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title: 109台大數學系考題
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# 109台大數學系考題
## 筆試一
1. 令 $f(x)=x(x+2)(x-2)-1$ 。
(a) 證明 $f(x)=0$ 有三個相異實根。
(b) 令 $\alpha, \beta, \gamma$ 為 $f(x)=0$ 的三個實根，求 $\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}+\frac{1}{\gamma-1}$ 的值。
2. 令 $P,Q$ 為一個邊長為 $1$ 的正立方體中距離為 $\sqrt3$ 的兩個點。把這個正立方體夾在兩平行面之間，使得 $P,Q$ 分別在這兩個面上，且 $PQ$ 垂直於這兩個面。現在要再找兩平行面把這個立方體夾住，使的這兩個面與原先的面垂直。求後來的這兩個面最小距離可以是多少，並說明這兩個面與正立方體的相交情形。
3. 在正四面體 $ABCD$ 中有一個點 $P$ 。令 $A',B',C',D'$ 分別為直線 $AP,BP,CP,DP$ 交於三角形 $BCD,ACD,ABD,ABC$ 的點。證明 $\frac{AP}{AA'}+\frac{BP}{BB'}+\frac{CP}{CC'}+\frac{DP}{DD'}$ 為定值，並求此定值。
4. 有一副撲克牌，洗牌後一直開牌直到所有紅心都開完為止。令操作次數為 $k$ 的機率為 $P(x=k)$ 。
(a) 當 $k$ 為何值時，$P(x=k)$ 擁有最大值？
(b) 求操作次數的期望值。
## 筆試二
1. 令 $\alpha$ 為一個複數 $u+vi$ ，其中 $u,v$ 皆為實數。令 $\beta$ 為一實數。已知 $\alpha,\beta$ 滿足當 $w$ 為任意絕對值為 $1$ 複數時，$w^2+\alpha w+\beta$ 的絕對值恆為 $1$ 。證明 $\alpha=\beta=0$ 。
2. 給定奇數顆骰子。甲乙兩人玩以下遊戲：
*  甲投擲所有剩下的骰子，並取走點數為 $5,6$ 的骰子。
*  乙先決定好兩個相異整數 $a,b$ 後，投擲所有剩下的骰子，並取走點數為 $a,b$ 的骰子。
*  以上兩步驟持續進行直到沒有骰子為止。最後骰子比較多的為贏家。
(a) 對於一顆指定骰子，求他最後屬於甲的機率。
(b) 若有 $5$ 顆骰子，求乙獲勝的機率。
3. 已知不等式 $a^3+b^3+c^3 \geq 3abc+k(a-b)(b-c)(c-a)$，其中 $a,b,c \in \mathbb{R}$ 。
(a) 找到一個實數 $k \neq 0$ 使得不等式對於 $a,b,c > 0$ 皆成立。
(b) 求最大的實數 $k \neq 0$ 使得不等式對於 $a,b,c > 0$ 皆成立。
4. 定義 「$\sqrt5$ 整數」為形式為 $a+b \sqrt5$ 的數（$a,b \in \mathbb{Q}$）。
定義 「$\sqrt5$單位元」為滿足 $a^2 - 5 b^2 = \pm 1$ 的 $\sqrt5$ 整數。
定義 「$\sqrt5$質數」為$\sqrt5$ 整數，當這個數表示為兩個$\sqrt5$ 整數時，其中一個必為 $\sqrt5$ 單位元。
(a) 證明 $31$ 不是 $\sqrt5$ 質數。
(b) 證明 $2$ 是 $\sqrt5$ 質數。