# Chuỗi Hội Tụ và Phân Kỳ: Từ Giới Hạn Đến Tích Phân

## :pushpin: Giới thiệu

Khi học về giải tích, đặc biệt là trong các bài toán về chuỗi số, một trong những khái niệm quan trọng nhất là **chuỗi hội tụ** và **chuỗi phân kỳ**. Nhưng làm sao để biết một chuỗi có hội tụ không? Làm sao để **chứng minh** điều đó một cách chặt chẽ?

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu:

* Khái niệm chuỗi hội tụ và phân kỳ
* Vai trò của giới hạn trong việc định nghĩa
* Các tiêu chí kiểm tra hội tụ: dùng **so sánh**, **tích phân**, **giới hạn**
* Một số ví dụ minh họa trực quan

---

## :blue_book: 1. Chuỗi là gì?

Một **chuỗi số vô hạn** là tổng của một dãy vô hạn các số:

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots
$$

Tổng này **có thể hữu hạn** (chuỗi hội tụ) hoặc **vô hạn** (chuỗi phân kỳ).

### :small_blue_diamond: Định nghĩa chuỗi hội tụ:

Gọi:

$$
S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
$$

là tổng riêng của chuỗi. Nếu:

$$
\lim_{n \to \infty} S_n = S \quad \text{(hữu hạn)}
$$

thì chuỗi **hội tụ** đến giá trị $S$. Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc là vô cực thì chuỗi **phân kỳ**.

---

## :blue_book: 2. Ví dụ đơn giản: Chuỗi hình học

Chuỗi:

$$
\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots
$$

Có tổng:

$$
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2
$$

Chuỗi này hội tụ vì tổng riêng tiến gần đến 2 khi $n \to \infty$.

---

## :blue_book: 3. Dùng giới hạn để kiểm tra hội tụ

### :white_check_mark: Tiêu chí so sánh giới hạn:

Cho hai chuỗi dương $\sum a_n$ và $\sum b_n$, nếu:

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \in (0, \infty)
$$

thì hai chuỗi **hội tụ hoặc phân kỳ cùng nhau**.

### :sparkles: Ví dụ:

Xét chuỗi:

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n + 1}
$$

So sánh với $\sum \frac{1}{n^2}$ (chuỗi $p$ với $p = 2 > 1$, hội tụ):

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1/(n^2 + 3n + 1)}{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 3n + 1} = 1
$$

→ Chuỗi ban đầu hội tụ.

---

## :blue_book: 4. Dùng tích phân để kiểm tra hội tụ

### :mag: *Tích phân hội tụ ⇔ chuỗi hội tụ*

Giả sử $f(n) = a_n$, và $f$ là hàm **liên tục, dương, giảm** trên $[1, \infty)$, ta xét tích phân:

$$
\int_1^\infty f(x) , dx
$$

* Nếu tích phân hội tụ → chuỗi hội tụ
* Nếu tích phân phân kỳ → chuỗi phân kỳ

### :sparkles: Ví dụ: Chuỗi điều hòa

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
$$

Dùng tích phân:

$$
\int_1^\infty \frac{1}{x} , dx = \ln x \Big|_1^\infty = \infty \Rightarrow \text{Phân kỳ}
$$

---

## :blue_book: 5. Chuỗi p và ngưỡng hội tụ

**Chuỗi $p$**:

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}
$$

* Nếu $p > 1$: **Hội tụ**
* Nếu $p \leq 1$: **Phân kỳ**

Đây là một mốc rất quan trọng và thường dùng để so sánh với các chuỗi khác.

---

## :blue_book: 6. Tóm tắt các tiêu chí kiểm tra hội tụ

| Phương pháp | Cách dùng |
| -------------- | ------------------------------------------------- |
| Giới hạn tỉ số | $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \Rightarrow$ hội tụ |
| So sánh | So với chuỗi đã biết hội tụ/phân kỳ |
| Dùng tích phân | $\int f(x),dx$ tương ứng với chuỗi $a_n$ |
| Chuỗi p | Áp dụng trực tiếp nếu ở dạng $\frac{1}{n^p}$ |

---

## :checkered_flag: Kết luận

Việc xác định một chuỗi hội tụ hay phân kỳ là nền tảng quan trọng trong giải tích và có nhiều ứng dụng trong vật lý, thống kê, và kỹ thuật. Thông qua giới hạn và tích phân, ta có những công cụ mạnh mẽ để kiểm tra tính chất này một cách chính xác và chặt chẽ.

---

## :bulb: Gợi ý mở rộng

Bạn có thể tìm hiểu thêm về:

* Chuỗi luỹ thừa và chuỗi Taylor
* Chuỗi Fourier
* Tốc độ hội tụ và điều kiện cần trong số học

---