113 學年度北北基高級中等學校-全國高級中學學科能力測驗模擬考試-翰林版E2

# 113 學年度北北基高級中等學校-全國高級中學學科能力測驗模擬考試-翰林版E2 更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題](https://hackmd.io/@hsinyun-love-math/S13MC0Yq0) 詳解請掃 QR code:![image](https://hackmd.io/_uploads/BkrNDi56C.png =15%x)   [TOC] ## 第壹部分、選擇（填）題 ### 一、單選題 > 1. 聲音大小 $d$ (單位: 分貝) 取決於聲波通過介質時，所產生的強度 $I$ (單位: $W/m^2$)，已知當測得聲音強度為 $I$ 時，此時分貝 $d=10\log(\frac{I}{10^{-12}})$，若有一臺噴射機起飛時測得的聲音大小為 100 分貝，則該噴射機起飛時所產生的聲音強度為多少 $W/m^2$？ > (1) 0.001 > (2) 0.01 > (3) 0.1 > (4) 1 > (5) 10 <details> <summary>點擊看單選1 詳解</summary> [答案]2 [詳解] 分貝 $d=100$ 時， $100=10\log(\frac{I}{10^{-12}})\Rightarrow \log(\frac{I}{10^{-12}})=10\Rightarrow \frac{I}{10^{-12}}=10^{10}\Rightarrow I=10^{-2}=0.01$ 故選(2)， </details> > 2. 已知多項式 $f(x)=(mx^3-3x^2+nx-1)^4$ 除以 $(x-1)$ 之餘式為 $2$，其中 $m$、$n$ 皆為實數，若將此多項式展開後，其奇次項係數和為 $a$，偶次項係數和為 $b$，則 $a+b=$？ > (1) -1 > (2) -2 > (3) 1 > (4) 2 > (5) 3 <details> <summary>點擊看單選2 詳解</summary> [答案]4 [詳解] $f(x)$ 除以 $(x-1)$ 之餘式為 $2\Rightarrow$ 由「餘式定理」可得 $f(1)=2$ $a+b=$ 所有係數和 $=f(1)=2$，故選(4)。 </details> > 3. ++臺北市++某區的所有 Ubike 自行車租賃站，依據過去的統計紀錄，平均會在一天當中的14時20分至14時35分，累積租借次數與時間之相關係數會趨近於 0.99，部分紀錄如下表(24小時制)。 <table> <tbody> <tr> <th>時間(小時:分鐘)</th> <td>14:22</td> <td>14:24</td> <td>14:26</td> <td>14:28</td> <td>14:30</td> <td>14:32</td> </tr> <tr> <th>累積租借次數(次)</th> <td>2135</td> <td>2203</td> <td>2279</td> <td>2361</td> <td>2437</td> <td>2512</td> </tr> </tbody> </table> 依據上述資訊推測，試問某日在14時33分時，累積租借次數應較接近下列哪一個選項？ > (1) 2530次 > (2) 2550次 > (3) 2570次 > (4) 2590次 > (5) 2620次 <details> <summary>點擊看單選3 詳解</summary> [答案]2 [詳解] 由表可得每2分鐘累積租借次數依序相差 68、76、82、76、75，平均約 75.4 次，又因為題目說兩者相關係數趨近於 0.99 屬於高度相關，故可估計 1 分鐘大約增加 37.7 $\Rightarrow 2512+37.7 \approx2549.7\approx2550$，故選(2)。 </details> > 4. 坐標平面上有三個相異的點 $A(3,0)$、$B(-3,0)$、$C(3\cos\theta, 3\sin\theta)$，其中 $0\leq\theta\leq 2\pi$，則滿足 $\triangle ABC$ 的面積為 $7$ 的 $\theta$ 有幾個？ > (1) 0個 > (2) 1個 > (3) 2個 > (4) 3個 > (5) 4個 <details> <summary>點擊看單選4 詳解</summary> [答案]5 [詳解] $C(3\cos\theta, 3\sin\theta)\Rightarrow C$ 為圓心 $O(0,0)$、半徑 $3$ 的圓上動點； $\triangle ABC$ 的面積為 $\frac{1}{2}\overline{AB}\cdot d(C,\overleftrightarrow{AB})=7$ $\Rightarrow d(C,\overleftrightarrow{AB})=\frac{7}{3}<3$ (半徑) 所以可以在圓上找到 4 個不同的 $C$ 滿足題意，故選(5)。 </details> > 5. 