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title: 112 學年度學科能力測驗第三次聯合模擬考試(數B)-全國公私立高級中學-南一版E3
tags: [學測模擬試題, 詳解未完成, 112學年度, 數B]

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# 112 學年度學科能力測驗第三次聯合模擬考試(數B)-全國公私立高級中學-南一版E3
更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題](https://hackmd.io/@hsinyun-love-math/S13MC0Yq0)
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題

> 1. 摩爾定律是指：一個尺寸相同的 IC 晶片上可容納的電晶體數目，約每隔 18 個月便會增加一倍，性能也將提升一倍。按此定律，至少幾年後性能會是現在的 10 倍？
> (1) 3
> (2) 4
> (3) 5
> (4) 6
> (5) 7
<details>
    <summary>點擊看 單選1 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
</details>

> 2. 已知 $y=-1+a^{x-\frac{1}{4}}$ 的圖形如圖(1)，則 $y=\log_a(-x)-\frac{1}{4}$ 的圖形可能為下列哪個選項？
> ![image](https://hackmd.io/_uploads/SkganejXJx.png =30%x)
> ![image](https://hackmd.io/_uploads/SyebTgoQyx.png)
<details>
    <summary>點擊看 單選2 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
</details>

> 3. 已知圓 $O:x^2+y^2-2x-2my+2x^2+m-5=0$ 的圓心 $y$ 座標不大於 1，則滿足條件之整數 $m$ 的個數為何？
> (1) 2
> (2) 3
> (3) 4
> (4) 5
> (5) 無限多個
<details>
    <summary>點擊看 單選3 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
</details>

> 4. 某校的各年級學生人數都是 500 人，因高二的教學大樓偏遠，學生到福利社購買東西不便，學校想了解是否需要在高二教學大樓增設小福利社的意見，擬抽取 120 位同學做意見調查。但是因為事關高二學生權益，決定高二學生的抽取 60 人，高一和高三分別抽取 30 人。則共有幾種不同抽樣的結果？
> (1) $C^{1500}_{120}$
> (2) $C^{1000}_{60}C^{500}_{60}$
> (3) $C^{500}_{30}C^{500}_{60}C^{500}_{30}$
> (4) $C^{120}_{30}C^{120}_{60}C^{120}_{30}$
> (5) $C^{120}_{30}C^{90}_{60}C^{30}_{30}$
<details>
    <summary>點擊看 單選4 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
</details>

> 5. 邊長為 3 的正方形 $ABCD$ 上，$E$ 在 $\overline{AB}$ 上且 $\overline{AE}:\overline{EB}=2:1$，則 $\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{ED}$ 之值為何？
> (1) $-14$
> (2) $-7$
> (3) $-\frac{7}{2}$
> (4) $7$
> (5) $\pm7$
<details>
    <summary>點擊看 單選5 詳解</summary>
  
  [答案]2
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</details>

> 6. 試求不等式 $2|x+2|+|x-1|\leq 5-x$ 的解為下列哪個選項？
> (1) $-4\leq x\leq0$
> (2) $-4\leq x\leq0$ 或 $x\geq1$
> (3) $x\leq-4$ 或 $x>0$
> (4) $-2\leq x\leq4$
> (5) 無解
<details>
    <summary>點擊看 單選6 詳解</summary>
  
  [答案]1
  [詳解]
</details>

### 二、多選題
> 7. 設 $<a_n>$ 為首項為 2 且公差為 3 的等差數列，且數列 $<b_n>$ 滿足 $b_1=a_1$，且 $b_{n+1}=b_n+a_{n+1}$，試選出正確的選項。
> (1) $a_3=8$
> (2) $<a_n>$ 的首 5 項和為 40
> (3) $b_3=10$
> (4) $b_5=40$
> (5) $b_{20}=600$
<details>
    <summary>點擊看 多選7 詳解</summary>
  
  [答案]124
  [詳解]
</details>

> 8. 若在計算器中鍵入正整數 3，接著連按「$x^2$」鍵(取平方)3 次，視窗顯示的值等同下列哪些選項。
> (1) $3^6$
> (2) $3^8$
> (3) $6^3$
> (4) $12^2$
> (5) $81^2$
<details>
    <summary>點擊看 多選8 詳解</summary>
  
