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title: 112 學年度學科能力測驗第一次聯合模擬考試(數A)-臺中市立高級中等學校
tags: [學測模擬試題, 詳解未完成, 112學年度, 數A]

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# 112 學年度學科能力測驗第一次聯合模擬考試(數A)-臺中市立高級中等學校
更多模擬考試題: [高中學測/分科模擬試題](https://hackmd.io/@hsinyun-love-math/S13MC0Yq0)
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[TOC]
## 第壹部分、選擇（填）題
### 一、單選題

> 1. 某班35位學生期中考數學成績的平均數為60分，標準差為12.3分，若將班上的最高分(95分)與最低分(30分)兩筆資料刪除，另外計算其餘33人的成績，得到的新平均數為 $\mu$(分)，新標準差為 $\sigma$(分)。試選出下列正確的選項。
> (1) $\mu>60$ 且 $\sigma\leq12.3$
> (2) $\mu<60$ 且 $\sigma\leq12.3$
> (3) $\mu>60$ 且 $\sigma>12.3$
> (4) $\mu<60$ 且 $\sigma>12.3$
> (5) $\mu60$ 但無法確定 $\sigma$ 與 $12.3$ 的大小關係
<details>
    <summary>點擊看 單選1 詳解</summary>
  
  [答案]2
  [詳解]
</details>

> 2. 設 $a$、$b$ 為非零的兩相異實數，滿足 $\frac{b}{a}+\frac{a+10b}{b+10a}=10^{\log2}$，則將 $\frac{b}{a}$ 化為最簡分數為下列何者？
> (1) $\frac{5}{5}$
> (2) $\frac{4}{4}$
> (3) $1$
> (4) $2$
> (5) $\frac{1}{2}$
<details>
    <summary>點擊看 單選2 詳解</summary>
  
  [答案]1
  [詳解]
</details>

> 3. 圓內接四邊形 $ABCD$ 中，滿足 $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$，點 $E$ 為對角線 $\overline{AC}$、$\overline{BD}$ 之交點，求 $\triangle ABC$ 與 $\triangle ACD$ 之面積比？
> (1) 1:4
> (2) 4:1
> (3) 3:2
> (4) 2:3
> (5) 5:2
<details>
    <summary>點擊看 單選3 詳解</summary>
  
  [答案]4
  [詳解]
</details>

> 4. 坐標平面上有一光源在 $P(2,k)$ 處，另有一圓 $C:(x-1)^2+(y-2)^2=1$，若該光源將圓 $C$ 投射在 $x$ 軸的影長為 $\overline{AB}$，且 $\overline{AB}$ 的中點為原點，則下列選項何者最接近 $k$ 值？
> (1) 4.5
> (2) 4.6
> (3) 4.7
> (4) 4.8
> (5) 4.9
<details>
    <summary>點擊看 單選4 詳解</summary>
  
  [答案]3
  [詳解]
</details>

> 5. 某商品價格的每日漲跌幅呈現「一日上漲 $10\%$、再一日下跌 $10\%$」每兩日一循環的穩定情形。若該商品一開始的定價為 10000 元，則幾日後，價格會開始低於原來價格的一半？
> (1) 68日
> (2) 69日
> (3) 137日
> (4) 138日
> (5) 價格維持在 10000 元
<details>
    <summary>點擊看 單選5 詳解</summary>
  
  [答案]4
  [詳解]
</details>

> 6. 某三角形的邊長最大值與最小值相差 4，且三邊長形成等差數列，若其最大內角恰為最小內角的 2 倍，則此三角形面積為下列何者？
> (1) $\frac{15}{2}$
> (2) $15$
> (3) $30$
> (4) $\frac{15\sqrt7}{2}$
> (5) $15\sqrt7$
<details>
    <summary>點擊看 單選6 詳解</summary>
  
  [答案]5
  [詳解]
</details>

### 二、多選題
> 7. 設 $x$、$y$ 均為實數，且滿足 $|x-1|\leq2$ 且 $|x+y|\leq1$，請選出正確的選項。
> (1) $-1\leq x\leq 3$
> (2) $-4\leq y\leq 2$
> (3) $5\leq x^2+y+2\leq 25$
> (4) $x-2y\geq -6$
> (5) 滿足題意的 $(x,y)$ 在坐標平面上形成的圖形面積為 $24$
<details>
    <summary>點擊看 多選7 詳解</summary>
  
  [答案]124
  [詳解]
</details>

> 8. 函數 $y=f(x)=a^x$ 的部分圖形與 $x$ 軸的關係配置圖如下圖，其中 $A$、$B$、$C$ 分別為 $x$ 軸上由左至右的相異三點，而 $P$、$Q$、$R$ 三點 $y$ 坐標均為正數並都在 $y=f(x)$ 圖形上，且 $\overline{AP}$、$\overline{BQ}$、$\overline{CR}$ 均垂直 $x$ 軸。請選出正確的選項。
> ![image](https://hackmd.io/_uploads/rJlm3A1C0.png =30%x)

> (1) 直線 $y=10^{-2023}$ 與 $y=f(x)$ 的圖形必定有交點
> (2) 設直線 $PQ$ 斜率為 $m_1$、直線 $QR$ 斜率為 $m_2$、直線 $PR$ 斜率為 $m_3$，則 $m_1<m_2<m_3$
> (3) 若 $\overline{AB}=\overline{BC}$，則 $\overline{AP}+\overline{CR}=2\overline{BQ}$
> (4) 若 $\overline{AB}=\overline{BC}$ 且 $B$ 為坐標原點，則 $\overline{AP}\times\overline{CR}=1$
> (5) 先將 $y=a^x$ 的圖形對稱於 $y=x$，再以 $x$ 軸為中心(基準線)，鉛直伸縮為 $\log a$ 倍，可得到函數 $y=\log x$ 的圖形
<details>
    <summary>點擊看 多選8 詳解</summary>
  
  [答案]145
  [詳解]
</details>

> 9. 甲、乙、丙、丁四人玩猜拳(剪刀、石頭、布)的遊戲，同時出拳一次，請選出正確的選項。
> (1) 尚未出拳前，甲、乙、丙人都決定好一定會出剪刀，則此三人能贏拳的機率為 $\frac{1}{2}$
> (2) 尚未出拳前，甲、乙兩人都決定好一定會出剪刀，則恰只有甲、乙贏拳的機率為 $\frac{1}{9}$
> (3) 尚未出拳前，甲、乙兩人都決定好一定會出剪刀，則甲、乙能贏拳的機率為 $\frac{1}{3}$
> (4) 尚未出拳前，甲、乙兩人各自決定好分別一定會出剪刀跟石頭，則猜拳結果能分出勝負的機率大於 $\frac{1}{2}$
> (5) 若四人隨機出拳，則猜拳結果能分出勝負的機率小於 $\frac{1}{2}$
<details>
    <summary>點擊看 多選9 詳解</summary>
  
  [答案]23
  [詳解]
</details>

> 10. 某一組二維數據資料 $(x_i, y_i)$，$i=1,2,\cdots,20$，已知 $x$ 的平均數 $\mu_x=2$，$y$ 的平均數 $\mu_y=1$，相關係數 $r=-0.8$。此外，$y$ 對 $x$ 的迴歸直線(最適直線) $L$ 通過點 $(-2,4)$。設 $x$、$y$ 的標準差分別為 $\sigma_x$、$\sigma_y$，請選出正確的選項。
> (1) 若從該組資料中任取2筆來比較，則 $x$ 值較大的資料其 $y$ 值較小
> (2) 迴歸值縣(最適直線)$L$ 的斜率大於 $-0.8$
> (3) $\sigma_x>\sigma_y$
> (4) 若新增一筆資料 $(0, \frac{5}{2})$，再計算21筆資料的相關係數為 $r'$，則 $r'>r$
> (5) 若令 $X_i=\frac{x_i-2}{\sigma_x}$、$Y_i=\frac{y_i-1}{\sigma_y}$，則 $Y$ 對 $X$ 的迴歸直線(最適直線)斜率為 $-0.8$
<details>
    <summary>點擊看 多選10 詳解</summary>
  
  [答案]235
  [詳解]
</details>

> 11. 如下圖，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$D$、$E$、$F$ 分別在 $\overline{AC}$、$\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 上，且 $CDEF$ 為長方形，已知 $\overline{AB}=6$、$\overline{DE}=4$，請選出正確的選項。
> ![image](https://hackmd.io/_uploads/rk6NUxg0R.png =25%x)

> (1) $\overline{AD}=4\tan A$
> (2) $\overline{BF}=6\sin A-4$
> (3) $\overline{EF}<2$
> (4) $\triangle ABC$ 面積為 $9\sin 2A$
> (5) 當 $\triangle ABC$ 面積為最大值時，$\overline{DF}^2=50-24\sqrt2$
<details>
    <summary>點擊看 多選11 詳解</summary>
  
  [答案]2345
  [詳解]
</details>

> 12. 已知滿足方程式 $2^x\cdot 7^y=112$ 的所有數對 $(x,y)$ 在坐標平面上會形成一直線 $L$，請選出正確的選項。
> (1) $L$ 通過點 $(4,1)$
> (2) $L$ 的 $x$ 截距大於 7
> (3) $L$ 不通過第三象限
> (4) 若直線 $L'$ 與 $L$ 垂直，則 $L'$ 的斜率大於3
> (5) 若 $\theta$ 為 $L$ 與 $x$ 軸所夾的銳夾角，則 $\tan\theta=\log_72$
<details>
    <summary>點擊看 多選12 詳解</summary>
  
