# Nguyên hàm và Tích phân: Ý nghĩa và Ứng dụng

## 1. Nguyên hàm là gì?
Khi ta biết đạo hàm (tốc độ thay đổi) của một hàm số, ta có thể “đi ngược lại” để tìm ra hàm ban đầu – đó gọi là **nguyên hàm**.

**Khái niệm đơn giản:**
Nguyên hàm là một hàm số mà khi ta lấy đạo hàm thì ra lại hàm ban đầu.

**Định nghĩa toán học:**
$$
\text{Nếu } F'(x) = f(x), \text{ thì } F(x) \text{ là nguyên hàm của } f(x)
$$

**Ví dụ:**
$$
f(x) = 2x \quad \Rightarrow \quad F(x) = x^2 + C
$$

**Chú ý:** Có vô số nguyên hàm vì ta có thể cộng thêm bất kỳ hằng số nào ($C$).

---

## 2. Tích phân bất định là gì?
Tích phân bất định là ký hiệu cho **tập hợp các nguyên hàm**.

**Ký hiệu:**
$$
\int f(x)\, dx = F(x) + C
$$

**Ý nghĩa:**
- Dấu tích phân $\int$ giống như “cộng dồn” vô hạn các phần nhỏ.
- Nhưng tích phân **bất định** chỉ tìm công thức tổng quát (giống như "đi ngược lại đạo hàm").

**Ví dụ:**
$$
\int 2x\, dx = x^2 + C
$$

---

## 3. Tích phân xác định là gì?
Tích phân xác định giúp ta tính **giá trị cụ thể** của tổng cộng dồn trên một đoạn.

**Ký hiệu:**
$$
\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)
$$

**Hiểu đơn giản:**
Nếu $f(x)$ là vận tốc, thì tích phân xác định chính là **quãng đường đã đi được** từ $x=a$ đến $x=b$.

**Ví dụ:**
$$
\int_0^2 2x\, dx = [x^2]_0^2 = 4
$$

**Ứng dụng:** tính diện tích, thể tích, tổng giá trị, quãng đường, v.v.

---

## 4. Ví dụ thực tế: Tính chu vi hình tròn bằng hai cách

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu **hai cách khác nhau** để tìm công thức tính chu vi đường tròn có bán kính $R$, cụ thể là công thức:

$$
C = 2\pi R
$$

### Cách 1: Phương pháp cổ điển (Archimedes – Hình học + Lượng giác)

**Bước 1. Ý tưởng:**
Dùng đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn để xấp xỉ chu vi thật của hình tròn.

**Bước 2. Xây dựng công thức:**

- Với đa giác đều $n$ cạnh nội tiếp đường tròn bán kính $R$, mỗi cạnh có độ dài:

$$
a_n = 2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)
$$

- Chu vi đa giác nội tiếp:

$$
P_n = n \cdot a_n = 2nR\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)
$$

- Tương tự, chu vi đa giác ngoại tiếp:

$$
Q_n = 2nR\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
$$

**Bước 3. Dùng bất đẳng thức lượng giác:**

$$
\sin x < x < \tan x \quad \text{(với } 0 < x < \tfrac{\pi}{2})
$$

Suy ra:
$$
P_n < C < Q_n
$$

**Bước 4. Dùng giới hạn:**
Khi số cạnh $n \to \infty$:

- $\frac{\pi}{n} \to 0$
- $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}$
- $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}$

Vì vậy:

$$
\lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} Q_n = 2\pi R
$$

👉 Kết luận:
Chu vi hình tròn là:

$$
C = 2\pi R
$$

**✅ Ưu điểm:** Độc đáo, không cần giải tích.
**❌ Nhược điểm:** Phức tạp, phải biết lượng giác, giới hạn, lập luận hình học tinh vi.

---

### Cách 2: Dùng giải tích – Tích phân chiều dài cung cong

**Bước 1. Biểu diễn nửa đường tròn bằng hàm số:**

$$
y = \sqrt{R^2 - x^2}, \quad -R \le x \le R
$$

**Bước 2. Áp dụng công thức tính chiều dài cung cong:**

$$
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx
$$

**Bước 3. Tính đạo hàm:**

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}
$$

**Bước 4. Thay vào công thức:**

$$
L = \int_{-R}^{R} \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}\, dx
$$

**Bước 5. Đổi biến:**

$$
x = R\sin\theta \quad \Rightarrow \quad dx = R\cos\theta\, d\theta
$$

Cận:
- Khi $x = -R \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{2}$
- Khi $x = R \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$

**Bước 6. Tính tích phân:**

$$
L = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\, d\theta = \pi R
$$

**Bước 7. Kết luận:**

Chu vi cả vòng tròn là:

$$
C = 2\pi R
$$

**✅ Ưu điểm:** Ngắn gọn, rõ ràng, chỉ cần công thức đạo hàm và tích phân.
**❌ Nhược điểm:** Cần kiến thức giải tích cơ bản.

---

### So sánh tổng thể

| Tiêu chí | Cách cổ điển (Archimedes) | Cách hiện đại (Tích phân) |
|----------------------|---------------------------------------------|---------------------------------------|
| Kiến thức cần có | Lượng giác, đa giác đều, giới hạn | Đạo hàm, tích phân, đổi biến |
| Độ phức tạp | Cao, nhiều bước tính và chứng minh | Ngắn gọn, áp dụng công thức trực tiếp |
| Ý nghĩa trực quan | Gần với hình học | Gần với giải tích và vi phân |
| Mức độ phổ biến hiện nay | Lịch sử, giáo dục cơ bản | Chuẩn mực trong toán học và kỹ thuật |

---

## 5. Kết luận chung
- **Nguyên hàm** giúp khôi phục lại hàm gốc từ đạo hàm.
- **Tích phân** là công cụ cộng dồn vô hạn – dùng để tính diện tích, thể tích, độ dài, v.v.
- Bài toán tính **chu vi hình tròn** là ví dụ tuyệt vời cho thấy:
- Cách cổ điển → nhiều bước hình học và lượng giác.
- Cách hiện đại → tích phân đơn giản, rõ ràng.