# 113 學年度北北基高級中等學校-全國高級中學學科能力測驗模擬考試(數A)-翰林版E3
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題

> 1. 在生態學上的研究指出島嶼的物種數量與島嶼面積有明顯的關聯性，物種數 $S$(單位:種)與島嶼面積 $A$(單位:平方公里)的關係式為 $\log S=\log c+z\log A$，其中 $c$ 與 $z$ 均為常數，且 $c>0$。已知甲島嶼和乙島嶼的面積分別為 36000 平方公里與 450平方公里，若常數 $z=0.25$，則甲島嶼的物種除以乙島嶼的物種數最接近下列何者？
> (1) 0.5
> (2) 2
> (3) 3
> (4) 8
> (5) 80
<details>
<summary>點擊看 單選1 詳解</summary>

[答案]3
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</details>

> 2. 動漫製作公司為了回饋長期支持的粉絲，打算舉辦動漫回饋祭的活動，只要參加活動的粉絲即可免費獲得某角色的公仔一隻。已知該角色公仔頭上的帽子、身上穿的披風、左手的手環、右手的手套、腰上的包包共五個配件，每個配件的顏色均有 16 種不同顏色可供選擇其中一種，且顏色可重複選擇。設該角色公仔的五個配件顏色共有 $n$ 種不同的搭配情形，試問下列何者正確？
> (1) $10\leq n<10^{2}$
> (2) $10^{4}\leq n<10^{5}$
> (3) $10^{6}\leq n<10^{7}$
> (4) $10^{9}\leq n<10^{10}$
> (5) $10^{11}\leq n<10^{12}$
<details>
<summary>點擊看 單選2 詳解</summary>

[答案]3
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</details>

> 3. 設宇集為所有實數 $R$，已知 $A=\{x||3x-a|\leq8\}$、$B=\{|-3\leq x\leq8\}$，試問有多少個整數 $a$ 使得 $A\subset B$？
> (1) 17 個
> (2) 18 個
> (3) 19 個
> (4) 20 個
> (5) 21 個
<details>
<summary>點擊看 單選3 詳解</summary>

[答案]2
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</details>

> 4. 在銳角 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overline{AB}>\overline{AC}>\overline{BC}$，則 $\sin B$ 的最大範圍為下列何者？
> (1) $0<\sin B<\frac{1}{2}$
> (2) $0<\sin B<\frac{\sqrt2}{2}$
> (3) $\frac{1}{2}<\sin B<1$
> (4) $\frac{\sqrt2}{2}<\sin B<1$
> (5) $\frac{\sqrt3}{2}<\sin B<1$
<details>
<summary>點擊看 單選4 詳解</summary>

[答案]4
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</details>

> 5. 設三次函數 $f(x)=3(x-2)^3+a(x-2)+b$，已知 $y=f(x)$ 圖形的對稱中心位於第一象限，且將 $y=f(x)$ 的圖形做適當平移後會與 $x$ 軸交於相異三點。試問 $y=f(x)$ 的圖形在對稱中心附近可能會近似下列哪一直線？
> (1) $y=2x+3$
> (2) $y=x-4$
> (3) $y=-x-2$
> (4) $y=-2x+3$
> (5) $y=-3x+8$
<details>
<summary>點擊看 單選5 詳解</summary>

[答案]5
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</details>

> 6. 假設實數 $a_1$、$a_2$、$a_3$、$a_4$、$a_5$、$a_6$、$a_7$、$a_8$ 是一個公比為 $r$ 的等比數列，其中 $a_1>0$、$r<-1$。試問從這 8 個數中隨機選出 2 個數的總和為負數的機率為下列何者？
> (1) $\frac{3}{14}$
> (2) $\frac{2}{7}$
> (3) $\frac{5}{14}$
> (4) $\frac{3}{7}$
> (5) $\frac{4}{7}$
<details>
<summary>點擊看 單選6 詳解</summary>

[答案]5
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</details>

### 二、多選題
> 7. 設 $a=\log(\log2024)$、$b=\log(2024^2)$、$c=(\log2024)^2$，試選出正確的選項。
> (1) $b>6$
> (2) $b<c$
> (3) $a>b$
> (4) $\log b=2a$
> (5) $10^a=\sqrt{c}$
<details>
<summary>點擊看 多選7 詳解</summary>

[答案]125
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</details>

> 8. 設 $a$、$b$、$c$ 皆為實數，已知多項式 $f(x)=x^4+ax^3+bx+c$ 除以 $x^3+1$ 的餘式為 $3x-1$，且 $f(x)$ 除以 $x-1$ 的餘式為 $-2$，試選出正確的選項。
> (1) $f(x)$ 除以 $x+1$ 的餘式為 $2$
> (2) $f(x)$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式為 $3x-1$
> (3) $a+b+c=-3$
> (4) $a<c$
> (5) 不等式 $f(x)>3x-1$ 的解為 $x>-1$
<details>
<summary>點擊看 多選8 詳解</summary>

[答案]23
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</details>

> 9. 某公司七位員工原來月薪的平均數為 41000 元，標準差為 8000 元，而++敏恩++、++慧志++、++亞丞++為其中三位員工，其月薪分別為 53000 元、33000 元、29000 元。今年因為公司營運方式改變，老闆將七位員工的月薪以 $y=ax+b$ 的方式來調整，其中 $a>0$，且 $x$、$y$ 分別代表七位員工調整前後的月薪(單位:元)。已知調整後七位員工月薪的平均數為 42800 元，標準差減少 1600 元，試選出正確的選項。
> (1) $a>1$
> (2) ++慧志++調整後的月薪為 36400 元
> (3) ++慧志++與++亞丞++調整後的月薪差距比調整前的月薪差距大
> (4) 該公司七位員工調整後的月薪高低排名與調整前相同
> (5) 該公司七位員工調整後的月薪均比調整前的月薪多
<details>
<summary>點擊看 多選9 詳解</summary>

[答案]24
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</details>

> 10. 在坐標平面上，設 $\triangle ABC$ 的外心為 $M(a,b)$，其中兩頂點坐標為 $A(-10,-5)$、$B(-14,5)$。已知外心 $M$ 到 $x$ 軸、$y$ 軸的距離比為 $2:1$，試選出正確的選項。
> (1) $|a|=2|b|$
> (2) $M$ 點必位於直線 $2x-5y+24=0$ 上
> (3) $M$ 點必位於直線 $2x-y=0$ 上
> (4) $M$ 點不可能位於第四象限
> (5) $\overline{CM}$ 的最小值為 $\sqrt{290}$
<details>
<summary>點擊看 多選10 詳解</summary>

[答案]24
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</details>

> 11. 某校數理資優班有 5 位同學參加校內數學競賽的培訓測驗，測驗內容分為筆試一與筆試二，++亦程++因為考試當天腸胃炎，所以只能參加補考。設 $x$、$y$ 分別表示當天其餘 4 位同學筆試一與筆試二的分數，其中筆試一與筆試二的平均分數分別為 60 分與 40 分，筆試一的標準差為 $2\sqrt5$ 分，$x$ 與 $y$ 的相關係數為 $\frac{4}{5}$，$y$ 對 $x$ 的迴歸直線為 $L:\frac{2}{5}x+16$。已知++亦程++筆試一與筆試二的補考成績分別為 60 分與 40 分，假設含++亦程++等 5 位同學筆試一與筆試二的分數分別為 $x'$ 與 $y'$，其平均分數分別為 $\mu_{x'}$ 與 $\mu_{y'}$、標準差分別為 $\sigma_{x'}$ 與 $\sigma_{y'}$，試選出正確的選項。
> (1) 除++亦程++以外的 4 位同學筆試二的標準差為 $\sqrt5$ 分
> (2) $\mu_{x'}=60$(分)
> (3) $\sigma_{x'}=2\sqrt5$(分)
> (4) 含++亦程++等 5 位同學筆試一與筆試二的相關係數為 $\frac{2}{5}$
> (5) $y'$ 對 $x'$ 的迴歸直線為 $y'=\frac{2}{5}x'+16$
<details>
<summary>點擊看 多選11 詳解</summary>

[答案]12
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</details>

> 12. 設 $I$ 為 $\triangle ABC$ 的內心，已知 $\overline{AB}=3$、$\overline{BC}=7$、$\overline{AC}=8$，且直線 $AI$ 與 $\triangle ABC$ 的外接圓 $\Gamma$ 交於點 $D$，試選出正確的選項。
> (1) $\cos\angle BAC=\frac{1}{3}$
> (2) 圓 $\Gamma$ 的半徑長為 $\frac{7}{\sqrt3}$
> (3) 劣弧 $\overset{\frown}{BC}$ 的弧長為 $\frac{7\sqrt3\pi}{9}$
> (4) $\overline{BD}=\frac{7}{\sqrt3}$
> (5) $\overline{AD}=\frac{11\sqrt3}{3}$
<details>
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[答案]245
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</details>

### 三、選填題
> 13. 設遞迴數列 $<a_n>$ 滿足 $\left\{\begin{align*}
> a_1&=\alpha\\
> a_n&=a_{n-1}+k,n\geq2
> \end{align*}\right.$，其中 $alpha$ 與 $k$ 均為正數。若 $a_3+2a_5=60$，則 $\alpha\times k$ 的最大值為何？
<details>
<summary>點擊看 選填13 詳解</summary>

[答案]$30$
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</details>

> 14. 在長方形 $ABCD$ 中，$\overline{AB}=6$、$\overline{AD}=2$，且 $E$、$F$ 分別位於 $\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$ 上，其中四邊形 $BCFE$ 為正方形。若將正方形 $BCFE$ 以 $E$ 點為中心順時針旋轉 $15^\circ$ 後得到正方形 $B'C'F'E$，如下圖所示，則 $\triangle DEC'$ 的面積為何？(化為最簡根式)
<details>
<summary>點擊看 選填14 詳解</summary>

[答案]$2\sqrt2+\sqrt6$
[詳解]
</details>

> 15. 當兩個整數除以同一個正整數 $m$，若得相同餘數，則稱此二整數同餘於模 $m$。今將所有的正整數中，除以 5 餘 4 的數，由小至大排列成一個數列 $<a_n>$，即這些數均同餘於模 5。若將數列 $<a_n>$ 中可被 2 整除的數，由小至大排成一個數列 $<b_n>$，則 $b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{10}^2=$？
<details>
<summary>點擊看 選填15 詳解</summary>

[答案]$32260$
[詳解]
</details>

> 16. 連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 $a$、$b$，在坐標平面上，將直線 $L:3x+4y=0$ 向右移 $a$ 單位，再向上平移 $b$ 單位後得直線 $L'$，則直線 $L'$ 與圓 $\Gamma:x^2+y^2=25$ 交點個數的期望值為幾個？(化為最簡分數)
<details>
<summary>點擊看 選填16 詳解</summary>

[答案]$\frac{37}{36}$
[詳解]
</details>

> 17. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle A=60^\circ$，$D$ 在 $\overline{AC}$ 上，且滿足 $\overline{AD}:\overline{CD}=1:3$。若 $\triangle ABD$ 的外接圓直徑為 2，則 $\overline{AB}+\overline{AC}$ 的最大值為何？(化為最簡根式)
<details>
<summary>點擊看 選填17 詳解</summary>

[答案]$2\sqrt{21}$
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</details>

## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> ++卡帕++利用假日到附近的國家公園健走，已知入口處位於公園的坐標地圖上 $A$ 點，++卡帕++自 $A$ 點出發沿著方向 $\overrightarrow{u}=(1,3)$ 前進 $2\sqrt{10}$ 個單位長後，抵達位於 $B$ 點的觀霧瀑布步道稍作休息，再從 $B$ 點沿著方向 $\overrightarrow{v}=(2,-1)$ 前進 $k|\overrightarrow{v}|$ 個單位長後到達 $C$ 點的榛山步道，其中 $k>0$，試回答下列問題。

> 18. 試問 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 上的正射影長為下列何者？
> (1) $\frac{\sqrt{10}}{10}$
> (2) $\frac{2}{5}$
> (3) $\frac{\sqrt{5}}{5}$
> (4) $\frac{\sqrt{10}}{5}$
> (5) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
<details>
<summary>點擊看 18題 詳解</summary>

[答案]5
[詳解]
</details>

> 19. 試求 $|\overrightarrow{AC}|$ 的最小值及此時的 $k$ 值。
<details>
<summary>點擊看 19題 詳解</summary>

[答案]最小值 $\frac{14\sqrt5}{5}$，此時 $k=\frac{2}{5}$
[詳解]
</details>

> 20. 設++卡帕++自 $C$ 點朝向 $A$ 點前進的途中會經過 $D$ 點，已知 $\overline{AD}:\overline{DC}=2:1$，且 $1\leq k\leq5$，試求 $|\overrightarrow{BD}|$ 的最小值及此時的 $k$ 值。
<details>
<summary>點擊看 20題 詳解</summary>

[答案]最小值 $\frac{2\sqrt{17}}{3}$，此時 $k=1$
[詳解]
</details>

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## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
|------|------|------|------|------|------|
| (3) | (3) | (2) | (4) | (5) | (5) |

| 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
|------|------|------|------|------|------|
| (1)(2)(5) | (2)(3) | (2)(4) | (2)(4) | (1)(2)(5) | (2)(4)(5) |

| 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $30$ | $2\sqrt2+\sqrt6$ | $32260$ | $\frac{37}{36}$ | $2\sqrt{21}$ | (5) | 最小值 $\frac{14\sqrt5}{5}$，此時 $k=\frac{2}{5}$ | 最小值 $\frac{2\sqrt{17}}{3}$，此時 $k=1$ |