已知函數 $f(x)=\sqrt{\frac{3x^2+4\sqrt3x+4}{x^2+2x+1}}$，且 $x>0$，則下列選項哪一個函數值為最大？ > (1) $f(\frac{1}{2})$ > (2) $f(\frac{2}{3})$ > (3) $f(1)$ > (4) $f(\frac{3}{2})$ > (5) $f(2)$ <details> <summary>點擊看單選5 詳解</summary> [答案]1 [詳解] $f(x)=\sqrt{\frac{3x^2+4\sqrt3x+4}{x^2+2x+1}}=\sqrt{\frac{(\sqrt3x+2)^2}{(x+1)^2}}=|\frac{\sqrt3x+2}{x+1}|$，將各選項帶入 $f(x)$ 可知 $f(\frac{1}{2})$ 最大，故選(1)。 </details> > 6. 若將一顆公正的六面骰子投擲5回，假設 $a_i$ 為第 $i$ 回出現的點數，其中 $i=1,2,3,4,5$，試問 $a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2$ 為 $3$ 的倍數之機率為何？ > (1) $0$ > (2) $\frac{1}{3}$ > (3) $\frac{5}{9}$ > (4) $\frac{10}{27}$ > (5) $\frac{25}{81}$ <details> <summary>點擊看單選6 詳解</summary> [答案]2 [詳解] 骰子點數的平方分別為 1,4,9,16,25,36 其中[3k]型(被3整除): 9, 36 [3k+1]型(除以3餘1): 1,4,16,25 討論要使得五個回合的點數平方和為 3 的倍數: (i) 5個[3k]型 $\Rightarrow 2^5=32$ 種 (ii) 2個[3k]型+3個[3k+1]型 $\Rightarrow C_2^5\times2^2\times 4^3=2560$ 種所以機率為 $\frac{32+2560}{6^5}=\frac{1}{3}$，故選(2)。 </details> ### 二、多選題 > 7. 設 $m$ 為實數，坐標平面上三條相異的直線 $L_1: 2x+y=5$、$L_2:x-y=-2$、$L_3:2x+my=8$，將平面分割成6個區域，則 $m$ 值可能為下列何者？ > (1) -2 > (2) -1 > (3) 0 > (4) 1 > (5) 2 <details> <summary>點擊看多選7 詳解</summary> [答案]145 [詳解] 討論三直線將平面分割成6個區域的情況： (i) 三線共點(三直線交於一點) $L_1$、$L_2$ 的交點為 $(1,3)$，將其帶入 $L_3$ 得 $m=2$ (ii) 兩直線平行，而另一直線分別與此兩直線各交於一點若 $L_1//L_3$，則 $m=1$ 若 $L_2//L_3$，則 $m=-2$ 故選(1)(4)(5)。 </details> > 8. 已知在 $\triangle ABC$ 中，若 $\triangle ABC$ 之內切圓分別切三邊 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 於 $A_1$、$B_1$、$C_1$ 三點，其中 $\angle B_1A_1C_1=\theta_1$，如圖(一)，而圖(一)中 $\triangle A_1B_1C_1$ 之內切圓分別切三邊 $\overline{B_1C_1}$、$\overline{C_1A_1}$、$\overline{A_1B_1}$ 於 $A_2$、$B_2$、$C_2$ 三點，其中 $\angle B_2A_2C_2=\theta_2$，如圖(二)，依此規則連續下去，可得一數列 $<\theta_n>$，其中 $n$ 為正整數，則下列選項哪些正確？![image](https://hackmd.io/_uploads/rJkZ1UtpR.png =70%x) > (1) $\theta_1+2\theta_2=180^\circ$ > (2) $<\theta_n>$ 為一個等差數列 > (3) 數列 $<\theta_n>$ 的遞迴式為 $\left\{\begin{align*} \theta_1&=\theta_1\\ \theta_n&= 90^\circ-\frac{\theta_{n-1}}{2} \end{align*}\right.$，其中 $n\geq2$ > (4) 對於所有的正整數 $n$，$\sin\theta_{n+1}=\cos\frac{\theta_n}{2}$ 恆成立 > (5) 當 $\theta_1=60^\circ$，則 $<\theta_n>$ 既為等差數列也為等比數列 <details> <summary>點擊看多選8 詳解</summary> [答案]1345 [詳解] (1)O(3)O 由圖(二)可得 $\theta_1=\angle A_1=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{B_2A_2C_2} - \overset{\frown}{B_2C_2})$ 又$\overset{\frown}{B_2A_2C_2} + \overset{\frown}{B_2C_2}=360^\circ\Rightarrow\left\{\begin{align*} \overset{\frown}{B_2A_2C_2}&=180^\circ+\theta_1\\ \overset{\frown}{B_2C_2}&=180^\circ-\theta_1 \end{align*}\right.