# 113 學年度全國高級中學學科能力測驗模擬考試-翰林版E1
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題
> 1. 試問有多少個整數 $x$ 滿足 $|x+5|+x\leq 5$？
> (1) 0
> (2) 4
> (3) 5
> (4) 6
> (5) 無限多個
<details>
<summary>點擊看 單選1 詳解</summary>
[答案]5
[詳解]
(i) 若 $x+5\geq 0\Rightarrow x\geq -5$
則 $(x+5)+x\leq 5\Rightarrow x\leq 0$，$\therefore -5\leq x\leq 0$
(ii) 若 $x+5<0\Rightarrow x<-5$
則 $(-x-5)+x\leq 5\Rightarrow -5\leq 5 恆成立\therefore x\in R$
由(i)(ii)可得，有無限多個整數滿足不等式，故選(5)。
</details>
> 2. 已知實數 $a$、$b$ 滿足 $b=\log a$ 且 $1<a<10$。設 $x=\frac{2a+b}{3}$、$y=\frac{a+3b}{4}$、$z=\frac{a+5b}{6}$，則 $x$、$y$、$z$ 的大小關係為何？
> (1) $z>y>x$
> (2) $x>y>z$
> (3) $x>z>y$
> (4) $y>z>x$
> (5) $y>x>z$
<details>
<summary>點擊看 單選2 詳解</summary>
[答案]2
[詳解]
$\because 1<a<10\Rightarrow 0<\log b<1 \therefore a>b$
由分點公式可得 $x>y>z$，故選(2)。
</details>
> 3. 已知 $3^{0.4}\approx 1.55$、$3^{0.01}\approx 1.01$，則 $3^{\sqrt{2}}$ 最接近下列哪個選項？
> (1) 2.6
> (2) 3.5
> (3) 4.7
> (4) 5.1
> (5) 5.7
<details>
<summary>點擊看 單選3 詳解</summary>
[答案]3
[詳解]
$\because \sqrt{2}\approx 1.41$
$\therefore 3^{\sqrt{2}}\approx 3^1\times 3^{0.4}\times 3^{0.01}\approx 4.6965\approx 4.7$，故選(3)。
</details>
> 4. 令多項式 $f(x)=(x^2-1)(x^2-2)^2(x^2-9)^3(x^2-16)^4$，則多項式方程式 $f(x)=0$ 的實數解將 $x$ 軸分割成的 $9$ 個開區間中，有多少個開區間可使 $f(x)$ 的值恆正？(註：不含端點的區間，我們稱為開區間，例如 $(2,3)$ 代表 $2<x<3$，$(3,\infty)$ 代表 $x>3$)
> (1) 1個
> (2) 2個
> (3) 3個
> (4) 4個
> (5) 5個
<details>
<summary>點擊看 單選4 詳解</summary>
[答案]5
[詳解]
$f(x)=0$ 的解為 $x=\pm1, \pm2, \pm3, \pm4$
$x$ 軸被這八個點分成九個開區間，各個區間判斷正負後，參考圖形如下
有五個開區間使 $f(x)$ 的值恆正，故選(5)。
</details>
> 5. 室內配置圖上有兩個半徑為 $1$ 的圓型障礙物，其圓心分別為 $(2,4)$ 和 $(10,2)$。若室內設計師想要以直線 $L:y=mx(m>0)$ 為中心，規劃一條寬度為 $2$ 且不碰觸到圓型障礙物的通道(相切視為有碰觸)，則 $m$ 可為下列哪個選項？
> (1) $\frac{4}{3}$
> (2) 1
> (3) $\frac{3}{4}$
> (4) $\frac{2}{3}$
> (5) $\frac{2}{5}$
<details>
<summary>點擊看 單選5 詳解</summary>
[答案]4
[詳解]
欲規劃一條寬度為 $2$ 且不碰觸到圓型障礙物的通道，故兩圓圓心$A(2,4)$ 和 $B(10,2)$ 到直線 $L$ 的距離需大於 $2$(半徑+一半的路寬$=1+1=2$)
(i) $d(A,L)>2$
$\Rightarrow\frac{|2m-4|}{\sqrt{m^2+1}}>2\Rightarrow (2m-4)^2>4(m^2+1)\Rightarrow m<\frac{3}{4}$
(ii) $d(B,L)>2$
