# 112 學年度學科能力測驗第一次聯合模擬考試(數B)-臺中市立高級中等學校
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題

> 1. $\log 2024$ 最接近下列哪個數字？
> (1) 3.2
> (2) 3.3
> (3) 3.4
> (4) 3.5
> (5) 3.6
<details>
<summary>點擊看 單選1 詳解</summary>

[答案]2
[詳解]
</details>

> 2. 若 $a$ 為實數，已知方程式 $|x-a|+|x+2a|=6$ 恰有兩解，則下列何者可能為 $a$ 值？
> (1) -4
> (2) -2
> (3) 0
> (4) 2
> (5) 4
<details>
<summary>點擊看 單選2 詳解</summary>

[答案]3
[詳解]
</details>

> 3. 設 $a$、$b$ 為實數，已知座標平面上三點 $O(0,0)$、$A(8,0)$、$B(0,3)$，若 $(3\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB})\perp(a\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB})$，則 $\frac{b}{a}$ 之值為下列何者？
> (1) $\frac{8}{3}$
> (2) $\frac{16}{3}$
> (3) $\frac{32}{3}$
> (4) $\frac{3}{8}$
> (5) $\frac{3}{16}$
<details>
<summary>點擊看 單選3 詳解</summary>

[答案]3
[詳解]
</details>

> 4. 不等式 $(x+5)^2(x^2-x+1)(3x-5)\geq(x+5)^2(x^2-x+1)(3x-5)^2$ 的整數解之和為何？
> (1) -3
> (2) -1
> (3) 1
> (4) 2
> (5) 3
<details>
<summary>點擊看 單選4 詳解</summary>

[答案]1
[詳解]
</details>

> 5. 某人每餐都有吃水果的習慣，今天一早起來，發現家裡還有13顆水果，分別為4顆蘋果、3顆橘子、2顆奇異果、2顆水蜜桃、1顆芭樂、1顆蓮霧。他決定今天的早、中、晚餐各吃一顆水果，且從家裡現有的水果中挑選，若同種水果視為相同物，則他今天三餐水果有幾種分配的方式？
> (1) 32種
> (2) 82種
> (3) 120種
> (4) 182種
> (5) 242種
<details>
<summary>點擊看 單選5 詳解</summary>

[答案]4
[詳解]
</details>

> 6. 設 $a$、$b$、$c$ 為實數，若 $y=ax^2+bx+c$ 的圖形如下圖，則下列何者可能為 $y=a\sin(bx+c)$ 的圖形？
> 
> 

<details>
<summary>點擊看 單選6 詳解</summary>

[答案]5
[詳解]
</details>

### 二、多選題
> 7. 請選出正確的選項。
> (1) 若 $a$、$b$ 為實數，則 $\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$
> (2) 若 $x>0$，則 $x+\frac{9}{x}$ 的最小值為 $6$
> (3) 若 $\theta$ 為銳角，則 $\sin\theta+\frac{9}{\sin\theta}$ 的最小值為 $6$
> (4) 若 $x>0$，則 $x^2-3x+1+\frac{9}{x^2-3x+1}$ 的最小值為 $6$
> (5) 若 $x$ 為實數，且 $\frac{(x^2+x+1)+(x^2+3x+5)}{2}=\sqrt{(x^2+x+1)(x^2+3x+5)}$，則 $x=-2$
<details>
<summary>點擊看 多選7 詳解</summary>

[答案]25
[詳解]
</details>

> 8. 有一邊長為8的正方形色紙 $ABCD$，將其對摺使 $A$ 與 $B$ 重疊、$C$ 與 $D$ 重疊後攤開產生摺痕 $\overline{EF}$ (如右圖所示)。已知 $Q$ 為 $\overline{FD}$ 上一點，$P$ 為 $\overline{EF}$ 上一點，將 $\triangle ADQ$ 沿 $\overline{AQ}$ 對摺後，$\overline{AD}$ 恰好與 $\overline{AP}$ 重疊。請選出正確的選項。
> 

> (1) $\overline{EP}=4\sqrt3$
> (2) $\triangle ADP$ 的面積為 16
> (3) $\angle QAD=15^\circ$
> (4) $\overline{QD}=16-8\sqrt3$
> (5) $\triangle PQD$ 的外接圓面積大於 $16\pi$
<details>
<summary>點擊看 多選8 詳解</summary>

[答案]12345
[詳解]
</details>

> 9. 已知多項式函數 $y=f(x)$ 的廣域(大域)特徵與 $y=2x^3$ 近似，在 $x=1$ 附近的一次近似為 $y=5x-4$，且對稱中心為 $(2,k)$，請選出正確的選項。
> (1) $f(x)$ 除以 $(x-1)$ 的餘式為 $1$
> (2) $f(x)$ 除以 $(x-1)^2$ 的餘式為 $1$
> (3) $f(3)=3$
> (4) $k=-2$
> (5) 設 $a,p\in R$，若 $y=f(x)$ 的圖形經平移後可與 $y=ax^3+px$ 的圖形重疊，則 $a+p=1$
<details>
<summary>點擊看 多選9 詳解</summary>