$ $\Rightarrow \theta_2=\frac{1}{2}\overset{\frown}{B_2C_2}=90-\frac{\theta_1}{2}$ $\Rightarrow$ 數列 $<\theta_n>$ 的遞迴式為 $\left\{\begin{align*} \theta_1&=\theta_1\\ \theta_n&= 90^\circ-\frac{\theta_{n-1}}{2} \end{align*}\right.$，其中 $n\geq2$ (2)X，不能確定 (4)O，$\theta_{n+1}=90^\circ-\frac{\theta_n}{2}\Rightarrow \sin\theta_{n+1}=\sin(90^\circ-\frac{\theta_n}{2})=\cos\frac{\theta_n}{2}$ (5)O，若 $\theta_1=60^\circ$，則對於所有正整數 $n$，$\theta_n=60^\circ$ $\Rightarrow <\theta_n>$ 既為等差數列也為等比數列故選(1)(3)(4)(5)。 </details> > 9. 某校調查了甲、乙兩班之數學(單位:分)與英文(單位:級分)的段考成績，計算甲、乙兩班數學成績的算術平均數為 $\mu_甲=54$ 分、$\mu_乙=65$ 分，標準差分別為 $\sigma_甲=12$ 分、$\sigma_乙=15$ 分。令甲、乙兩班英文成績的算術平均數分別為 $\mu_甲'$、$\mu_乙'$。若甲、乙兩班其英文成績(y)對數學成績(x)的最適直線(迴歸直線) 分別為 $L_甲:y=0.05x+4$、$L_乙:y=0.08x-1$，相關係數分別為 $0.6$、$0.3$。今甲班中有一位++大雄++同學，本次段考數學成績為 $52$ 分、英文成績為 $6$ 級分，試選出正確的選項。 > (1) 點 $(\mu_甲, \mu_甲')$ 必在最適直線(迴歸直線) $L_甲$ 上 > (2) $\mu_甲'<\mu_乙'$ > (3) 甲班英文成績的標準差小於乙班英文的標準差 > (4) 就英文成績而言，甲班的全距小於乙班的全距 > (5) ++大雄++同學在本次段考中，其英文的表現比數學的表現好 <details> <summary>點擊看多選9 詳解</summary> [答案]13 [詳解] || 數學 | 英文 | 相關係數 | 迴歸直線 | |:------:|:-----:|:------:|:------:|:------:| | 甲 | $\mu_甲=54$、$\sigma_甲=12$ | $\mu_甲'$、$\sigma_甲'$ | r_甲=0.6 | $L_甲:y=0.05x+4$ | | 乙 | $\mu_乙=65$、$\sigma_乙=15$ | $\mu_乙'$、$\sigma_乙'$ | r_甲=0.3 | $L_乙:y=0.08x-1$ | (1)O(2)X，迴歸直線必過平均數 $(\mu_甲, \mu_甲')$ $\Rightarrow (54, \mu_甲')$ 帶入 $L_甲$ 得 $\mu_甲'=6.7$ 同理，$(\mu_乙, \mu_乙')=(65, \mu_乙')$ 帶入 $L_乙$ 得 $\mu_乙'=4.2\Rightarrow \mu_甲'>\mu_乙'$ (3)O，$L_甲$ 的迴歸直線斜率 $0.05=r_甲\times\frac{\sigma_甲'}{\sigma_甲}\Rightarrow \sigma_甲'=1$ $L_乙$ 的迴歸直線斜率 $0.08=r_乙\times\frac{\sigma_乙'}{\sigma_乙}\Rightarrow \sigma_乙'=4$ 所以，甲班英文成績的標準差小於乙班英文的標準差 (4)X，不能確定 (5)X，數學的標準化分數為 $Z_甲=\frac{52-\mu_甲}{\sigma_甲}=\frac{-1}{6}$ 英文的標準化分數為 $Z_甲'=\frac{6-\mu_甲'}{\sigma_甲'}=\frac{-7}{40}<\frac{-1}{6}=Z_甲$ 所以數學表現比英文好故選(1)(3)。 </details> > 10. 坐標平面上有一以原點 $O(0,0)$ 為圓心且半徑為 $r$ 的圓 $C$，交直線 $L:x+y-1=$ 於 $P$、$Q$ 兩點。已知圓 $C$ 上有一點 $R$ 使得 $\triangle PQR$ 為正三角形。請選出正確的選項。 > (1) $R$ 點會在 $\overline{PQ}$ 的中垂線上 > (2) 若 $R$ 點的極坐標為 $[r,\theta]$ 時，則 $\theta=225^\circ$ > (3) 圓 $C$ 的方程式為 $x^2+y^2=4$ > (4) 直線 $x+y-2=0$ 為圓 $C$ 在 $R$ 點的切線 > (5) 圓 $C$ 上恰有三個點與直線 $L$ 的距離等於 $\frac{\sqrt2}{2}$ <details> <summary>點擊看多選10 詳解</summary> [答案]125 [詳解] (1)O(2)O，由圖可知 (3)X，$\because d(O,L)=\frac{\sqrt2}{2}$ 又 $O$ 為正 $\triangle PQR$ 的外心，亦為重心 $\therefore r=2\cdot d(O,L)=\sqrt2\Rightarrow$ 圓 $C$ 的方程式為 $x^2+y^2=2$ (4)X，直線 $M:x+y-2=0$ 與 $L$ 的距離為 $\frac{\sqrt2}{2}\neq$ 正 $\triangle PQR$ 的高 $\frac{3\sqrt2}{2}$ (5)O，承(3)可知故選(1)(2)(5)。 </details> > 11. 某大學部有一間實驗室，學生為了要研究掃地機器人路徑規劃之成效，將掃地機器人設定為每分鐘直線行走1公尺，接著將地面坐標化(1公尺為1單位)，並將其放置在坐標平面上，由原點 $O(0,0)$ 出發。首先沿著 $x$ 軸正向(即正東)的方向行走1分鐘到達 $(1,0)$，然後立即轉向 $y$ 軸正向(即正北)的方向，再行走2分鐘到達點 $(1,2)$，然後，再轉向正西方向行走4分鐘到達點 $(-3,2)$，再轉向正南方向行走8分鐘到達點 $(-3,-6)$，而後依照正東→正北→正西→正南的方向直線移動，且每次行走的時間是前一次的2倍，等速且不考慮轉彎時間，依此規則一直行走下去，如右圖所示。假設早上8點開始實驗，由原點 $O(0,0)$ 出發，關於下列選項中有哪些是正確的？ ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1wy_ItpC.png =40%x) > (1) 早上8點5分時，掃地機器人的位置在點 $(-1,2)$ > (2) 早上8點31分時，掃地機器人共行走了31公尺 > (3) 早上9點5分時，掃地機器人的位置在 $x$ 軸的下方 > (4) 已知掃地機器人共行走了511公尺，則它共轉向6次 > (5) 承(4)，此時它的位置在點 $(205,102)$ <details> <summary>點擊看多選11 詳解</summary> [答案]12 [詳解] (1)O (2)O，每分鐘直線行走1公尺，所以31分鐘走了31公尺 (3)X，9點5分時，掃地機器人已走了65分鐘，假設轉彎了 n 次， $1+2+2^2+...+2^{n}\geq 65\Rightarrow 2^{n+1}-1\geq65\Rightarrow n\geq6$ 掃地機器人經過65分鐘時，轉彎了六次，此時項正西方行走，故其位置在 $x$ 軸上方 (4)X，假設轉彎了 n 次， $1+2+2^2+...+2^{n}\geq 511\Rightarrow 2^{n+1}-1\geq511\Rightarrow n\geq8$，共轉向8次 (5)X，此時位置 $(1-2^2+2^4-2^6+2^8, 2-2^3+2^5+2^7)=(205, 154)$ 故選(1)(2)。 </details> > 12. 已知有一實係數多項式 $f(x)=x^3+ax^2+bx$，請依據各條件選出正確的選項。 > (1) 若 $b\neq0$，則 $y=f(x)$ 的圖形對稱於原點 $(0,0)$ > (2) 若 $a>4$ 且 $b=4$，則 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸有三個交點 > (3) 若 $a<4$ 且 $b=4$，則 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸只有一個交點 > (4) 若考慮多項式 $g(x)=f(x)-15$ 且其圖形對稱於點 $(3,0)$，則 $y=g(x)$ 在 $x=3$ 附近的一次近似為 $y=-4x+12$ > (5) 承(4)的條件，則滿足 $g(x)\geq0$ 之最小的整數解為 $3$ <details> <summary>點擊看多選12 詳解</summary> [答案]24 [詳解] (1)X，$y=f(x)=x^3+ax^2$ 的對稱中心不是原點 (2)O，若 $b=4$，則 $y=f(x)=x^3+ax^2+4x=x(x^2+ax+4)$ 又 $a>4$ 使得判別式 $a^2-4\cdot 1\cdot 4>0$ $\Rightarrow y=f(x)$ 與 $x$ 軸有三個交點 (3)X，若 $b=4$，則 $y=f(x)=x^3+ax^2+4x=x(x^2+ax+4)$ 又 $a<4$ 時，判別式 $a^2-4\cdot 1\cdot 4$ 不能確定正負 (4)O，$g(x)=f(x)-15=x^3+ax^2+bx-15$ 