直線 $L$ 通過 $P(-12,-9)$、斜率為 $m$
$\Rightarrow y+9=m(x+12)$，故選(1)。
</details>
> 19. 圓心 $O(0,0)$ 到弦 $\overline{AB}$ 的距離為下列哪一個選項？
> (1) 9
> (2) 8
> (3) 6
> (4) 3
> (5) 0
<details>
<summary>點擊看 19題 詳解</summary>
[答案]1
[詳解]
圓半徑為 $10$ 且 $\overline{AB}=2\sqrt{19}$
$\Rightarrow$ 圓心 $O(0,0)$ 到弦 $\overline{AB}$ 的距離為 $\sqrt{10^2-\sqrt{19}^2}=9$，故選(1)。
</details>
> 20. 若直線 $M$ 過點 $P$，與圓 $\Gamma$ 相交餘 $C$、$D$ 兩點，且弦 $\overline{CD}\geq\overline{AB}$，則直線 $M$ 的斜率 $t$ 之範圍為何？
<details>
<summary>點擊看 20題 詳解</summary>
[答案]$0\leq t\leq\frac{24}{7}$
[詳解]
承18、19題，$L: mx-y+12m-9=0$
且圓心 $O(0,0)$ 到弦 $\overline{AB}$ 的距離為 $9$
若 $\overline{CD}\geq\overline{AB}\Rightarrow d(O,M)\leq d(O,L)=9$
$\Rightarrow\frac{|12m-9|}{\sqrt{m^2+1}}\leq 9$
$\Rightarrow (12m-9)^2\leq81(m^2+1)$
$\Rightarrow 7m^2-24m\leq 0\Rightarrow m(7m-24)\leq0\Rightarrow 0\leq t\leq\frac{24}{7}$
</details>
---
## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. |
|------|------|------|------|------|------|------|
| (1) | (3) | (3) | (5) | (2) | (3) | (4) |
| 8. | 9. | 10. | 11. |
|------|------|------|------|
| (1)(2) | (1)(4)(5) | (1)(2)(3) | (3)(5) |
| 12. | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $\frac{29}{30}$ | $6$ | $10$ | $7$ | $y=7x+6$ | $9$ | (1) | (1) | $0\leq t\leq\frac{24}{7}$ |
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