$\Rightarrow\frac{|10m-2|}{\sqrt{m^2+1}}>2\Rightarrow (10m-2)^2>4(m^2+1)$
$\Rightarrow m(12m-5)>0\Rightarrow m>\frac{5}{12}$ 或 $m<0$ (不合)
由(1)(2)可得 $\frac{5}{12}<m<\frac{3}{4}$，故選(4)。
</details>
> 6. 如圖為 $y=ax^2+bx+c$ 的圖形，虛線為 $x=\frac{1}{2}$，則下列哪一個選項的圖形可以代表 $ax+by+c=0$？(選項中的虛線為直線 $y=x$)
> 
<details>
<summary>點擊看 單選6 詳解</summary>
[答案]1
[詳解]
二次函數 $y=ax^2+bx+c$ 由函數圖形可判斷：
(i) $\because$ 開口向上 $\therefore a>0$
(ii) $\because$ 對稱軸 $x=\frac{-b}{2a}\Rightarrow 0<\frac{-b}{2a}<\frac{1}{2}\Rightarrow 0<\frac{-b}{a}<1$
$\Rightarrow b<0$ 且 $\frac{-a}{b}>1$
(iii) 二次函數圖形通過 $(0,c)\Rightarrow c<0$
$\because$ 直線 $ax+by+c=0$ 斜率為 $\frac{-a}{b}>1$ 且 $x$ 截距為 $\frac{-c}{a}>0$，故選(1)。
</details>
### 二、多選題
> 7. 若 $2^n$ 與 $3^{10}$ 有相同的位數，則 $n$ 可為下列哪些數？
> (1) 12
> (2) 13
> (3) 14
> (4) 15
> (5) 16
<details>
<summary>點擊看 多選7 詳解</summary>
[答案]345
[詳解]
<法一> 數字不大~乘開也是一種方法 :+1:
<法二> $\because\log 3^{10}\approx 4.771\therefore 3^{10}$ 為五位數
$2^n$ 與 $3^{10}$ 有相同的位數
$\Rightarrow 4\leq\log2^{n}<5\Rightarrow 4\leq 0.3010n<5\Rightarrow 13.~\leq n<16.~$，
故選(3)(4)(5)。
</details>
> 8. 如右圖，將一張面積為 $3$ 的正方形色紙放置於一張面積為 $5$ 的正方形色紙上，使得小正方形的頂點皆落在大正方形的邊上，此時大正方形被小正方形分割成 4 個全等的直角三角形以及 1 個正方形(小正方形)，試選出正確的選項。
> 
> (1) 三角形兩股的長度平方和為 $3$
> (2) 三角形兩股的長度和為 $5$
> (3) 三角形兩股的長度乘積為 $2$
> (4) 三角形的面積為 $1$
> (5) 三角形兩股長度相差 $1$
<details>
<summary>點擊看 多選8 詳解</summary>
[答案]15
[詳解]
如圖，令 $\overline{AP}=\overline{BQ}=\overline{CR}=\overline{DS}=x$
$\Rightarrow\overline{AQ}=\overline{BR}=\overline{CS}=\overline{DP}=\sqrt{5}-x$
(1)O，滿足勾股定理 $\Rightarrow x^2+(\sqrt{5}-x)^2=3\Rightarrow x^2-\sqrt{5}x+1=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}$
(2)X，應為 $\sqrt{5}$
(3)X，應為 $x(x-\sqrt{5})=1$
(4)X，應為 $\frac{1}{2}x(x-\sqrt{5})=\frac{1}{2}$
(5)O，$|x-(\sqrt{5}-x)|=|2x-\sqrt{5}|=1$
故選(1)(5)。
</details>
> 9. 如圖，兩直線 $L_1$、$L_2$ 的方程式分別為 $L_1:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=-1$、$L_2:\frac{x}{c}-\frac{y}{d}=1$。試選出數值為正的選項。
> 
> (1) $a$
> (2) $c$
> (3) $ab$
> (4) $cd$
> (5) $\frac{b}{a}+\frac{d}{c}$
<details>
<summary>點擊看 多選9 詳解</summary>
[答案]1235
[詳解]