  [答案]25
  [詳解]
</details>

> 9. 某次數學與物理兩科考試結束後，老師發現全班的數學平均太低，決定要幫大家調整為每人的原始成績 $\times\frac{5}{4}+20$，物理成績則不調整。若原本數學($x$)與物理($y$)成績的相關係數為 $\frac{2}{3}$，原本物理成績($y$)對數學成績($x$)的迴歸直線方程式為 $y=\frac{1}{4}x+50$，則關於下列各敘述，請選出正確的選項。
> (1) 原本數學成績的標準差小於物理成績的標準差
> (2) 調整後，數學與物理成績的相關係數變為 $\frac{5}{6}$
> (3) 調整後的迴歸直線斜率變為 $\frac{5}{16}$
> (4) 若調整後的數學平均為 70，則全班原本的數學平均為 40
> (5) 若調整後的數學平均為 70，則全班的物理平均為 60
<details>
    <summary>點擊看 多選9 詳解</summary>
  
  [答案]45
  [詳解]
</details>

> 10. 如圖(2)，已知區域 I 為 $\triangle ABC$ 內部，區域 II、III 分別為對應之深色區域，若 $\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，$k$ 為實數，則下列敘述哪些是正確的？
> ![image](https://hackmd.io/_uploads/Hy_Eago7Je.png =30%x)
> (1) 若 $k=0$，則 $O$、$P$、$B$ 三點共線
> (2) 若 $k=\frac{2}{3}$，則 $A$、$P$、$B$ 三點共線
> (3) 若 $k=\frac{2}{3}$，則 $\overline{AP}:\overline{BP}=2:1$
> (4) 若 $k=\frac{3}{4}$，則 $P$ 點或在區域 II
> (5) 若 $k=1$ 且 $\triangle OAB$ 為邊長為 3 的正三角形，則 $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{13}$
<details>
    <summary>點擊看 多選10 詳解</summary>
  
  [答案]1245
  [詳解]
</details>

> 11. 關於下列各式，請選出正確的選項。
> (1) $3.2>3.1\overline{9}$
> (2) $\frac{2\sqrt2+\sqrt3}{3}>\frac{3\sqrt2+2\sqrt3}{5}$
> (3) $10^{12}>12^{10}$
> (4) $\sin2>\sin1$
> (5) $(\sqrt3-\sqrt2)\times(\log\sqrt7-\log\sqrt6)>(\sqrt7-\sqrt6)\times(\log\sqrt3-\log\sqrt2)$
<details>
    <summary>點擊看 多選11 詳解</summary>
  
  [答案]34
  [詳解]
</details>

> 12. 已知 $\triangle ABC$ 中，$D$ 為 $\overline{BC}$ 上一點，若 $\overline{AD}=\overline{AC}$，$\angle DAC=2\angle DAB$，且 $\triangle ABD$ 與 $\triangle ADC$ 面積比為 $3:4$，試選出下列正確的選項。
> (1) $\angle A=\frac{\pi}{2}$
> (2) $\tan\angle BAD=\frac{1}{\sqrt5}$
> (3) $\overline{AB}:\overline{BC}=3:7$
> (4) $\cos(\frac{\pi}{2}+\angle B)=-\frac{2}{3}$
> (5) $\triangle ABD$ 與 $\triangle ADC$ 的外接圓半徑比為 $15:8$
<details>
    <summary>點擊看 多選12 詳解</summary>
  
  [答案]24
  [詳解]
</details>

### 三、選填題
> 13. 設 $f(x)$ 為多項式函數，若 $x^2f(x)$ 除以 $(2x-1)^2$ 的餘式為 $x+5$，則 $xf(x)$ 除以 $(2x-1)$ 的餘式為何？
<details>
    <summary>點擊看 選填13 詳解</summary>
  
  [答案]$11$
  [詳解]
</details>

> 14. 袋中有 1~10 號球各一顆，若甲、乙、丙三人依序從袋中各取出一球，取後不放回，試求三人的號碼均不相鄰且甲的號碼小於乙的號碼之情形有幾種？
<details>
    <summary>點擊看 選填14 詳解</summary>
  
  [答案]$168$
  [詳解]
</details>

> 15. 某設計師想設計一「公雞溜滑梯」，如圖(3)，已知公雞的頭為與地面相切的圓形，圓 $C$ 半徑為 2，且圓心為 $O$ 點，若 $P$、$Q$ 分別為圓 $C$ 與底面上任一點，公雞嘴巴上緣 $\overline{PQ}$ 長度固定為 4，今設計師希望能設計出「$\overline{PQ}$ 相切圓 $C$ 於 $P$ 點」的滑梯，則此時 $P$ 點距離地面的高度為何？(化為最簡分數)
> ![image](https://hackmd.io/_uploads/SJtdpxiXJg.png =50%x)

<details>
    <summary>點擊看 選填15 詳解</summary>
  
  [答案]$\frac{16}{5}$
  [詳解]
</details>

> 16. 古印度有一位宰相發明一種名叫『恰圖蘭卡』的遊戲進獻給國王，類似現代的西洋棋，使用 $8\times8$ 方格的棋盤。國王很高興想要獎賞他，宰相謙遜地說，只要國王將棋盤上第一格放 1 顆米粒、第二格放 2 顆米粒、第三格放 4 顆米粒，$\cdots$，依此類推，每一格放前一格米粒數的 2 倍，如此將棋盤的每一格米粒賞賜給他就可以了。已知國王的每座穀倉儲存有 1 億石，每石有 1 億顆米粒，為了賞賜宰相，國王至少需要幾座穀倉的米？($\log1.8365\approx 0.2640$)
<details>
    <summary>點擊看 選填16 詳解</summary>
  
  [答案]$1837$
  [詳解]
</details>

> 17. 已知 $\alpha$ 為不等於 1 之正實數，若 $A(a,b-1)$ 為 $x+y=k$ 與 $y=\alpha^x$ 之交點；$B(5a-3, 2b-2)$ 為 $x+y=k$ 與 $y=\log_\alpha x$ 之交點，求數對 $(a,b)$。(化為最簡分數)
<details>
    <summary>點擊看 選填17 詳解</summary>
  
  [答案]$(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$
  [詳解]
</details>

## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> 鈍角三角形 $ABC$ 中，$\angle BAC=120^\circ$、$\overline{AB}=2$、$\overline{AC}=4$。
> 試回答下列問題：

> 18. 將 $\triangle ABC$ 放在直角坐標平面上，$A$ 在原點且 $B$ 在 $x$ 軸正向上，$C$ 點 $(x,y)$ 換算成極座標 $[r,\theta]$，關於 $C$ 點的敘述下列哪些是正確的？
> (1) $\theta$ 可能為 $240^\circ$
> (2) $C$ 點的 $r=2\sqrt7$
> (3) $C$ 點的直角坐標為 $(-2,2\sqrt3)$ 或 $(-2,-2\sqrt3)$
> (4) $C$ 點有可能在第四象限
> (5) $C$ 點的極座標可能是 $[4,-\frac{2\pi}{3}]$
<details>
    <summary>點擊看 18題 詳解</summary>
  
  [答案]135
  [詳解]
</details>

> 19. 設 $M$ 是 $\overline{BC}$ 上的中點，求中線 $\overline{AM}$ 長為何。
<details>
    <summary>點擊看 19題 詳解</summary>
  
  [答案]$\sqrt3$
  [詳解]
</details>

> 20. 承19題，試求出 $\cos\angle AMC$ 之值。
<details>
    <summary>點擊看 20題 詳解</summary>
  
  [答案]$\frac{-\sqrt{21}}{7}$
  [詳解]
</details>

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## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
|------|------|------|------|------|------|
| (3) | (3) | (3) | (3) | (2) | (1) |

| 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
|------|------|------|------|------|------|
| (1)(2)(4) | (2)(5) | (4)(5) | (1)(2)(4)(5) | (3)(4) | (2)(4) |


| 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $11$ | $168$ | $\frac{16}{5}$ | $1837$ | $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ | (1)(3)(5) | $\sqrt3$ | $\frac{-\sqrt{21}}{7}$ |
