# Đề mẫu Vi tích phân 1 - Giữa kỳ

## 23CLC06 - 2024

**Câu 1**: *(2 điểm)* Tìm giới hạn (nếu có) của hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{6-x} - 2}{\sqrt{3-x} - 1}$ khi $x$ tiến về $2$

**Câu 2**: *(2 điểm)* Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:
$$
f(x) =
\begin{cases}
1-x^2, & \text{nếu} \; x < 1 \\
\frac{1}{x}, & \text{nếu} \; x \geq 1
\end{cases}
$$

**Câu 3**: *(2 điểm)* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
$$f(x) = \frac{x}{x^2 - x + 1}$$
trên $[0, 3]$

**Câu 4**: *(2 điểm)* Cho hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$

a. Tìm các khoảng tăng/giảm của hàm số $f$

b. Tìm cực trị của hàm số $f$

c. Tìm các khoảng lồi/lõm và các điểm uốn của hàm số $f$

**Câu 5**: *(2 điểm)* Tính các tích phân sau:

a. $\int_0^{\sqrt{\pi}}xcos(x^2)dx$

b. $\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}x^4sin(x)dx$

## Mẫu 1 (60 phút)

**Câu 1 (2.0 điểm):**

Chọn 1 ý (a hoặc b) để khảo sát tính liên tục của hàm số tại điểm.

a. Cho hàm số $f(x)$ được xác định như sau:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{1-x} & \text{khi } x > 1 \\ \pi & \text{khi } x = 1 \\ \frac{\sqrt{x^2+3} - 2}{x-1} & \text{khi } x < 1 \end{cases} $$
Hãy khảo sát tính liên tục **bên trái** và **bên phải** của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0 = 1$. Từ đó, kết luận hàm số có liên tục tại $x_0 = 1$ hay không.

b. Cho hàm số $f(x)$ được xác định như sau:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 8}{x^2 - x - 2} & \text{khi } x < 2 \\ 0 & \text{khi } x = 2 \\ (x^2-4)\sin\left(\frac{\pi}{x-2}\right) & \text{khi } x > 2 \end{cases} $$
Hãy khảo sát tính liên tục **bên trái** và **bên phải** của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0 = 2$. Từ đó, kết luận hàm số có liên tục tại $x_0 = 2$ hay không.

**Câu 2 (2.0 điểm):**

Cho hàm số $g(x) = (x-2)|x^2 - 3x + 2|$.
Khảo sát tính khả vi của hàm số $g(x)$ tại điểm $x_0 = 2$.

**Câu 3 (2.0 điểm):**

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ với $x > -\frac{1}{2}$.
Sử dụng định nghĩa của đạo hàm, chứng minh rằng hàm số $f(x)$ và đạo hàm của nó $f'(x)$ thỏa mãn đẳng thức vi phân sau:
$$ (2x+1)f'(x) + f(x) = 0 $$

**Câu 4 (2.0 điểm):**

Xét đường cong Folium của Descartes có phương trình:
$$ x^3 + y^3 - 6xy = 0 $$
a) Bằng cách sử dụng phép đạo hàm ẩn, hãy tìm biểu thức của $\frac{dy}{dx}$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm $M(3, 3)$.

**Câu 5 (2.0 điểm):**

Chu kỳ của một con lắc đơn (thời gian để nó hoàn thành một dao động qua lại) được xác định bởi công thức:
$$ T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} $$
trong đó $L$ là chiều dài của con lắc và $g$ là gia tốc trọng trường.

Tại một phòng thí nghiệm trên Trái Đất, người ta lấy $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$. Một nhà vật lý thiết kế một con lắc có chiều dài lý thuyết là $L_0 = 2.45$ mét để có một chu kỳ mong muốn.

Tuy nhiên, do sai số trong quá trình chế tạo, chiều dài thực tế của con lắc có thể dài hơn hoặc ngắn hơn chiều dài lý thuyết một lượng tối đa là 2 mm.

Sử dụng xấp xỉ tuyến tính (hoặc vi phân), hãy ước tính **sai số tương đối tối đa** (tính theo phần trăm) của chu kỳ $T$ của con lắc này.

## Mẫu 2 (60 phút)

**Câu 1 (2.0 điểm): Khảo sát tính liên tục**

Cho hàm số $f(x)$ được xác định bởi:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} & \text{khi } x < -1 \\ 0 & \text{khi } x = -1 \\ (x+1)^2 \sqrt{\left|\cos\left(\frac{\pi}{x+1}\right)\right|} & \text{khi } -1 < x < 1 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{khi } x = 1 \\ \frac{\tan(\pi x)}{1-x^2} & \text{khi } x > 1 \end{cases} $$

*(Học sinh chỉ chọn làm một trong hai ý sau: a hoặc b)*

**a)** Khảo sát tính liên tục **bên trái** và **bên phải** của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0 = 1$.

