# Đạo hàm là gì?

## 1. Đạo hàm là gì?

Hãy tưởng tượng bạn đang lái xe.

- **Quãng đường** bạn đi chính là một hàm số — ví dụ như: $s(t) = t^2$ (đi được càng lâu thì càng xa).
- **Vận tốc** tại một thời điểm chính là **đạo hàm** của hàm quãng đường theo thời gian.

> Nói cách khác, **đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi** của một đại lượng.

---

## 2. Tại sao đạo hàm của $x^3$ lại là $3x^2$?

### Dùng định nghĩa đạo hàm:

$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
$$

Với $f(x) = x^3$, ta có:

$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h}
$$

Khai triển:

$$
(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
$$

Thay vào công thức:

$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2
$$

✅ Vậy: **$\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$**

---

## 3. Hình minh họa trực quan

%% Đạo hàm là độ dốc tiếp tuyến
graph TD
    A[x^3] --> B(Điểm x = 1)
    B --> C{Vẽ tiếp tuyến}
    C --> D[Độ dốc tiếp tuyến là đạo hàm tại x = 1]
    D --> E[3x^2 = 3 * 1^2 = 3]


> Hình trên cho thấy: tại điểm $x = 1$, hàm $x^3$ có đường tiếp tuyến có độ dốc bằng 3, cũng chính là giá trị đạo hàm tại điểm đó.

---

## 4. Có quy luật chung không?

Có! Gọi là **quy tắc đạo hàm lũy thừa**:

$$
\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}
$$

Ví dụ:

- $\frac{d}{dx} x^2 = 2x$
- $\frac{d}{dx} x^4 = 4x^3$

---

## 5. Tại sao nên học đạo hàm?

- Trong vật lý: tính vận tốc, gia tốc.
- Trong kinh tế: tìm lợi nhuận cực đại, chi phí tối ưu.
- Trong AI: dùng để huấn luyện mô hình qua thuật toán **gradient descent**.

---

## Tóm tắt nhanh:

| Hàm số | Đạo hàm |
|---------------|-------------------------|
| $x$ | $1$ |
| $x^2$ | $2x$ |
| $x^3$ | **$3x^2$** |
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ |