> [TOC]

# Một cách nhìn trực quan hơn về đa thức (Phần 2)

Ở [Phần 1](https://hackmd.io/@hadv/B11QiW-cu) chúng ta đã biết được một số ứng dụng cơ bản của đa thức nói chung, ở phần 2 này chúng ta sẽ đi sâu thêm các đặc tính của đa thức có liên quan đến các lý thuyết toán học phức tạp hơn một chút.

## Đa thức là mã di truyền của một hàm số

Với một giá trị đầu vào $x$, thì đa thức thể hiện kết quả của một chuỗi các phép tính mà chúng ta thực hiện với $x$.

Như vậy, nếu khéo léo sắp xếp thì chúng ta có thể tìm được đa thức có thể biểu diễn bất kỳ mẫu nào mà chúng ta mong muốn. Thực tế thì nó chính là chuỗi Taylor.

Với số lượng đủ lớn thì các đa thức với phép toán đơn giản có thể biểu diễn được các mẫu phức tạp như sóng hình sin và nhiều hàm phức tạp khác nữa.

Cứ mỗi toán hạng được thêm vào đa thức thì chúng ta có được sấp xỉ tốt hơn với hàm số gốc. Ví dụ minh hoạ như mình bên dưới.


Chúng ta có thể phân tích các hệ số của đa thức và tìm ra mã di truyền của hàm số đó:

$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \ldots\ \xrightarrow{DNA} [0, 1, 0, -1, \ldots\ ]
$$

$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}- \ldots\ \xrightarrow{DNA} [1,0,-1,0, \ldots\ ]
$$

$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots\ \xrightarrow{DNA} [1,1,1,1 \ldots\ ]
$$

Nếu các hệ số có hình mẫu tương tự nhau thì các hàm số có liên quan đến nhau nên chúng ta gọi đa thức là mã di truyền của hàm số.

Quay lại với vị dụ về [số thập phân ở Phần 1](https://hackmd.io/@hadv/B11QiW-cu#%C4%90a-th%E1%BB%A9c-l%C3%A0m-cho-nh%E1%BA%ADn-bi%E1%BA%BFt-s%E1%BB%91-%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c-d%E1%BB%85-d%C3%A0ng-h%C6%A1n), số 12 và số 120 nhìn giống nhau khi chúng ta viết nó dưới dạng đa thức của cơ số 10. Nếu chúng ta rải 12 và 120 que tính lên một mặt phẳng thì rất khó để chúng ta có thể nhận biết là chúng giống nhau.

## Đa thức có thể chuyển phép cộng thành phép nhân

Một cái nhìn sâu sắc trong toán học, gọi là định lý trung tâm của đại số, là đa thức được viết lại dưới dạng các phép nhân liên tiếp.

Nghĩa là, một đa thức luỹ thừa của $x$ có thể viết lại dưới dạng các phép nhân của $x$ như sau

$$
f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \ldots\ = (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)
$$

Tại sao điều này lại quan trọng? Việc này giúp chúng ra dễ dàng giải được phương trình hơn.

Không dễ để chúng ta tìm được nghiệm của phương trình sau đây:

$$
x^2 + 4x = 12
$$

Nhưng với phương trình này thì sao? Rất dễ dàng chúng ta có thể tìm ra được $x=-6$ và $x=2$

$$
(x + 6)(x - 2) = 0
$$

## Đa thức đơn giản hoá cho tính toán tối ưu

Đa thức rất đơn giản: nó chỉ bảo gồm các luỹ thừa của $x$. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ cần dùng [Quy tắc đạo hàm hàm số mũ, $dx^n = n.x^{n-1}$ ] để tính đạo hàm và tìm ra giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của đa thức đó.

Một cấu trúc đơn giản cũng có điểm mạnh của riêng nó.

*-HẾT-*

> [time=Fri, Jun 18, 2021 9:55 AM]
> [name=Ha ĐANG ]

Tài liệu gốc tiếng Anh: [Intuition For Polynomials](https://betterexplained.com/articles/intuition-for-polynomials/)