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title: 112 學年度學科能力測驗聯合模擬考試(數A)-新竹區高級中等學校-翰林版E3
tags: [學測模擬試題, 詳解未完成, 112學年度, 數A]

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# 112 學年度學科能力測驗聯合模擬考試(數A)-新竹區高級中等學校-翰林版E3
更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題](https://hackmd.io/@hsinyun-love-math/S13MC0Yq0)
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題

> 1. 已知三次函數 $f(x)=x^3-9x^2+21x-12$ 的函數圖形有對稱中心，則下列何者為此圖形的對稱中心？
> (1) $(0,-12)$
> (2) $(3,-3)$
> (3) $(-1,-43)$
> (4) $(1,1)$
> (5) $(2,2)$
<details>
    <summary>點擊看 單選1 詳解</summary>
  
  [答案]2
  [詳解]
</details>

> 2. 若點 $(a,b)$ 在函數 $y=\log_2 x$ 的圖形上，則下列敘述何者正確？
> (1) $(a,\frac{1}{b})$ 在函數 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ 的圖形上
> (2) $(a,b-1)$ 和 $(4a,b)$ 所形成的線段與 $y=\log_2x$ 的圖形有相交
> (3) $(a,b)$ 和原點所形成的直線斜率必小於 $2$
> (4) $(a,b)$ 可能是第二象限的點
> (5) $(a,b)$ 可能同時在 $y=2^x$ 的圖形上
<details>
    <summary>點擊看 單選2 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
</details>

> 3. 已知 $a$、$b$ 為整數，若不等式 $\left\{\begin{align*}
    3x-a&\leq 0\\
    5x-b&>0
  \end{align*}\right.$ 的整數解為 2、3、4、5，則 $a+b$ <span style="border-bottom: 3px double #000;">不可能</span> 為下列何者？
> (1) 27
> (2) 26
> (3) 25
> (4) 24
> (5) 23
<details>
    <summary>點擊看 單選3 詳解</summary>
  
  [答案]1
  [詳解]
</details>

> 4. 玩家想要設定一組讓其他人進入遊戲空間的密碼，已知密碼設定須滿足兩個條件：
  (i) 密碼須為3位以上(含)的正整數。
  (ii) 數字須由左而右愈來愈小。
  試問設定密碼的選擇有幾種？
> (1) 84 種
> (2) 120 種
> (3) 967 種
> (4) 968 種
> (5) 999 種
<details>
    <summary>點擊看 單選4 詳解</summary>
  
  [答案]4
  [詳解]
</details>

> 5. 在坐標平面上一點 $C$ 與 $O(0,0)$ 及直線 $3x+4y=5$ 上任一點 $P$，恆有 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}=10$，則 $C$ 點在下列哪一條直線上？
> (1) $3x+4y=10$
> (2) $2x-5y=-10$
> (3) $x+y=14$
> (4) $2x-y=5$
> (5) $4x-3y=10$
<details>
    <summary>點擊看 單選5 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
</details>

### 二、多選題
> 6. 令 $f(x)=\sin x-\cos x$，請選出正確的選項。
> (1) $y=f(x)$ 是週期為 $2\pi$ 的函數
> (2) 若 $0\leq x\leq \frac{5\pi}{6}$，則 $f(x)$ 的最大值為 $\sqrt2$
> (3) 若 $0\leq x\leq \frac{5\pi}{6}$，則 $f(x)$ 的最小值為 $-\sqrt2$
> (4) $y=f(x)$ 的圖形可由 $y=-\sqrt2\sin x$ 經過適當 (左右、上下) 平移得到
> (5) 鉛垂線 $x=\frac{\pi}{4}$ 為 $y=f(x)$ 圖形的對稱軸
<details>
    <summary>點擊看 多選6 詳解</summary>
  
  [答案]124
  [詳解]
</details>

> 7. 已知直線 $L_1:3x-2y=1$、$L_2:2x+ky+1=0$、$L_3:y=mx+m-2$，若 $L_1$ 與 $L_2$ 平行，則下列哪些選項正確？
> (1) $k=\frac{-4}{3}$
> (2) $L_3$ 必過 $(1,-2)$
> (3) 若 $L_1$ 與 $L_3$ 互相垂直，則 $m=\frac{-2}{3}$
> (4) $L_1$ 與 $L_3$ 必不相交
> (5) $L_1$ 與 $L_2$ 的距離為 $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
<details>
    <summary>點擊看 多選7 詳解</summary>
  
  [答案]13
  [詳解]
</details>

<style>
  .center-table-container {
    display: flex;
    justify-content: center; /\* 水平居中 \*/
    width: 100%; /\* 可選，讓容器寬度占據容器的100% \*/
  }
</style>
> 8. 上一屆奧運賽場上，++臺灣++選手表現優異屢屢得牌，以++郭婞淳++舉重項目而言，也讓更多人想要接觸舉重。下表為舉重協會為素人選手舉辦的比賽成績，分為抓舉重量(X)以及挺舉重量(Y)，令X的平均為 $\mu_x$，標準差為 $\sigma_x$，Y的平均為 $\mu_y$，標準差為 $\sigma_y$，X與Y的相關係數為 $r$。已知 $\mu_x=36$，$\sigma_x=\frac{4}{\sqrt5}$，以及Y對X以最小平方法所得的迴歸直線方程式為 $y=\frac{9}{8}x+\frac{27}{2}$，請選出正確的選項。
<div class="center-table-container">
    <table>
        <tr>
        <td>抓舉X</td>
        <td>35</td>
        <td>35</td>
        <td>34</td>
        <td>37</td>
        <td>39</td>
      </tr>
      <tr>
        <td>挺舉Y</td>
        <td>53</td>
        <td>51</td>
        <td>a</td>
        <td>b</td>
        <td>59</td>
      </tr>
      </tr>
    </table>
</div>

> (1) $\mu_y=54$
> (2) $b<54$
> (3) $a>b$
> (4) $\frac{\sigma_y}{\sigma_x}<1$
> (5) $r=0.75$
<details>
    <summary>點擊看 多選8 詳解</summary>
  
  [答案]1235
  [詳解]
</details>

> 9. 若 $f(x)=ax^2+bx+c$，且 $f(1)=0$、$f(-2)=f(6)=2$，則下列哪些選項正確？
> (1) 當 $x=2$ 時，$f(x)$ 有最大值
> (2) $a-b+c>0$
> (3) 此函數圖形的對稱軸為 $x=2$
> (4) $f(x)$ 除以 $(x+2)(x-6)$ 的餘式為 $2$
> (5) $f(x)$ 除以 $(x-1)(x+2)$ 的餘式為 $\frac{2}{3}$
<details>
    <summary>點擊看 多選9 詳解</summary>
  
  [答案]234
  [詳解]
</details>

> 10. 坐標平面上有一正八邊形 $ABCDEFGH$，請選出正確的選項。
> (1) 若 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，則 $P$ 點在 $\overline{BC}$ 邊的中點
> (2) 若 $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AH}$，則 $Q$ 點在正八邊形的外部
> (3) 若 $R$ 為平面上的任一點，則 $\overrightarrow{AR}$ 可表示成 $x\overrightarrow{BC}+y\overrightarrow{HE}$，其中 $x$、$y$ 為實數
> (4) $\sin\angle EAG=\sin\angle EFG$
> (5) $\frac{\overline{ED}}{\sin\angle EAD}=\frac{\overline{GD}}{\sin\angle GFD}$
<details>
    <summary>點擊看 多選10 詳解</summary>
  
  [答案]145
  [詳解]
</details>

### 三、選填題
> 11. 有一遊戲規則為：袋中有1號、2號、3號、$\cdots\cdots$、9號球各一個，由袋中任取兩球，每球被抽出的機率相同。若兩球的號碼，在下方的看板上，為同行不相鄰或同列不相鄰，則可以得到兩個格子內金額的獎金；否則沒有獎金，例如：抽到6號、8號則可得到6+8元，抽到1號、9號得到0元，則玩此遊戲一次所得獎金的期望值為何？(化為最簡分數)
![image](https://hackmd.io/_uploads/BJRFANCTR.png =15%x)

