# 113 學年度北北基高級中等學校-全國高級中學學科能力測驗模擬考試(數B)-翰林版E3 更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題](https://hackmd.io/@hsinyun-love-math/S13MC0Yq0) 詳解請掃 QR code:![image](https://hackmd.io/_uploads/SylB6EK6C.png =15%x) <!-- https://wp.cjhs.kh.edu.tw/PhysicsElearning/wp-content/uploads/2024/11/113%E5%AD%B8%E5%B9%B4%E7%BF%B0%E6%9E%97E3%E5%85%A8%E5%9C%8B%E6%A8%A1%E6%93%AC%E8%80%83-%E6%95%B8%E5%AD%B8B%E9%A1%8C%E7%9B%AE%E8%A7%A3%E6%9E%90.pdf --> [TOC] ## 第壹部分、選擇（填）題 ### 一、單選題 > 1. 請問絕對值不等式 $|x-1|>x$ 的解為何？ > (1) $x<\frac{1}{2}$ > (2) $x>\frac{1}{2}$ > (3) $x>1$ > (4) $x\geq1$ > (5) $x\leq1$ <details> <summary>點擊看 單選1 詳解</summary> [答案]1 [詳解] </details> > 2. 坐標平面上一圓 $C:x^2+y^2=1$ 與一定點 $P(2,0)$，$O$ 為原點。試問圓 $C$ 上共有幾個點 $M$ 使得 $\angle MPO=20^\circ$ > (1) 0 個 > (2) 1 個 > (3) 2 個 > (4) 3 個 > (5) 4 個 <details> <summary>點擊看 單選2 詳解</summary> [答案]5 [詳解] </details> > 3. 下列五個選項中的三角形，請選出面積最大者。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rJ5c2DtVyl.png) <details> <summary>點擊看 單選3 詳解</summary> [答案]4 [詳解] </details> > 4. 一個容器內裝有細沙 30 立方公分，細沙從容器底下一個細小的孔慢慢流出，已知 $t$ 分鐘後容器內剩餘的細沙量為 $y$ 立方公分，可以用數學式 $y=30\times a^{-tx}$ 表示，其中 $a$、$b$ 為常數。若經過 8 分鐘後，發現容器內還剩餘一半的細沙，試問大約再過幾分鐘後，容器內的細沙只有開始時的五分之一？ > (1) 9.6 分鐘 > (2) 10.6 分鐘 > (3) 11.6 分鐘 > (4) 15.6 分鐘 > (5) 18.6 分鐘 <details> <summary>點擊看 單選4 詳解</summary> [答案]2 [詳解] </details> > 5. 坐標平面上 $O$ 為原點，且 $A(1,1)$、$B(-1,2)$。令 $\Omega$ 為滿足 $\overrightarrow{OP}=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}$ 的所有點 $P$ 所形成的區域，其中 $1\leq\alpha\leq3$、$1\leq\beta\leq2$，則區域 $\Omega$ 可用下列哪一組不等式表示？ > (1) $\left\{\begin{align*} > 1\leq x\leq3\\ > 1\leq y\leq 2 > \end{align*}\right.$ > (2) $\left\{\begin{align*} > 1\leq x-y\leq3\\ > 1\leq 2x+y\leq2 > \end{align*}\right.$ > (3) $\left\{\begin{align*} > -6\leq x-y\leq-3\\ > 3\leq 2x+y\leq9 > \end{align*}\right.$ > (4) $\left\{\begin{align*} > x-y\leq-3\\ > 2x+y\geq3\\ > y\leq5 > \end{align*}\right.$ > (5) $\left\{\begin{align*} > x-y\geq-6\\ > 2x+y\leq9\\ > y\geq5 > \end{align*}\right.$ <details> <summary>點擊看 單選5 詳解</summary> [答案]3 [詳解] </details> > 6. 坐標平面上有兩個動點 $A$ 與 $B$，一開始 $A$ 的位置為 $(0,0)$，$B$ 的位置為 $(6,6)$，接著 $A$ 與 $B$ 根據每次投擲硬幣的結果來移動，規則如下： > 若擲出正面，$A$ 往右移動 1 單位，$B$ 往左移動 1 單位； > 若擲出反面，$A$ 往上移動 1 單位，$B$ 往下移動 1 單位； > 今投擲一枚均勻硬幣，$A$、$B$ 兩點均按投擲此硬幣之結果移動，試求兩點在坐標平面上相遇的機率為何？ > (1) $0$ > (2) $\frac{5}{16}$ > (3) $\frac{21}{64}$ > (4) $\frac{63}{256}$ > (5) $\frac{231}{1024}$ <details> <summary>點擊看 單選6 詳解</summary> [答案]2 [詳解] </details> > 7. 將 1、2、3、4、5、6 這六個數字排成一個數字不重複的六位數 abcdef，若前三個數字形成的三位數 abc 與後三個數字形成的三位數 def，其相差不小於 200，則這樣的六位數 abcdef 共有幾個？(例如: 564321(564-321 $\geq$ 200)、156432(432-156 $\geq$ 200)均為滿足要求的六位數) > (1) 348 個 > (2) 360 個 > (3) 372 個 > (4) 384 個 > (5) 396 個 <details> <summary>點擊看 多選7 詳解</summary> [答案]4 [詳解] </details> ### 二、多選題 > 8. 設 $x$、$y$ 為正整數，若 $x$ 為八位數且最高位數字為 4；$y$ 為六位數且最高位數字為 5，請選出正確的選項。 > (1) 可以確定 $x+y$ 為八位數 > (2) 可以確定 $x+y$ 的最高位數字為 4 > (3) 可以確定 $xy$ 為十三位數 > (4) 可以確定 $xy$ 的最高位數字為 2 > (5) 可以確定 $\frac{x}{y}$ 的整數部分為三位數 <details> <summary>點擊看 多選8 詳解</summary> [答案]14 [詳解] </details> > 9. 如圖，邊長為 4 的正方形 $PQRS$ 的中心為 $O$，以 $O$ 為圓心，1 為半徑作圓 $C$ 上的任意點，$Y$ 為邊 $\overline{PQ}$、$\overline{QR}$、$\overline{RS}$ 上的任意點(包括端點)。考慮向量 $\overrightarrow{SP}$ 與 $\overrightarrow{XY}$，請選出正確的選項。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/SJFh2wtVyg.png =30%x) > (1) $|\overrightarrow{XY}|$ 的最小可能值為 $2\sqrt2-1$ > (2) $\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{XY}$ 的最大可能值為 12 > (3) $\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{XY}$ 的最小可能值為 0 > (4) 若 $\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{XY}=0$，則 $|\overrightarrow{XY}|$ 的最小可能值為 1 > (5) 若 $\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{XY}=0$，則 $|\overrightarrow{XY}|$ 的最大可能值為 $3\sqrt2$ <details> <summary>點擊看 多選9 詳解</summary> [答案]24 [詳解] </details> > 10. 已知數列 $a$、$b$、$c$、$d$ 滿足前三項 $a$、$b$、$c$ 成等差數列，後三項$b$、$c$、$d$ 成等比數列，且 $a$、$b$、$c$、$d$ 為四個相異非零實數，請選出正確的選項。 > (1) 若 $a<c$，則 $b<d$ > (2) 若 $a+b+c<0$，則 $d<0$ > (3) 若 $bcd<0$，則 $a>0$ > (4) $\log|b|$、$\log|c|$、$\log|s|$ 一定是等差數列 > (5) $\sin a$、$\sin b$、$\sin c$ 可能是等比數列 <details> <summary>點擊看 多選10 詳解</summary> [答案]245 [詳解] </details> > 11. 某次數學測驗分為選擇題與非選擇題兩部分，每部分各占 50 分，總分為 100 分。下圖為 11 位學生兩部分得分的散布圖，其中 $X$ 表示選擇題的得分，$Y$ 表示非選擇題的得分，但因有 2 位同學的兩部分得分均相同，所以散布圖僅有 10 個點(有 2 個點重疊)。已知此次測驗，11 位學生中有 5 人成績不及格(總分未達 60 分)，請選出正確敘述的選項。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/HJdR3wYEkl.png =35%x) > (1) $X$ 的中位數一定大於 $Y$ 的中位數 > (2) $X$ 的標準差一定大於 $Y$ 的標準差 > (3) $Y$ 對 $X$ 的最適直線斜率一定大於 1 > (4) 恰有 3 位學生的非選擇題得分低於 30 分 > (5) 本次測驗 11 位學生中數學總分排名第 6 名的學生，其選擇題得分高於 35 分 <details> <summary>點擊看 多選11 詳解</summary> [答案]125 [詳解] </details> > 12. 下圖的皇冠圖案，是由兩個全等三角形 $\triangle BCD$ 與 $\triangle BCE$ 及一個等腰三角形 $\triangle ABC$，將共同邊 $\overline{BC}$ 重疊而成。已知 $\overline{DB}=\overline{BC}=\overline{CE}=1$、$\overline{AB}=\overline{AC}$、$\angle BAC=36^\circ$、$\angle DBC=108^\circ$，設 $F$、$G$、$H$ 分別為 $\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$、$\overline{AC}$ 與 $\overline{BE}$、$\overline{BE}$ 與 $\overline{CD}$ 的交點，請選出正確的選項。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkf4TPt41x.png =25%x) > (1) $\overline{AG}=\overline{GB}=1$ > (2) $\overline{CG}=\sin18^\circ$ > (3) $\overline{GH}=4\sin^218^\circ$ > (4) $\overline{DF}=2\sin18^\circ$ > (5) $\overline{AC}=\frac{1}{2\sin18^\circ}$ <details> <summary>點擊看 多選12 詳解</summary> [答案]1345 [詳解] </details> ### 三、選填題 > 13. 多項式 $(x^5-3x^4-2x^3+7x^2-x-5)(x^2-4x+4)+x^3$ 除以 $x^2-4x+3$ 的餘式為何？ <details> <summary>點擊看 選填13 詳解</summary> [答案]$15x-17$ [詳解] </details> > 14. 某遊戲共有 60 位玩家參與，遊戲結束時，電腦程式會依據玩家於遊戲中的表現給予計分。已知程式設定 60 位玩家中有 10 位可獲得 $2^0$ 分，9 位可獲得 $2^1$ 分，8 位可獲得 $2^2$ 分，以此類推，$k$ 位玩家可獲得 $2^{10-k}$ 分($1\leq k\leq10$, $k$ 為正整數)，其餘未獲得分數的玩家則以 0 分計算。試問遊戲結束時，系統給予這 60 位玩家得分的第 75 百分位數為幾分？ <details> <summary>點擊看 選填14 詳解</summary> [答案]$24$ [詳解] </details> > 15. 經統計分析，某路段上的車流量 $y$(十輛/小時)與車流密度 $x$(十輛/公里)滿足關係式: $y=-10x^2+50x$，其中 $0\leq x\leq5$。已知當車流密度 $1\leq x\leq m$ 時($m\leq5$)，車流量的最大值為 625 輛/小時，最小值為 400 輛/小時，則 $m$ 值的最大可能範圍為何？(化為最簡分數) <details> <summary>點擊看 選填15 詳解</summary> [答案]$\frac{5}{2}\leq m\leq4$ [詳解] </details> > 16. 將數線上區間 $[0,1]$ 形成的線段 $\overline{AB}$ (如圖(一))圍成一個圓，使兩端點 $A$、$B$ 恰好重合 (如圖(二))，再將此圓放置於坐標平面上，使其圓心在 $y$ 軸上，點 $A$ 的坐標為 $(0,1)$ (如圖(三))。已知區間 $[0,1]$ 內一點 $M$，對應的實數為 $\frac{5}{12}$，圖(三)中連接直線 $\overleftrightarrow{AM}$ 交 $x$ 軸於 $N$ 點，試求 $N$ 點坐標為何？(化為最簡根式) > ![image](https://hackmd.io/_uploads/ByYLaPFV1x.png =90%x) <details> <summary>點擊看 選填16 詳解</summary> [答案]$(-2+\sqrt3, 0)$ [詳解] </details> > 17. 某遊樂園舉辦暑期票價優惠活動，每位入園的遊客從園方準備好的箱中(箱中有大小相同的 3 顆紅球與 3 顆白球，共 6 顆球)連續抽取 6 次，每次取一球，取後不放回，若抽取過程中紅球不連續出現，則可以半價購買門票入園；若抽取過程中連續出現 2 次紅球，則停止取球，但亦可以八折價格購買門票入園。已知遊樂園的園票價如下表，今++小明++一家四口欲購買兩張成人票、一張學生票及一張孩童票，則這四張票總價的期望值為多少錢？ > ![image](https://hackmd.io/_uploads/BkauTwFNyl.png =40%x) <details> <summary>點擊看 選填17 詳解</summary> [答案]$2960$ [詳解] </details> ## 第貳部分、混合題或非選擇題 > 18-20為題組 > 如下圖，為了保護一河流上的古橋 $\overline{OA}$，政府規劃建一座新橋 $\overline{BC}$，同時設立一個圓形保護區(圖中虛線圓內)，承包商設計規劃如下： > 1. 新橋 $\overline{BC}$ 與河岸 $\overline{AB}$ 垂直。 > 2. 圓形保護區的圓心 $M$ 在古橋 $\overline{OA}$ 上，且圓周與新橋 $\overline{BC}$ 相切。 > 經過測量，點 $A$ 位於點 $O$ 正北方 20 公尺處，點 $C$ 位於點 $O$ 正東方 40 公尺處($\overline{OC}$ 為河岸)，且 $\tan\angle BCO=\frac{4}{3}$，試回答下列問題。 > ![image](https://hackmd.io/_uploads/S11iavKV1g.png =35%x) > 18. 若 $M$ 為 $\overline{OA}$ 的終點，試問圓形保護區的半徑為何？ > (1) 20 公尺 > (2) 22 公尺 > (3) 24 公尺 > (4) 26 公尺 > (5) 28 公尺 <details> <summary>點擊看 18題 詳解</summary> [答案]4 [詳解] </details> > 19. 試求新橋 $\overline{BC}$ 的長為多少公尺？ <details> <summary>點擊看 19題 詳解</summary> [答案]$40$ 公尺 [詳解] </details> > 20. 政府單位要求承包商的設計規劃中，再加入一個條件： > 試問當 $\overline{OM}$ 長為多少公尺時，圓形保護區的面積有最大值？ <details> <summary>點擊看 20題 詳解</summary> [答案]$7.5$ 公尺 [詳解] </details> --- ## 答案 | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | |------|------|------|------|------|------|------| | (1) | (5) | (4) | (2) | (3) | (2) | (4) | | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. | |------|------|------|------|------| | (1)(4) | (2)(4) | (2)(4)(5) | (1)(2)(5) | (1)(3)(4)(5) | | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. | |------|------|------|------|------|------|------|------| | $15x-17$ | $24$ | $\frac{5}{2}\leq m\leq4$ | $(-2+\sqrt3, 0)$ | $2960$ | (4) | $40$ 公尺 | $7.5$ 公尺 |