  [答案]135
  [詳解]
</details>

### 三、選填題
> 13. 關於學測數學試題的選填題，需答對該題全部空格才能得到5分，但答錯不倒扣。下方是某一選填題的最後一段文字，考生++小豪++在考試時間截止前半分鐘還解不出來，但他知道答案是一個小於1的正數，只好在答案卡該兩格隨機劃記符合格式(最簡分數)的答案，則++小豪++本題得分之期望值為幾分？(化為最簡分數)
> <span style="border:1px solid; padding:2px;">隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為$\frac{a}{b}$。(化為最簡分數)</span>
<details>
    <summary>點擊看 選填13 詳解</summary>
  
  [答案]$\frac{5}{27}$
  [詳解]
</details>

> 14. 已知數列 $<a_n>$ 的遞迴關係式為 $\left\{\begin{align*}
  a_1&=1\\
  a_{n+1}&=a_n+\cos\frac{n^2\pi}{2}
\end{align*}\right.$ ($n$ 為正整數)，則此數列前20項之平方和 $a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_{19}^2+a_{20}^2=$？
<details>
    <summary>點擊看 選填14 詳解</summary>
  
  [答案]$770$
  [詳解]
</details>

> 15. 正六邊形 $ABCDEF$ 的邊長為4，若$P$、$Q$ 分別為 $\overline{BC}$、$\overline{DE}$ 上的點，滿足 $\overline{BP}=\overline{PC}$、$\overline{DQ}=3\overline{QE}$，試求(內積) $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=$？
<details>
    <summary>點擊看 選填15 詳解</summary>
  
  [答案]$17$
  [詳解]
</details>

> 16. 設多項式 $f(x)$ 以升羃排列共有20項，且第 $k$ 項均可表示為 $a_kb_k$，其中 $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ 是一個首項為1，公差為2的等差數列；$b_1, b_2, \cdots, b_{20}$ 滿足 $b_1=1$、$b_{k+1}=-x\cdot b_k$，其中 $k=1,2,\cdots,19$。若 $f(x)$ 除以 $x^2-1$ 的餘式為 $r(x)$，則 $\frac{r(x)}{10}$=？(以多項式表示)
<details>
    <summary>點擊看 選填16 詳解</summary>
  
  [答案]$-21x+19$
  [詳解]
</details>

> 17. 已知 $f(x)$ 為滿足下列三個條件的四次多項式：
> (1) $f(x)$ 除以 $(x+1)^3$ 的餘式為 $x+1$。
> (2) $f(x)$ 的所有係數和為 -6。
> (3) $f(x)$ 的常數項為 -2。
> 而另一多項式 $g(x)$ 滿足 $f(x)+2=x\cdot g(x)$，則 $y=g(x)$ 的圖形之對稱中心坐標為何？(化為最簡分數)
<details>
    <summary>點擊看 選填17 詳解</summary>
  
  [答案]$(\frac{-1}{2}, -4)$
  [詳解]
</details>

## 第貳部分、混合題或非選擇題
> 18-20為題組
> 坐標平面上 $O$ 為原點，今有兩動點 $P(\cos\theta, \sin\theta)$、$Q(2\cos3\theta, 2\sin3\theta)$，其中 $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$，試回答下列問題。

> 18. 若所有動點 $P$ 形成的圖形為 $\Gamma_1$，所有動點 $Q$ 形成的圖形為 $\Gamma_2$，兩圖形的長度分別為 $S_1$、$S_2$，則 $S_2$、$S_1$ 的比值 $\frac{S_2}{S_1}$ 為下列哪個選項？
> (1) 2
> (2) 3
> (3) 4
> (4) 6
> (5) $\frac{9}{4}$
<details>
    <summary>點擊看 18題 詳解</summary>
  
  [答案]4
  [詳解]
</details>

> 19. 試求出兩動點的距離 $\overline{PQ}$ 之最大值 $M$ 及最小值 $m$，以數對 $(M,m)$ 表示答案。
<details>
    <summary>點擊看 19題 詳解</summary>
  
  [答案]$(3,1)$
  [詳解]
</details>

> 20. 試求出 $\triangle OPQ$ 面積的最大值及此時對應的 $Q$ 點坐標。
<details>
    <summary>點擊看 20題 詳解</summary>
  
  [答案]面積最大值為1，此時對應的 $Q(-\sqrt2, \sqrt2)$
  [詳解]
</details>

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## 答案
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
|------|------|------|------|------|------|
| (2) | (1) | (4) | (3) | (4) | (5) |

| 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
|------|------|------|------|------|------|
| (1)(2)(4) | (1)(4)(5) | (2)(3) | (2)(3)(5) | (2)(3)(4)(5) | (1)(3)(5) |


| 13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. | 19. | 20. |
|------|------|------|------|------|------|------|------|
| $\frac{5}{27}$ | $770$ | $17$ | $-21x+19$ | $(\frac{-1}{2}, -4)$ | (4) | $(3,1)$ | 面積最大值為1，此時對應的 $Q(-\sqrt2, \sqrt2)$ |

<!-- >
> 題號xx. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
> (1) 
> (2) 
> (3) 
> (4) 
> (5) 
<details>
    <summary>點擊看 單選1 詳解</summary>
  
  [答案]
  [詳解]
</details>
-->