$L_1:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=-1\Rightarrow\frac{x}{-a}+\frac{y}{-b}=1$
$\Rightarrow x$ 截距為 $-a, y$ 截距為 $-b\Rightarrow a>0$ 且 $b>0$
$L_2:\frac{x}{c}-\frac{y}{d}=1\Rightarrow\frac{x}{c}+\frac{y}{-d}=1$
$\Rightarrow x$ 截距為 $c, y$ 截距為 $-d\Rightarrow c>0$ 且 $d<0$
$\therefore$ (1)O(2)O(3)O(4)X
(5)O，由圖可知 $m_1<m_2\Rightarrow\frac{-b}{a}<\frac{d}{c}\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{d}{c}>0$
故選(1)(2)(3)(5)。
</details>
> 10. 已知三次不等式 $2x^3+2(k-6)x^2-(3k-16)x-2k>0$ 的解為 $x>2$，試選出可能是 $k$ 值的選項。
> (1) 2
> (2) 4
> (3) 6
> (4) 8
> (5) 10
<details>
<summary>點擊看 多選10 詳解</summary>
[答案]1234
[詳解]
$\because 2x^3+2(k-6)x^2-(3k-16)x-2k>0$
$\Rightarrow (x-2)(2x^2+(2k-8)x+k)>0$ 的解為 $x>2$
$\therefore 2x^2+(2k-8)x+k\geq 0$ 恆成立
$\Rightarrow$ 判別式 $(2k-8)^2-8k\leq 0$
$\Rightarrow k^2-10k+16=(k-2)(k-8)\leq 0\Rightarrow 2\leq k\leq8$
故選(1)(2)(3)(4)。
</details>
> 11. 關於滿足方程式 $x^2+y^2-4x-4y+6=0$ 的實數數對 $(x,y)$，試選出正確的選項。
> (1) $x^2+y^2$ 有最大值為 $18$
> (2) $x^2+y^2$ 有最小值為 $\sqrt{2}$
> (3) 恰有 34 組 $(x,y)$ 使得 $x^2+y^2$ 為整數
> (4) $\frac{y}{x}$ 有最大值為 $1$
> (5) $\frac{y}{x}$ 有最小值為 $2-\sqrt{3}$
<details>
<summary>點擊看 多選11 詳解</summary>
[答案]15
[詳解]
$x^2+y^2-4x-4y+6=0$
$\Rightarrow (x-2)^2+(y-2)^2=2\Rightarrow$ 圓心 $C(2,2)$、半徑 $r=\sqrt{2}$
(1)O(2)X(3)X
$x^2+y^2 = \sqrt{x^2+y^2}^2=(x,y)$ 和 $O(0,0)$ 之距離平方
$\because \overline{OC}-r\leq \sqrt{x^2+y^2}\leq \overline{OC}+r$
$\Rightarrow (\overline{OC}-r)^2\leq x^2+y^2\leq (\overline{OC}+r)^2$
$\Rightarrow 2\leq x^2+y^2\leq 18$
因為圓是對稱圖形 $x^2+y^2=2,3,...,17$ 各會有兩組 $(x,y)$；而 $x^2+y^2=18$ 只會有一組 $(x,y)$，共有33組。
(4)X(5)O
$\frac{y}{x}$ 即 $(x,y)$ 和 $O(0,0)$ 的斜率
令通過原點且與圓相切之直線 $L:y=mx$
$\because d(C,L)=r\Rightarrow \frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{2}$
$\Rightarrow m^2-4m+1=0\Rightarrow m=2\pm\sqrt{3}$
$\therefore y=(2\pm\sqrt{3})x$ 為圓之兩切線
且 $\frac{y}{x}$ 的最大值為 $2+\sqrt3$、最小值為 $2-\sqrt3$
故選(1)(5)。
</details>
> 12. 令 $f(x)=(x+1)^3-3(x+1)^2+2(x+1)+1$，試選出正確的選項。
> (1) $f(-0.999)$ 的近似值(四捨五入至整數位)為 $1$
> (2) $y=f(x)$ 圖形的對稱中心為 $(-1,1)$