[答案]135
[詳解]
</details>

> 10. ETF 的全名是 Exchange Traded Fund，中文名為指數股票型基金，意思是 ETF 將追蹤某個指數，並可在股票交易所買賣。而所謂的現金股利1元，代表持有1股就可以在配發現金股利時領到1元。某人觀察其高配息 ETF 每年的價格都在15~17元之間，且每年穩定配發1元現金股利1次，他預計每年年初用 120000元以每股16元的價格購入此 ETF，並於隔年年初將前一年所得知股利加上 120000元全數再以每股16元的價格購入此 ETF，以此類推，一直購入此 ETF 且絕不出售。假設他每年年初都能以每股16元完成購買，且此 ETF 每年也固定配發1元股利1次，若忽略股數、股利須為整數這些條件，則下列敘述哪些正確？

| n | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |
|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $(\frac{17}{16})^n$ | 6.55 | 6.96 | 7.39 | 7.86 | 8.35 | 8.87 | 9.42 | 10.01 | 10.64 |
> (1)第一年年初用120000元以每股16元的價格購入此ETF，可購買7500股
> (2) 第一年配發現金股利時，某人可配得股利7500元
> (3) 第二年某人前出購買 ETF 後，會有15468.75股
> (4) 某一筆120000元購買的股數放至第k年底，包含此筆現金股利購買的部分，累積會有 $7500(\frac{17}{16})^k$ 股
> (5) 若他想達到總股數1百萬股(稱為存股)的目標，則最少需要37年
<details>
<summary>點擊看 多選10 詳解</summary>

[答案]1235
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</details>

> 11. 下列兩圖分別為++臺灣++男生、女生12歲到18歲的生長(身高、體重)曲線圖：
> 
> 某校高三的10位學生之身高體重如下表：
<table>
<tr>
<th></th>
<th colspan="5">男生</th>
<th colspan="5">女生</th>
</tr>
<tr>
<th>身高(公分)</th>
<td>166</td>
<td>167</td>
<td>170</td>
<td>174</td>
<td>178</td>
<td>160</td>
<td>162</td>
<td>164</td>
<td>168</td>
<td>171</td>
</tr>
<tr>
<th>體重(公斤)</th>
<td>45</td>
<td>81</td>
<td>56</td>
<td>72</td>
<td>96</td>
<td>46</td>
<td>52</td>
<td>60</td>
<td>64</td>
<td>68</td>
</tr>
</table>
> 已知這10人年齡皆滿17歲但未滿18歲，男生、女生平均身高分別為171、165公分且男生、女生平均體重分別為70、58公斤，若 $x$ 為身高、$y$ 為體重，則根據上述資料，所得 $y$ 對 $x$ 的迴歸(最適)直線方程式為 $y=a+bx$，下列選項哪些正確？
> (1) 此10人中，體重52公斤的女生，其體重低於至少85%的++臺灣++同年齡女生人口
> (2) 此10人中，身高達同年齡該性別中位數以上(含)的人數為7人
> (3) 此10人中，身高的第70百分位數介於170公分到171公分之間
> (4) 此10人中，身高的標準差為 $3\sqrt3$ 公分
> (5) 測量體重時，體重計校準歸零有誤，重新校準後，每個人的體重都要減2公斤。若修正後數據的迴歸(最適)直線方程式為 $y=c+dx$，則 $d=b>0$ 且 $c=a-2$
<details>
<summary>點擊看 多選11 詳解</summary>

[答案]2345
[詳解]
</details>

### 三、選填題
> 12. 已知某數列的遞迴關係式為 $\left\{\begin{align*}
a_1&=1\\
a_n&=a_{n-1}+\sin(90^\circ\times n^2), n\geq2
\end{align*}\right.$，則前 100 項的和為？
<details>
<summary>點擊看 選填12 詳解</summary>

[答案]$2520$
[詳解]
</details>

> 13. 已知直線 $L:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 與圓 $C:(x-a)^2+(y-b)^2=1$，今擲一顆公正骰子一次，出現的點數為 $a$，則 $L$ 與$C$ 沒有交點的機率為？(化為最簡分數)
<details>
<summary>點擊看 選填13 詳解</summary>

[答案]$\frac{5}{6}$
[詳解]
</details>

> 14. 下圖為某大型裝置藝術的平面圖，已知圓弧 $\overset{\frown}{BC}$ 與 $\overline{AB}$ 相切於 $B$ 點且與 $\overline{AC}$ 相切於 $C$ 點，且測量出 $\overline{AB}$ 的長為6公尺，$\angle CAB=60^\circ$。若此裝置藝術平面圖的面積為 $a\sqrt{b}+c\pi$，其中 $a$、$b$、$c$ 為整數，且 $b<5$，則 $a+b+c=$？
> 

<details>
<summary>點擊看 選填14 詳解</summary>

[答案]$11$
[詳解]
</details>

> 15. 某超商舉辦「飲料抽抽樂活動」，活動辦法如下：「購買2瓶飲料，可抽獎1次。獎項為兩瓶中較低價的那瓶飲料享"打8折"、"打5折"或"1元"三種之一的優惠。」已知抽中打8折的機率為50%，抽中打5折的機率為40%，抽中1元的機率為10%，若某人買了一瓶30元和一瓶40元的飲料，則他付款金額的期望值為多少元？
<details>
<summary>點擊看 選填15 詳解</summary>

[答案]$58.1$
[詳解]
</details>

> 16. 若 $y=f(x)$ 的函數圖形與 $y=-1+\log_3x$ 的函數圖形對稱於直線 $y=x$，且 $f(50)$ 為 $m$ 位數字，則 $m=$？
<details>
<summary>點擊看 選填16 詳解</summary>

[答案]$25$
[詳解]
</details>

> 17. 如下圖，$\triangle ABC$ 中，$D$ 為 $\overline{BC}$ 上一點且 $\overline{AB}=\overline{AD}=2\sqrt5$、$\overline{BD}=4$、$\overline{CD}=1$，若 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 的外接圓半徑分別為 $R_1$、$R_2$，則 $\frac{R_2}{R_1}=$？(化為最簡根式)
> 

<details>
<summary>點擊看 選填17 詳解</summary>

[答案]$\frac{\sqrt5}{2}$
[詳解]
</details>

## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> 一走廊的地板由大小相同的長方形木板排列而成，且在左側牆面上有一長方形的們。某人在圖紙上，將其繪製成單邊透視圖，如下圖，圖中 $ABCD$ 為門，四邊形 $ABB_1A_1$ 及四邊形 $BQQ_1B_1$ 所對應的為實際地板上相同的兩塊長方形木板。單點透視圖中地板上的點 $A$、$B$、$Q$ 共線，$E$、$F$、$R$ 共線，且三直線 $\overleftrightarrow{AB}$、$\overleftrightarrow{CD}$、$\overleftrightarrow{EF}$ 交於一點 $P$(即為消失點)，若圖中 $\overline{AE}=20$、$\overline{BF}=15$ 且 $\overline{AE}//\overline{BF}//\overline{QR}$，$\overline{AD}//\overline{BC}$，試回答下列問題。
> 

> 18. $\overrightarrow{BC}=a\overrightarrow{AD}$，求實數 $a=$？(化為最簡分數)
<details>
<summary>點擊看 18題 詳解</summary>

[答案]$\frac{3}{4}$
[詳解]
</details>

> 19. 已知題圖中，$\overline{QE}$ 和 $\overline{AR}$ 的交點必在 $\overline{BF}$ 上，試求該單點透視圖中 $\frac{\overline{QB}}{\overline{BA}}$ 之值為多少？
<details>
<summary>點擊看 19題 詳解</summary>

[答案]$\frac{3}{5}$
[詳解]
</details>

> 20. 若在圖紙上建立平面座標系，$A(0,0)$、$E(20,0)$，且 $\cos\angle BAE=\frac{3}{5}$、$\cos\angle FEA=\frac{5}{13}$，試以二元一次聯立不等式表示 $\triangle APE$ 的區域(含內部與邊界)。(不等式請以 $ax+by=c\geq0$ 或 $ax+by+c\leq0$ 表示，其中 $a\geq 0$ 且 $a,b,c$ 為最簡整數比)
<details>
<summary>點擊看 20題 詳解</summary>

[答案]$\triangle APE$ 的區域面為 $\left\{\begin{align*}y\geq0\\4x-3y\geq0\\12x+5y-240\leq0\end{align*}\right.$
[詳解]
</details>

---
## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
|------|------|------|------|------|------|
| (2) | (3) | (3) | (1) | (4) | (5) |

| 7. | 8. | 9. | 10. | 11. |
|------|------|------|------|------|
| (2)(5) | (1)(2)(3)(4)(5) | (1)(3)(5) | (1)(2)(3)(5) | (2)(3)(4)(5) |

| 12. | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $2520$ | $\frac{5}{6}$ | $11$ | $58.1$ | $25$ | $\frac{\sqrt5}{2}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{3}{5}$ | $\triangle APE$ 的區域面為 $\left\{\begin{align*}y\geq0\\4x-3y\geq0\\12x+5y-240\leq0\end{align*}\right.$ |