<details>
    <summary>點擊看 選填11 詳解</summary>
  
  [答案]$\frac{29}{18}$
  [詳解]
</details>

> 12. ++曉華++在一直角坐標平面上玩射擊遊戲，若她在 $P(-2,4)$ 的位置手持雷射槍射到 $Q(0,2)$ 後，以 $y$ 軸當鏡面反射，則反射後會射中位於 $(-8, a)$ 的目標，則 $a=$？
<details>
    <summary>點擊看 選填12 詳解</summary>
  
  [答案]$-6$
  [詳解]
</details>

> 13. 某銀行的信用卡循環利息為年利率10%，並且每年以複利計息一次，若刷卡刷了一筆款項後一職沒有繳卡費，則在不計額外產生的違約金的情況下，，至少需要幾年，所欠繳的卡費會超過原本刷卡金額的兩倍。
<details>
    <summary>點擊看 選填13 詳解</summary>
  
  [答案]$8$
  [詳解]
</details>

> 14. 設一等差數列 $<a_n>$ 首項為20，公差為-3，則 $|a_1|+|a_2|+|a_3|+\cdots+|a_{19}|+|a_{20}|=$？
<details>
    <summary>點擊看 選填14 詳解</summary>
  
  [答案]$324$
  [詳解]
</details>

> 15. 若一個三角形的高分別為 $\frac{1}{4}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{8}$，則以 $\frac{1}{6}$ 為高的底邊長為何？（化為最簡根式）
<details>
    <summary>點擊看 選填15 詳解</summary>
  
  [答案]$\frac{\sqrt{15}}{15}$
  [詳解]
</details>

> 16. 已知兩平行線 $x-2y+m=0$ 與 $x-2y+n=0$ 將圓 $C:x^2+(y-1)^2=10$ 的圓周四等分，則 $m+n=$？
<details>
    <summary>點擊看 選填16 詳解</summary>
  
  [答案]$4$
  [詳解]
</details>

> 17. 紅色、藍色、黃色卡片各有6張，每組相同顏色的6張卡片分別寫有號碼1到6。將18張卡片裝進一個袋子裡，一次取出三張卡片，每張卡片被取出的機率相同，則取出的三張卡片上的號碼連續的機率為何？(化為最簡分數)
<details>
    <summary>點擊看 選填17 詳解</summary>
  
  [答案]$\frac{9}{68}$
  [詳解]
</details>

## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> 棒球比賽時，打擊者站在投手的南方16公尺處，短打擊中了投手所投出的球，此球從打擊者位置保持以每秒5公尺的速度往東$30^\circ$北直線等速滾過去，若已知投手跑步最快的速度是每秒 $x$ 公尺，試回答下列問題：

> 18. 若投手想跑最短距離去接球，則他應該往何種方向跑去？
> (1) 東 $60^\circ$ 北
> (2) 東 $30^\circ$ 北
> (3) 東 $60^\circ$ 南
> (4) 東 $30^\circ$ 南
> (5) 正東方
<details>
    <summary>點擊看 18題 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
</details>

> 19. 承18.題，此時 $x$ 至少要多少才能接住球？
<details>
    <summary>點擊看 19題 詳解</summary>
  
  [答案]$5\sqrt3$
  [詳解]
</details>

> 20. 若投手實際跑步最快的速度是每秒7公尺，則此投手最快幾秒可以接到球？
<details>
    <summary>點擊看 20題 詳解</summary>
  
  [答案]2秒
  [詳解]
</details>

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## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. |
|------|------|------|------|------|
| (2) | (3) | (1) | (4) | (3) |

| 6. | 7. | 8. | 9. | 10. |
|------|------|------|------|------|
| (1)(2)(4) | (1)(3) | (1)(2)(3)(5) | (2)(3)(4) | (1)(4)(5) |


| 11. | 12. | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $\frac{29}{18}$ | $-6$ | $8$ | $324$ | $\frac{\sqrt{15}}{15}$ | $4$ | $\frac{9}{68}$ | (3) | $5\sqrt3$ | 2秒 |

