# Đạo hàm trong tiếng Việt: Nguồn gốc, ý nghĩa và so sánh với Vi phân

## 1. Nguồn gốc từ ngữ
Khái niệm **derivative** trong toán học xuất phát từ tiếng Latin *derivare* (dẫn ra, chảy ra từ).
Trong toán học, nó diễn đạt ý *“giá trị mới được sinh ra từ sự thay đổi nhỏ của hàm số”*.

Khi khái niệm này được du nhập vào Trung Quốc và Nhật Bản cuối thế kỷ XIX – đầu XX, các học giả đã dùng Hán tự để dịch:

- **導 (đạo)**: nghĩa là dẫn dắt, hướng dẫn, đưa tới.
- **函 (hàm)**: nghĩa là hàm số (函數 = function).

Gộp lại thành **導函** → đọc âm Hán-Việt là **đạo hàm**. Ý là *hàm số mới được dẫn xuất từ hàm số ban đầu*.

---

## 2. Ý nghĩa toán học của “đạo hàm”
Mặc dù từ “đạo hàm” thiên về ý “hàm được dẫn xuất ra”, bản chất toán học của **derivative** lại là **tốc độ thay đổi tức thời** của hàm số.

- Định nghĩa:
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$

- Hiểu đơn giản: đạo hàm cho biết tại điểm $x$, hàm số tăng/giảm nhanh đến mức nào.

Ví dụ:
$$
f(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x
$$

Tại $x=3$, độ dốc là $6$. Điều này nghĩa là khi $x$ thay đổi một chút, $f(x)$ tăng khoảng gấp 6 lần sự thay đổi đó.

---

## 3. Vi phân là gì?
Ngoài “đạo hàm”, trong toán học ta còn gặp “vi phân” (**differential**).

- **Vi (微)** = nhỏ bé.
- **Phân (分)** = phần, mảnh.
- **Vi phân (微分)** = “phần thay đổi cực nhỏ”.

Trong ký hiệu:
$$
dy = f'(x) \, dx
$$

- $dx$: sự thay đổi rất nhỏ của biến số $x$.
- $dy$: thay đổi nhỏ tương ứng của hàm số $y$.

Ví dụ: Với $y = x^2$, tại $x=3$:
- $f'(3) = 6$.
- Nếu $dx = 0.01$, thì $dy \approx 0.06$.

👉 Vi phân không phải là một hàm mới, mà là **giá trị thay đổi cực nhỏ** ứng với biến đổi cực nhỏ của biến số.

---

## 4. So sánh Đạo hàm và Vi phân
| Tiêu chí | Đạo hàm (Derivative) | Vi phân (Differential) |
|----------|----------------------|------------------------|
| Nguồn gốc từ | 導函 (hàm dẫn xuất) | 微分 (phần nhỏ bé) |
| Ý nghĩa | Hàm số mới được dẫn ra từ hàm gốc; tốc độ biến thiên tức thời | Phần thay đổi cực nhỏ của hàm số ứng với thay đổi cực nhỏ của biến số |
| Ký hiệu | $f'(x), \, \frac{dy}{dx}$ | $dy = f'(x)dx$ |
| Bản chất | Công thức tổng quát, mang tính khái niệm | Giá trị thay đổi thực tế, mang tính vi mô |
| Ví dụ | $f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x$ | Với $x=3, dx=0.01 \Rightarrow dy \approx 0.06$ |

---

## 5. Vì sao “đạo hàm” nghe không sát nghĩa?
Nếu xét cặn kẽ, “đạo hàm” nhấn mạnh đến **hàm mới được dẫn xuất** chứ chưa trực tiếp thể hiện ý “tốc độ thay đổi”.
Một cách dịch sát nghĩa hơn cho “derivative” có thể là **hàm biến thiên**, nhưng vì “đạo hàm” đã thành thuật ngữ chuẩn quốc tế (theo Hán-Việt) hơn 100 năm nay nên không thể thay đổi nữa.

Ngược lại, “vi phân” thì khá sát nghĩa với “differential”, vì nó đúng là “sự thay đổi cực nhỏ” của biến và hàm.

---

## 6. Kết luận
- **Đạo hàm** (derivative) là khái niệm trung tâm, định nghĩa tốc độ thay đổi tức thời, sinh ra một hàm mới từ hàm số ban đầu.
- **Vi phân** (differential) là ứng dụng cụ thể của đạo hàm để tính sự thay đổi cực nhỏ.

Có thể hình dung:
- Đạo hàm = công thức chung, giống như **tốc độ**.
- Vi phân = kết quả ứng dụng, giống như **quãng đường cực nhỏ đi được trong một khoảng thời gian rất nhỏ**.

---