> (3) 不管 $y=f(x)$ 的圖形如何平移，圖形與 $x$ 軸僅有一個交點
> (4) $f(x)=(x-1)^3+3(x-1)^2+2(x-1)+1$
> (5) $y=f(x)$ 在 $x=1$ 附近的一次近似為 $y=2x-1$
<details>
<summary>點擊看 多選12 詳解</summary>
[答案]145
[詳解]
(1)O，$f(-0.999)=(0.001)^3-3(0.001)^2+2(0.001)+1\approx 1$
(2)X，$f(x)=(x+1)^3-3(x+1)^2+2(x+1)+1=x^3-x+1\Rightarrow$ 對稱中心為 $(0,1)$
(3)X，承(2)，$\because$ 對稱中心為 $(0,1)$ 且 $ap=1\times(-1)<0 \therefore f(x)$ 的圖形如右，故有可能經過平移之後與 $x$ 軸有三個交點。
(4)O，由綜法除法可得 $f(x)=x^3-x+1=(x-1)^3+3(x-1)^2+2(x-1)+1$
$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -1 & 1\\
1 & & 1 & 1 & 0 \\
\hline
& 1 & 1 & 0 & 1\\
& & 1 & 2 & \\
\hline
& 1 & 2 & 2 & \\
& & 1 & & \\
\hline
& 1 & 3 & & \\
\end{array}$
(5)O，承(4)，$y=f(x)$ 在 $x=1$ 附近的一次近似為 $y=2(x-1)+1=2x-1$
故選(1)(4)(5)
</details>
### 三、選填題
> 13. 已知面積為 $11+6\sqrt{2}$ 的矩形，其周長的最小值為 $m$，將 $m$ 四捨五入至整數位後所得到的值為？
<details>
<summary>點擊看 選填13 詳解</summary>
[答案]$18$
[詳解]
令矩形的長、寬分別為 $x$、$y$ 單位
$\Rightarrow$ 面積為 $xy=11+6\sqrt2$；周長為 $2x+2y$
由算幾不等式可得 $\frac{2x+2y}{2}\geq\sqrt{2x\times 2y}$
$\Rightarrow 2x+2y\geq 4\sqrt{11+6\sqrt2}=4\sqrt{11+2\sqrt{18}}=4(3+\sqrt2)$
$\Rightarrow m=12+4\sqrt2\approx 18$
</details>
> 14. 若實係數三次多項式 $f(x)=x^3+ax^2+ax+a$ 除以 $x+1$ 與 $f(x)$ 除以 $x^2+x+1$ 有相同的餘式，則 $f(x)$ 除以 $x+2$ 的餘式為何？
<details>
<summary>點擊看 選填14 詳解</summary>
[答案]$-2$
[詳解]
因為餘式相同，令
$f(x)=(x+1)Q_1(x)+r$...(1)
$f(x)=(x^2+x+1)Q_2(x)+r$...(2)
由式(1)可得 r=f(-1)=a-1
由式(1)(2)合併可得 $f(x)=(x+1)(x^2+x+1)Q(x)+(a-1)$
又 $f(x)$ 為三次多項式，故 $Q(x)=1$
$\Rightarrow f(x)=(x+1)(x^2+x+1)+a-1=x^3+2x^2+2x+a$
$\Rightarrow a=2\Rightarrow f(x)=x^3+2x^2+2x+2$
由餘式定理可知 $f(x)$ 除以 $x+2$ 的餘式為 $f(-2)=-2$
</details>
> 15. 將座標平面上的直線 $ax+by=0$ 向右平移 $1$ 單位再向上平移 $2$ 單位後，與原本的直線恰好重合，則兩平行直線 $ax+by+a=0$ 與直線 $ax+by-b=0$ 間的距離為何？(化為最簡分數)
<details>
<summary>點擊看 選填15 詳解</summary>
[答案]$\frac{\sqrt{5}}{5}$
[詳解]
$ax+by=0$ 向右平移 $1$ 單位 $\Rightarrow a(x-1)+by=0$
再向上平移 $2$ 單位 $\Rightarrow a(x-1)+b(y-2)=0$
$\Rightarrow ax+by-a-2b=0$ 與原本的直線重合
$\Rightarrow -a-2b=0\Rightarrow a=-2b$
兩平行直線 $ax+by+a=0$ 與直線 $ax+by-b=0$ 間的距離為 $\frac{|a-(-b)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-b|}{\sqrt{5b^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
</details>
> 16. 設 $f(x)$ 為首項係數為 $1$ 的實係數三次多項式，若對所有實數 $t$ 皆有關係式 $f(t-1)=-f(3-t)$，且 $f(2)=f(0)$，則 $f(4)=$？
<details>
<summary>點擊看 選填16 詳解</summary>
[答案]$24$
[詳解]
$\because$ 實係數三次多項式為點對稱圖形，又由題意 $f(t-1)=-f(3-t)$，
即 $y=f(x)$ 圖形若過 $A(t-1, f(t-1))$，必也過 $B(3-t, f(3-t))=(3-t, -f(t-1))$
$\Rightarrow \overline{AB}$ 中點為 $M(1,0)$ 為一定點
$\therefore M(1,0)$ 為 $y=f(x)$ 的對稱中心。
$\Rightarrow f(x)=(x-1)^3+p(x-1)$
又由題意 $f(2)=f(0)\Rightarrow p=-1$
得 $f(x)=(x-1)^3-(x-1)\therefore f(4)=24$
</details>
> 17. 坐標平面上有一圓 $C:(x-k)^2+(y+k)^2=k^2(k\neq 0)$，且圓 $C$ 上的點 $(x,y)$ 皆滿足 $3x-4y-12\leq 0$，則滿足條件的實數 $k$ 最大為？
<details>
<summary>點擊看 選填17 詳解</summary>
[答案]$1$
[詳解]
圓 $C:(x-k)^2+(y+k)^2=k^2\Rightarrow$ 圓心 $O(k,-k)$、半徑 $r=|k|$
圓 $C$ 上的點 $(x,y)$ 皆滿足 $3x-4y-12\leq 0$
即圓恆在 $3x-4y-12=0$ 左側(包含直線上)
$\Rightarrow 3k+4k-12\leq 0$ 且 $d(O,L)\geq r$
$\Rightarrow \frac{|3k+4k-12|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\geq |k|\Rightarrow -7k+12\geq 5k$
$\Rightarrow k\leq 1\Rightarrow$ 實數 $k$ 最大為 $1$
</details>
## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
給定做標平面上點 $A(4,8)$、點 $B(10,6)$、點 $C(0,-4)$ 三點，即一動點 $D$，試回答下列問題。
> 18. 若平面上有一直線 $L$，直線 $L$ 上的動點 $P(x,y)$ 皆滿足 $\overline{PA}=\overline{PC}$，則直線 $L$ 的方程式為何？
<details>
<summary>點擊看 選填18 詳解</summary>
[答案]$x+3y-8=0$
[詳解]
<想法一>直接把點代入 $\overline{PA}=\overline{PC}$
$\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}=\sqrt{x^2+(y+4)^2}$
兩邊平方 $\Rightarrow x^2+y^2-8x-16y+80=x^2+y^2+8y+16$
$\Rightarrow x+3y-8=0$
<想法二>
$\overline{PA}=\overline{PC}$ 即 $P$ 在 $\overline{AC}$ 之中垂線上
$\Rightarrow L$ 即為 $\overline{AC}$ 之中垂線
$\overline{AC}$ 中點為 $M(2,2)$ 且 $m_{AC}=3\Rightarrow m_{\perp AC}=\frac{-1}{3}$
$\Rightarrow L: x+3y-8=0$
</details>
> 19. 若動點 $D$ 滿足 $\overline{AD}\leq \overline{CD}$，則下列何者可能為動點 $D$ 的坐標？
> (1) $(-1,3)$
> (2) $(-1,2)$
> (3) $(1,2)$
> (4) $(-10,5)$
> (5) $(-10,4)$
<details>
<summary>點擊看 選填19 詳解</summary>
[答案]1
[詳解]
承 18.題，
<想法一>直接把點代入
令動點 $D(x,y)$ 滿足 $\overline{AD}\leq \overline{CD}$
$\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}\geq\sqrt{x^2+(y+4)^2}\Rightarrow x+3y-8\geq 0$
<想法二>
$\overline{DA}\leq\overline{DC}$ 即 $D$ 在 $\overline{AC}$ 之中垂線右側右側(因為A在中垂線之右側)
$\Rightarrow x+3y-8\geq 0$
故選(1)。
</details>
> 20. 今欲以滿足 $\overline{AD}\leq\overline{BD}$ 之動點 $D$ 為圓心，分別以 $\overline{BD}$ 和 $\overline{AD}$ 為半徑作圓，使得點 $C$ 在兩圓之間(包含在圓上的情況)。試求在 $x\geq 0$ 且 $y\geq 0$ 時，動點 $D$ 所形成的區域面積。
<details>
<summary>點擊看 選填20 詳解</summary>
[答案]$\frac{25}{3}$
[詳解]
(i) 動點 $D$ 滿足 $\overline{AD}\leq\overline{BD}$
$\overline{AB}$ 中點為 $N(7,7)$ 且 $m_{AB}=\frac{-1}{3}\Rightarrow m_{\perp AB}=3$
$\Rightarrow \overline{AB}$ 的中垂線 $L_1: 3x-y=14$
$\because \overline{AD}\leq\overline{BD}$ 又點 $A$ 在 $L_1$ 左側
$\Rightarrow 3x-y\leq 14$
(ii) $C$ 在以 $D$ 為圓心、$\overline{BD}$ 為半徑的圓外(包含圓上)
即 $\overline{CD}\leq\overline{BD}$
$\overline{BC}$ 中點為 $P(5,1)$ 且 $m_{BC}=1\Rightarrow m_{\perp BC}=-1$
$\Rightarrow \overline{BC}$ 的中垂線 $L_2: x+y=6$
$\because \overline{CD}\leq\overline{BD}$ 又點 $B$ 在 $L_2$ 左側
$\Rightarrow x+y\leq 6$
(iii) $C$ 在以 $D$ 為圓心、$\overline{AD}$ 為半徑的圓外(包含圓上)
即 $\overline{CD}\geq\overline{AD}$
$\overline{AC}$ 中點為 $M(2,2)$ 且 $m_{AC}=3\Rightarrow m_{\perp AC}=\frac{-1}{3}$
$\Rightarrow \overline{AC}$ 的中垂線 $L: x+3y=8$
$\because \overline{CD}\geq\overline{AD}$ 又點 $A$ 在 $L$ 左側
$\Rightarrow x+3y\geq 8$
由(i)(ii)(iii)可得動點 $D$ 所形成的區域為
$\left\{\begin{align*}
3x-y\leq 14 \\
x+y\leq 6 \\
x+3y\geq 8 \\
x\geq 0, y\geq 0
\end{align*}\right.$
故動點 $D$ 所形成的區域面積為 $\frac{25}{3}$
</details>
---
## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
|------|------|------|------|------|------|
| (5) | (2) | (3) | (5) | (4) | (1) |
| 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
|------|------|------|------|------|------|
| (3)(4)(5) | (1)(5) | (1)(2)(3)(5) | (1)(2)(3)(4) | (1)(5) | (1)(4)(5) |
| 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $18$ | $-2$ | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | $24$ | $1$ | $x+3y-8=0$ | (1) | $\frac{25}{3}$ |
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