> [TOC]

# Một cách nhìn trực quan hơn về đa thức (Phần 1)

Hầu hết chúng ta đều bị ép học về đa thức trong trường lớp dưới dạng các công thức dài vô tận như sau

$$
f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \ldots\ + c_nx^n
$$

Bao gồm rất nhiều các hệ số $(c_0, c_1, \ldots\ )$ nhân với các bậc luỹ thừa tương ứng của $x$.

Tuy nhiên, có thể chúng ta chưa hiểu tường tận và các ứng dụng của đa thức trong thực tế. Tôi hy vọng rằng giải thích trực quan sau đây có thể giúp các bạn hiểu rõ hơn về đa thức.

## Đa thức làm cho nhận biết số được dễ dàng hơn

Chúng ta đếm được có bao nhiêu đường thằng ở hình dưới đây?

$$|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||$$

Nếu tôi đếm không nhầm thì có **123** đường thẳng. Chúng ta có thể biểu diễn số lượng đường thẳng bằng đa thức như sau

$$
123 = 100 + 20 + 3 = (1)10^2 + (2)10^1 + (3)10^0
$$

Như vậy, con số **"123"** dễ dàng được biển diễn thông qua đa thức của các hệ số tương ứng cho các luỹ thừa của **10**. Và chúng ta cũng có thể dễ dàng có được giá trị của "123" ở các cơ số khác nhau. Ví dụ "123" ở cơ số **16** sẽ được biểu diễn là $(1)16^2+(2)16^1+(3)16^0 = 291$

## Đa thức làm gọn các phép tính

Hãy tưởng tượng tình huống chúng ta phải tính toán từ một yêu cầu như sau:

"Lấy 15, cộng thêm 3, rồi nhân với 7, rồi cuối cùng nhân với số ban đầu a.k.a 15"

theo số học, chúng ta có thể viết như sau

$$
((15+3)\times7)\times15
$$

Một cách tổng quát hơn, chúng ta có thể biểu diễn thành công thức sau

$$
((x+3)\times7)\times x = (7x+21)\times x = 7x^2 + 21x
$$

Và sau các bước biến đổi trung gian ở trên thì chúng ta nhận được một đa thức $7x^2 + 21x$

Thay vì tự hỏi "tôi thấy gì từ công thức này" chúng ta hãy nghĩ "đây là một phiên bản đơn giản của một loạt các phép tính lằng nhằng"

Ngoài ra, thêm một khía cạnh khác, trên thực tế không phải lúc nào chúng ta cũng cần phải đi tìm lời giải cho công thức ở trên. Chúng ra chỉ cần sử dụng công thức trên để đơn giản hoá các phép tính.

Tất nhiên, chúng ta có thể giải nó khi cần. Ví dụ tìm $x$ để kết quả bằng 100.

$$
7x^2 + 21x = 100
$$

Giải phương trình bậc 2 này chúng ta tìm được $x=-5.6$ và $x=2.56$

## Đa thức đơn giản và dễ hiểu hơn các hàm tuỳ ý

Đại số tuyến tính chỉ sử dụng các hàm tuyến tính nhưng chúng ta vẫn có thể mô hình hoá những phép toán phức tạp bằng cách kết hợp các hàm tuyến tính thành một chuỗi đủ lớn.

Và cũng tương tự như vậy, đa thức rất đơn giản nhưng nếu kết hợp chúng lại mới nhau chúng ta có thể mô hình hoá những trạng thái phức tạp. Một số cấu trúc đơn giản sau đây cũng cho chúng ta những kết quả rất thú vị.

* Cộng/nhân các đa thức với nhau cho kết quả là một đa thức
* Chia một đa thức cho root của nó $(x-r)$, ta cũng nhận được một đa thức mới.
* Có thể truyền đa thức như một biến của một đa thức khác $f(g(x))$
* Đạo hàm hay tích phân của một đa thức cũng là một đa thức

Đa thức giống như số nguyên, đơn giản hơn số thực, nhưng vẫn có rất nhiều ứng dụng.

## Đa thức thể hiện và theo dõi được các tương tác

$x$ nghĩa là gì? Nó có thể là một số, một đại lượng hay bất thứ cái gì mà chúng ta muốn thể hiện.

Vậy thì $x.x=x^2$ mang ý nghĩa gì? Nó thể hiện sự tương tác: một đại lượng nào đó tương tác với chính nó. Trong trường hợp đại lượng đó là chiều dài thì kết quả sẽ là diện tích. Hoặc chúng ta có thể lấy vận tốc tương tác với thời gian để ra quãng đường.

Vấn đề của toán học là nó không quan tâm đến đơn vị đo. Đa thức chỉ như một cuốn sổ lưu trữ những thể hiện của tương tác nào đó đã xảy ra giống như trường hợp $x.x$ có đề cập ở trên.

Trong vật lý, chúng ta không thể viết $3cm + 5cm^2$ vì đơn vị có luỹ thừa khác nhau. Chúng ta cũng không thể viết $3cm + 5kg$ vì chúng có đơn vị khác nhau. Nhưng toán học, số chỉ là số, nên $1 + 2*2=5$ vẫn đúng.

Đa thức đóng vai trò như một hệ thống mang tính tổng quát, giống như việc chúng ta có thể thêm bất kỳ thứ gì vào món súp. Nhưng nó có thực sự ngon hay không thì không phải là vấn đề của đa thức mà chúng ta phải quyết định sử dụng đa thức trong những tính huống phù hợp.

...
***(Còn tiếp: Mời quý vị đón đọc [Phần 2](https://hackmd.io/@hadv/BJvzCNwi_)***

> [time=Fri, Jun 18, 2021 9:53 AM]
> [name=Ha ĐANG ]