又對稱中心為 $(3,0)$ $\Rightarrow g(x)=(x-3)^3+p(x-3)=x^3-9x^2+(27+p)x-(27+3p)$ 比較常數項可得 $-15=-27-3p\Rightarrow p=-4$ $\Rightarrow g(x)=(x-3)^3-4(x-3)$ 所以 $y=g(x)$ 在 $x=3$ 附近的一次近似為 $y=-4x+12$ (5)X，$g(x)=(x-3)^3-4(x-3)$ $\Rightarrow(x-3)(x^2-6x+5)=(x-3)(x-1)(x-5)\geq0$ $\Rightarrow 1\leq x\leq3$ 或 $x\geq 5$，最小整數解為 $1$ 故選(2)(4)。 </details> ### 三、選填題 > 13. 若實數 $a$ 滿足 $1<|a-1|\leq2$ 且 $|x-a|=3|x-7|$，則實數 $x$ 的最大值為何？ <details> <summary>點擊看選填13 詳解</summary> [答案]$11$ [詳解] $1<|a-1|\leq2\Rightarrow -1\leq a\leq 0$ 或 $2\leq a\leq 3$ 因為要求 $x$ 的最大值，所以我們討論 $x\geq 7$的情況，故 $|x-a|=3|x-7|\Rightarrow x-a=3(x-7)$ $\Rightarrow x=\frac{21-a}{2}$ 最大值為 $\frac{21-(-1)}{2}=11$。 </details> > 14. 這次過年的時候，++小睿++的爸爸準備了「懷舊童玩戳洞樂」遊戲，讓全家都能一起同樂，此遊戲為ㄧ5x5格大小的裝置，共計25個洞可戳，一次只能戳一個洞，且每個洞被戳中的機會相同，其中只有一個洞是獎金 1000元，有八個洞是獎金100元，其餘都是"銘謝惠顧"，沒有獎金。目前已經有五個洞被戳了，++小睿++的爸爸只保證最大獎1000員還沒有被戳中。試問++小睿++玩這一次遊戲所獲得獎金期望值之最小值為多少元？![image](https://hackmd.io/_uploads/HkrR2qca0.png =25%x) <details> <summary>點擊看選填14 詳解</summary> [答案]$65$ [詳解] 當被戳的五個洞都是100元的情況下，期望值會最小， $\Rightarrow E(x)=1000\times\frac{1}{20}+100\times\frac{3}{20}=65$ </details> > 15. 若有一個三角形 $ABC$，其三邊長 $\overline{AB}=3$、$\overline{AC}=4$、$\overline{BC}=\sqrt{13}$，設此 $\triangle ABC$ 的內部有一點 $P$ 與三頂點等距，則此距離為何？(化為最簡分數、最簡根式) <details> <summary>點擊看選填15 詳解</summary> [答案]$\frac{\sqrt{39}}{3}$ [詳解] $\cos A=\frac{3^2+4^2-\sqrt{13}^2}{2\cdot3\cdot4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt3}{2}$ $\triangle ABC$ 面積 $=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\frac{\sqrt3}{2}=\frac{abc}{4R}=\frac{3\cdot4\cdot\sqrt{13}}{4R}$ 所求即為 $\triangle ABC$ 的外接圓半徑 $R=\frac{\sqrt{39}}{3}$ </details> > 16. 如圖為++阿綺++家中大門的密碼鎖，其按鍵的第一行數字為1、4、7，第二行為2、5、8、0，第三行為3、6、9，設置密碼方式為：「由0~9的數字中，任選6個並依序鍵入」。今++阿綺++為了方便記憶自己的密碼，以她的生日民國96年10月27日的六個數字9、6、1、0、2、7重新編排成密碼，但為了要使密碼的保密度提高，規定位於按鍵同一行的數字不可接連出現，例如：「107629」為一組可用的密碼，但「172609」則不符合規定，試問++阿綺++共有幾種密碼設置法？ > ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkxoTpc960.png =18%x) <details> <summary>點擊看選填16 詳解</summary> [答案]$240$ [詳解] (1、7不相鄰)且(2、0不相鄰)且(6、3不相鄰) =全-(1、7相鄰)或(2、0相鄰)或(6、3相鄰) =全-(恰一組數字相鄰)+(恰兩組數字相鄰)-(恰三組數字相鄰) =$6!-C^3_1\cdot5!\cdot2!+C^3_2\cdot4!\cdot2!\cdot2!-C^3_3\cdot3!\cdot2!\cdot2!\cdot2!$ =$240$ </details> > 17. 設 $f(x)$ 與 $g(x)$ 皆為實係數二次多項式且首相係數都是1，已知 $(f(x))^2$ 除以 $g(x)$ 的餘式為 $2x+1$，而 $(g(x))^2$ 除以 $f(x)$ 的餘式為 $x+1$，則 $f(x)+g(x)=$？ <details> <summary>點擊看選填17 詳解</summary> [答案]$2x^2-3x-2$ [詳解] </details> ## 第貳部分、混合題或非選擇題 > 18-20為題組設實係數二次方程式 $x^2-ax+b=0$ 有兩實數解 $\alpha$ 與 $\beta$，試回答下列問題。 > 18. 若 $\alpha$ 與 $\beta$ 分別滿足 $-1\leq \alpha\leq0$、$1\leq\beta\leq2$ ，則下列選項何者正確？ > (1) $(\frac{a}{2})^2=b$ > (2) $(\frac{a}{2})^2<b$ > (3) $(\frac{a}{2})^2>b$ > (4) $(\frac{a}{2})^2\leq b$ > (5) $(\frac{a}{2})^2\geq b$ <details> <summary>點擊看 18題詳解</summary> [答案]3 [詳解] $\alpha, \beta$ 為方程式之相異兩根判別式 $(-a)^2-4b>0\Rightarrow (\frac{a}{2})^2>b$ 故選(3)。 </details> > 19. 承第18題，則 $a$ 與 $b$ 滿足下列哪一個選項的二元一次不等式？ > (1) $a+b\geq -1$ > (2) $b\leq0$ > (3) $a-b\geq1$ > (4) $4+2a+b\leq0$ > (5) $4-2a+b\geq0$ <details> <summary>點擊看 19題詳解</summary> [答案]1235 [詳解] 由題意與18.題意可知 $\alpha<\beta$ 且 $y=x^2-ax+b$ 開口向上又 $-1\leq \alpha\leq0\Rightarrow\left\{\begin{align*} f(-1)&=1+a+b\geq0\\ f(0)&=b\leq0 \end{align*}\right.$ 且 $1\leq\beta\leq2\Rightarrow\left\{\begin{align*} f(1)&=1-a+b\leq0\\ f(2)&=4-2a+b\geq0 \end{align*}\right.$ 故選(1)(2)(3)(5)。 </details> > 20. 承第18、19題，若 $a^2+b^2$ 的最小值為 $k$，則序組 $(a,b,k)=$？ <details> <summary>點擊看 20題詳解</summary> [答案]$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ [詳解] 承19.題 $\left\{\begin{align*} a+b&\geq-1\\ b&\leq0\\ a-b&\geq1\\ 2a-b&\leq4 \end{align*}\right.$ $a^2+b^2$ 可視為 $(a,b)$ 到 $O(0,0)$ 之距離平方，故最小值發生在 $O$ 在 $L:a-b=1$ 的投影點 $P(a,b)$。先求出過 $O$ 點且垂直 $L$ 的直線為 $L_1:a+b=0$， $L$、$L_1$ 的交點即為 $P(a,b)=(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$，且最小值為 $\frac{1}{2}$，故 $(a,b,k)=(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ </details> --- ## 答案 | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | |------|------|------|------|------|------| | (2) | (4) | (2) | (5) | (1) | (2) | | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. | |------|------|------|------|------|------| | (1)(4)(5) | (1)(3)(4)(5) | (1)(3) | (1)(2)(5) | (1)(2) | (2)(4) | | 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. | |------|------|------|------|------|------|------|------| | $11$ | $65$ | $\frac{\sqrt{39}}{3}$ | $240$ | $2x^2-3x-2$ | (3) | (1)(2)(3)(5) | $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ |