# 112 學年度學科能力測驗模擬考試(數A)-臺北區
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題
> 1. 已知 $<a_n>$ 為公差不為0的等差數列，$<b_n>$ 為公比不為1的等比數列，且 $a_n>0$，$b_n>0$，其中 $n$ 為任意正整數，則下列各數列，有幾個是等差數列？
> $$<2a_n+3>, <4^{a_n}>, <\log a_n>, <\log b_n>, <\frac{b_{n+1}}{b_n}>$$
> (1) 1個
> (2) 2個
> (3) 3個
> (4) 4個
> (5) 5個
<details>
<summary>點擊看 單選1 詳解</summary>
[答案]3
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</details>
> 2. 考慮函數 $f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{6})-2\cos x$，其中 $\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{4\pi}{3}$，若 $f(x)$ 的最大值為 $m$，最小值為 $n$，則數對 $(m,n)$ 為下列何者？
> (1) $(2,-1)$
> (2) $(2,-\sqrt3)$
> (3) $(2,\sqrt3)$
> (4) $(\sqrt,-1)$
> (5) $(\sqrt3,-sqrt3)$
<details>
<summary>點擊看 單選2 詳解</summary>
[答案]1
[詳解]
</details>
> 3. 設 $f(x)$ 是一個二次函數，已知 $(x+4)f(x-1)=x^2+xf(x)$，則 $f(1)=$？
> (1) -1
> (2) 0
> (3) 1
> (4) 2
> (5) 3
<details>
<summary>點擊看 單選3 詳解</summary>
[答案]5
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</details>
> 4. 蒐集數據資料時，有時會出現與其他數據有較大差異的數值，統計學上稱這樣的數值為極端值，又稱為離群值(outlier)。極端值有時會嚴重影響許多統計值，使結果有所誤差。判斷極端值的方式有許多學者提出不同說法，其中有一種是：「先將數據標準化後，將數值大於3或小於-3的數據視為極端值。」
> 下表為某餐廳過去20周漢堡的銷售量(單位:個)：
<table>
<tr>
<td>週次</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
</tr>
<tr>
<td>銷售量</td>
<td>27</td>
<td>42</td>
<td>57</td>
<td>0</td>
<td>72</td>
<td>22</td>
<td>102</td>
<td>49</td>
<td>17</td>
<td>201</td>
</tr>
<tr>
<td>週次</td>
<td>11</td>
<td>12</td>
<td>13</td>
<td>14</td>
<td>15</td>
<td>16</td>
<td>17</td>
<td>18</td>
<td>19</td>
<td>20</td>
</tr>
<tr>
<td>銷售量</td>
<td>283</td>
<td>26</td>
<td>12</td>
<td>63</td>
<td>21</td>
<td>51</td>
<td>32</td>
<td>390</td>
<td>20</td>
<td>113</td>
</tr>
</table>
> 已知++蟹老闆++想透過上表數據做出漢堡銷售對策，他希望可以找到極端值並考慮刪除，請問：若使用上述的方式判斷極端值，這20週中大約有多少筆極端值？
> (已知過去20週漢堡的平均銷售量 $\mu=80$ 個，標準差 $\sigma$ 近似於100個)
> (1) 0筆
> (2) 1筆
> (3) 2筆
> (4) 3筆
> (5) 4筆
<details>
<summary>點擊看 單選4 詳解</summary>
[答案]2
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</details>
> 5. 設坐標空間中由三向量 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$ 所決定的平行六面體，其體積為10，已知 $A(0,0,0)$、$B(2,1,-2)$、$C(1,3,1)$、$D(a,b,c)$，則下列選項何者正確？
> (1)$\left|\begin{align*} 2 && 1 && -2 \\ 1 && 3 && 1 \\ a && b && c \end{align*}\right|=10$
> (2) $7a-4b+5x=-10$
> (3) 點 $(3,4,1)$ 在平面 $ABC$ 上
> (4) 此平行六面體的其中一面可能落在平面 $7x-4y+5z=\pm10$
> (5) 直線 $\frac{x}{7}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z}{5}$ 與平面 $ABC$ 平行
<details>
<summary>點擊看 單選5 詳解</summary>
[答案]4
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</details>
### 二、多選題
> 6. 已知實係數方程式 $\Gamma: x^2+y^2+4mx-2my+5m-2=0$、$L:3x-4y+10=0$，試選出正確的選項。
> (1) 不論 $m$ 為任何實數，方程式 $\Gamma$ 的圖形恆為一圓
> (2) 方程式 $\Gamma$ 的圖形之最小面積為 $\frac{3\pi}{4}$
> (3) 不論 $m$ 為任何實數，方程式 $\Gamma$ 與 $L$ 的圖形恆有兩個交點
> (4) 方程式 $\Gamma$ 與 $L$ 的圖形可能恰交於一點
> (5) 方程式 $L$ 的圖形被方程式 $\Gamma$ 的圖形所截出的線段有最大長度
<details>
<summary>點擊看 多選6 詳解</summary>
[答案]124
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</details>
> 7. 設坐標空間中有兩條相異直線 $L_1$、$L_2$，已知 $L_1:\left\{\begin{align*}
ax+by+cz=0\\
dx+ey+fz=0
\end{align*}\right.$、$L_2:\left\{\begin{align*}
ax+by+cz=m\\
dx+ey+fz=n
\end{align*}\right.$，其中 $m$、$n$ 均為非零實數，且 $a,b,c,d,e,f,g$ 均為實數，試選出正確的選項。
> (1) 原點 $(0,0,0)$ 必在 $L_1$ 上
> (2) 向量 $(a,b,c)$ 與向量 $(d,e,f)$ 可能平行
> (3) 向量 $(a,b,c)$ 與向量 $(d,e,f)$ 可能垂直
> (4) 直線 $L_1$ 與直線 $L_2$ 平行
> (5) 若已知 $L_1$ 上有一點 $A(6,1,4)$，$L_2$ 上有一點 $B(1,0,6)$，則點 $C(-2,0,8)$ 必也在 $L_2$ 上
<details>
<summary>點擊看 多選7 詳解</summary>
[答案]134
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</details>
> 8. 已知實係數三次函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中 $a>0$，且 $f(x)$ 除以 $(x-1)^3$ 的餘式為 $3x+1$。試選出正確的選項。
> (1) $y=f(x)$ 圖形的對稱中心為 $(1,1)$
> (2) $f(-3-\pi)+f(5+\pi)=8$
> (3) $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸不可能會有3個交點
> (4) $y=f(x)$ 在對稱中心附近的一次近似為 $y=3(x-1)$
> (5) $y=f(x)$ 的圖形與直線 $y=5x-1$ 恰有1個交點
<details>
<summary>點擊看 多選8 詳解</summary>
[答案]23
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</details>
> 9. 設坐標瓶面上有一個線性變換的二階方陣 $A$，且 $A^8=\left[\begin{align*}
1&&0\\
0&&1
\end{align*}\right]$。試選出可能是 $A$ 的選項，
> (1) $\left[\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt2} && -\frac{1}{\sqrt2}\\
\frac{1}{\sqrt2} && \frac{1}{\sqrt2}
\end{align*}\right]$
> (2) $\left[\begin{align*}
\cos22.5^\circ && -\sin22.5^\circ\\
\sin22.5^\circ && \cos22.5^\circ
\end{align*}\right]$
> (3) $\left[\begin{align*}
-1 && 0\\
0 && -1
\end{align*}\right]$
> (4) $\left[\begin{align*}
\cos240^\circ && -\sin240^\circ\\
\sin240^\circ && \cos240^\circ
\end{align*}\right]$
> (5) $\left[\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt2} && \frac{1}{\sqrt2}\\
\frac{1}{\sqrt2} && -\frac{1}{\sqrt2}
\end{align*}\right]$
<details>
<summary>點擊看 多選9 詳解</summary>
[答案]135
[詳解]
</details>
> 10. 已知 $\triangle ABC$ 為銳角三角形，試選出正確的選項。
> (1) $\sin A+\sin B<\sin C$
> (2) $1+\cos^2C>\cos^2A+\cos^2B$
> (3) $1+\cos2C>\cos2A+\cos2B$
> (4) $\sin A>\cos B$
> (5) $\sin A+\sin B+\sin C>\cos A+\cos B+\cos C$
<details>
<summary>點擊看 多選10 詳解</summary>
[答案]2345
[詳解]
</details>
> 11. 某AI人臉辨識系統進行人臉辨識的正確率為90%，且每次的辨識結果互不影響。現將AI人臉辨識系統安裝在置物櫃內有的開關上，置物櫃編號A、B、C共三個櫃子，分別為Selina、Hebe、Ella所有。她們三人長得特別像，經統計，若AI人臉辨識系統見到Selina時，有90%的機率會打開編號A的置物櫃，打開另兩個置物櫃的機率分別為5%；而其餘兩人利用人臉辨識系統去開置物櫃時，也有90%的機率會打開自己的置物櫃，打開另兩個置物櫃的機率亦分別為5%。今擲一顆公正的骰子從三人中選一人用AI人臉辨識系統去開置物櫃，擲出一、二、三點選Selina，擲出四、五點選Hebe，擲出六點選Ella。試選出正確的選項。
> (1) 選到Selina去開置物櫃的機率為 $\frac{1}{3}$
> (2) 編號A的置物櫃被打開的機率為 $\frac{9}{20}$
> (3) 已知選到Selina去開置物櫃，則編號A的置物櫃被打開的機率為 $\frac{9}{10}$
> (4) 已知編號A的置物櫃被打開，則是選到Selina去開置物櫃的機率為 $\frac{18}{19}$
> (5) 各置物櫃被打開的機率以編號C為最高
<details>
<summary>點擊看 多選11 詳解</summary>
[答案]34
[詳解]
</details>
### 三、選填題
> 12. 已知平面上一動點 $P(a,b)$ 位於第一象限，且滿足 $ab=\frac{25}{6}$。則點 $P(a,b)$ 到直線 $L: 2x+3y+3=0$ 的最短距離為何？(化為最簡根式)
<details>
<summary>點擊看 選填12 詳解</summary>
[答案]$\sqrt{13}$
[詳解]
</details>
> 13. 已知實數 $a>1$，正方形 $ABCD$ 的面積為16，其中 $\overline{AB}$ 與 $y$ 軸平行，且 $A$、$B$、$C$ 分別為函數 $y=a^x$，$y=2a^x$，$y=3a^x$ 圖形上的點，則 $a^2=$？(化為最簡根式)
<details>
<summary>點擊看 選填13 詳解</summary>
[答案]$\frac{\sqrt6}{2}$
[詳解]
</details>
> 14. 2023年的++杭州++亞運「男籃3對3」項目中，++中華++隊逆轉強敵++卡達++隊摘下金牌。已知訓練期間中華籃球協會選出共8位頂尖的籃球員平分為兩隊，每隊4人，來進行分組對抗賽，同時每隊須選出一人擔任隊長。則由此8位籃球員平分成兩隊，並選出隊長的方法數共有幾種？
<details>
<summary>點擊看 選填14 詳解</summary>
[答案]$560$
[詳解]
</details>
> 15. 如下圖，四邊形 $OABC$ 為一平行四邊形。已知 $\overline{OA}=5$，$\overline{OC}=4$，$\cos\angle AOC=\frac{1}{4}$，$\overline{OA}$ 邊上取一點 $D$，使得 $\overline{OD}=3$，並連接 $\overline{BD}$。若過 $A$ 點對 $\overline{BD}$ 作垂線交 $\overline{BD}$ 於 $F$ 點，並延長 $\overline{AF}$ 交 $\overline{OC}$ 於 $E$ 點，則 $\overline{OE}$ 長度為何？(化為最簡分數)
> 
<details>
<summary>點擊看 選填15 詳解</summary>
[答案]$\frac{10}{3}$
[詳解]
</details>
> 16. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{BC}=12$，$\overline{AC}=4$ 且 $\cos(A-B)=-\frac{1}{5}$，則 $\overline{AB}=$？(化為最簡根式)
<details>
<summary>點擊看 選填16 詳解</summary>
[答案]$\frac{8\sqrt{70}}{7}$
[詳解]
</details>
> 17. 設 $a$、$b$ 皆為實數，則 $a^2+b^2+(2-3a-4b)^2$ 的最小值為何？(化為最簡分數)
<details>
<summary>點擊看 選填17 詳解</summary>
[答案]$\frac{2}{13}$
[詳解]
</details>
## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> 如下圖，$\overline{OA}$，$\overline{OB}$，$\overline{OC}$ 為長方體的三邊，$D$ 圍籬 $O$ 最遠的頂點，設 $\overline{BC}=m$、$\overline{AC}=n$、$\overline{OD}=l$，試回答下列問題：
> 
> 18. 若以 $m$、$n$、$l$ 表示 $\overline{AB}$ 的長度，則 $\overline{AB}=$？
> (1) $\sqrt{\frac{m^2+n^2+l^2}{2}}$
> (2) $\sqrt{\frac{l^2-m^2-n^2}{2}}$
> (3) $\sqrt{2l^2+m^2+n^2}$
> (4) $\sqrt{2l^2-m^2-n^2}$
> (5) $\sqrt{2l^2-m^2+n^2}$
<details>
<summary>點擊看 18題 詳解</summary>
[答案]4
[詳解]
</details>
> 19. 承第18.題，若 $m=5$、$n=13$，則 $l$ 的範圍為？
<details>
<summary>點擊看 19題 詳解</summary>
[答案]$13<l<\sqrt{194}$
[詳解]
</details>
> 20. 若將此長方體放置在坐標空間中，$O$ 為原點，$D$ 在 $z$ 軸正向上，$C$ 在 $xy$ 平面上的投影點剛好或在 $x$ 軸正向上。已知 $\overline{OA}=\overline{OB}=\frac{\sqrt6}{2}$，$\overline{OC}=\sqrt6$，則 $C$ 點的坐標為何？
<details>
<summary>點擊看 20題 詳解</summary>
[答案]$(\sqrt{2}, 0, 2)$
[詳解]
</details>
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## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. |
|------|------|------|------|------|
| (3) | (1) | (5) | (2) | (4) |
| 6. | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. |
|------|------|------|------|------|------|
| (1)(2)(4) | (1)(3)(4) | (2)(3) | (1)(3)(5) | (2)(3)(4)(5) | (3)(4) |
| 12. | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $\sqrt{13}$ | $\frac{\sqrt6}{2}$ | $560$ | $\frac{10}{3}$ | $\frac{8\sqrt{70}}{7}$ | $\frac{2}{13}$ | (4) | $13<l<\sqrt{194}$ | $(\sqrt{2}, 0, 2)$ |
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