**b)** Khảo sát tính liên tục **bên trái** và **bên phải** của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0 = -1$.

---

**Câu 2 (2.0 điểm): Khảo sát tính khả vi**

Cho hàm số $h(x) = x |x^2-1|$.
Khảo sát tính khả vi của hàm số $h(x)$ tại điểm $x_0 = 1$ bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm.

---

**Câu 3 (2.0 điểm): Chứng minh bằng định nghĩa đạo hàm**

Cho hàm số $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ với $x > -1$.

Bằng cách **sử dụng định nghĩa của đạo hàm**, hãy chứng minh rằng hàm số $f(x)$ và đạo hàm của nó $f'(x)$ thỏa mãn đẳng thức sau:
$$ 2(x+1)f'(x) - f(x) = \frac{2}{\sqrt{x+1}} $$

---

**Câu 4 (2.0 điểm):**

Xét đường cong Bifolium (Lá đôi) có phương trình:
$$ (x^2+y^2)^2 = 4x^2y $$
a) Bằng cách sử dụng phép đạo hàm ẩn, hãy tìm biểu thức của $\frac{dy}{dx}$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm $M(1, 1)$.

---

**Câu 5 (2.0 điểm):**

Một thùng chứa hình trụ có bán kính đáy là $R=1$ mét. Người ta bơm nước vào thùng với một tốc độ không đổi. Chiều cao của mực nước trong thùng, $h$, được đo là $2.98$ mét.

Do ảnh hưởng của sức căng bề mặt, mặt nước không phẳng hoàn toàn mà hơi lõm xuống. Thể tích thực của nước trong thùng được tính theo công thức hiệu chỉnh: $V(h) = \pi R^2 h - \frac{\pi R^3}{12}$.
a) Bằng cách sử dụng xấp xỉ tuyến tính, hãy ước tính giá trị của thể tích $V(2.998)$.
b) Nếu sai số của phép đo chiều cao $h$ là $\Delta h = \pm 0.002$ mét, hãy sử dụng xấp xỉ tuyến tính (vi phân) để ước tính sai số tuyệt đối lớn nhất ($\Delta V$) có thể xảy ra khi tính toán thể tích nước trong thùng.

## ĐỀ THI GIỮA KÌ LỚP 24C01

**Thời gian: 60 phút - Đề 2 - Đề mở**

---

### Câu 1
Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số $f(x) = \frac{2-4x}{x+2}$. Cho biết tập xác định của hàm số và tập xác định của đạo hàm của nó.

### Câu 2
Cho
$g(x) = \begin{cases} 2-x, & \text{nếu } x < 0 \\ x^2, & \text{nếu } 0 < x \le 2 \\ x^2 - 5, & \text{nếu } 2 < x \le 3 \\ x^2 - 3x, & \text{nếu } x > 3 \end{cases}$

a). Tìm các giới hạn sau nếu tồn tại
i. $\lim_{x \to 0^-} g(x)$
ii. $\lim_{x \to 0^+} g(x)$
iii. $\lim_{x \to 0} g(x)$
iv. $\lim_{x \to 2^-} g(x)$
v. $\lim_{x \to 2^+} g(x)$
vi. $\lim_{x \to 2} g(x)$
vii. $\lim_{x \to 3^-} g(x)$
viii. $\lim_{x \to 3^+} g(x)$
ix. $\lim_{x \to 3} g(x)$

b). Tìm các điểm gián đoạn của hàm số. Tại điểm nào trong số các điểm này, hàm số liên tục bên trái, bên phải; hoặc không liên tục ở bên nào cả?

### Câu 3
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường $x^3 - xy^2 + y^3 + 3x = 10$ tại điểm $(1, 1)$.

### Câu 4
Tìm giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối của hàm $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 5$ trên $[1, 4]$.

### Câu 5
Một cửa sổ có dạng hình vuông phủ bên trên là một hình bán nguyệt. Cạnh đáy cửa sổ được đo là 60 cm với sai số có thể của phép đo là 0.02 cm. Ước tính sai số tối đa và sai số phần trăm có thể phạm phải khi tính diện tích cửa sổ.

### Câu 6
Tìm khai triển Taylor bậc 3 của hàm $f(x) = \cos(x)$ tại $x = \frac{\pi}{6}$. Xác định d sao cho sai số của khai triển nhỏ hơn 0.0001 trong khoảng $|x - \frac{\pi}{6}| < d$.

---
1