# LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 10 TRƯỜNG THPT QO

:::info
> [name=Coder QO - Nguyễn Nam Khánh Hải]
>
> [time=Wed, Feb 15, 2023 2:01 AM]
>
> [color=#c96d4c]
:::
## Câu 1

Cho $a, b \in \mathbb{R}$ và $a > 0$. Xét $2$ hàm số $f_{x} =2x^2 - 4x +5$ và $g(x) = x^2 + ax + b.$ Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ biết giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là $8$ đơn vị và đồ thị hai hàm số trên có đúng một điểm chung.

***Lời giải***

$$
\text{Min } f(x) = 3 \Rightarrow \text{Min } g(x) = -5 \\
\Rightarrow a ^ 2 = 4b + 20 \text{. (1)} \\
\text{Mặt khác theo đề bài có phương trình sau có 1 nghiệm:}\\
2 x^2 - 4x + 5 = x^2 + ax + b \\
\Leftrightarrow x^2 - x(a + 4) + 5 - b = 0 \text{ có một nghiệm}\\
\Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow a^2 + 8a - 4 + 4b = 0 \text{. (2)} \\
\text{Từ (1) và (2) kết hợp với } a > 0 \Rightarrow (a; b) = (2; -4)
$$

## Câu 2
Giải phương trình $2 x^2 + 2x - 3 + 3 \sqrt{x^2 + x + 1} = 0$

***Lời giải***

$\text{ĐKXĐ: } \forall x\in \mathbb{R}$
$$
\text{Ptbt} \Leftrightarrow 2a^2 + 3a - 5 = 0 (\sqrt{x^2 + x + 1} = a > 0) \\
\Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x = 0 \\
x = -1 \\
\end{array}\right.
$$
$\text{Vậy S = {0; -1}}$

## Câu 3
Cho bất phương trình $\sqrt{x^2 -2x + 2} \ge 2m + 1 - 2x^2 + 4x$, $m$ là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của $m \in [-5; 50]$ để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc tập xác định của nó.

***Lời giải:***

$$
\text{BPT} \Leftrightarrow 2a^2 + a - 5 - 2m \ge 0 (a = \sqrt{x ^ 2 - 2x + 2} \ge 1) \\
\text{Xét } \Delta \text{vế trái bất phương trình:} \\
\Delta = 41 + 16m \\
Nếu \Delta < 0 \Rightarrow m < \frac{-41}{16} \Rightarrow \text{bất phương trinh luôn có nghiệm} \\
Nếu \Delta \ge 0 \Rightarrow m \ge \frac{-41}{16} \Rightarrow \text{VT bpt có 2 nghiệm } a_1, a_2 (a_2 \ge a_1) \\
\text{và bpt có nghiệm thỏa mãn: } a \in (- \propto; a_1] \cup [a_2; + \propto). \\
\text{Để bpt có nghiệm đúng với a} \ge 1 \Leftrightarrow a_2 \le 1 \\
\Leftrightarrow \frac{-1 + \sqrt{41 + 16m}}{4} \le 1 \\
\Leftrightarrow m \le -1 \\
\text{Kết hợp với các điều kiện đã xét và đã cho } \Rightarrow m \in [-5; -1] \\
\Rightarrow \text{Tổng các giá trị nguyên của m là -15}
$$

## Câu 4
Cho tam giác $ABC$, $M$ là điểm di động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm vị trí điểm $M$ để $MB^2 + MC^2 - 2MA^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

***Lời giải***

$$
Có: MB^2 + MC ^ 2 - 2MA ^ 2 \\
= 2 (\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA}) (OA = OB = OC = OM = R) \\
= 4 \overrightarrow{MO}(\overrightarrow{OI} - \overrightarrow{OA}) (I \text{ là trung điểm BC}). \\
= 4\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{AI} = 4.MO.AI.\text{cos}(\overrightarrow{MO}; \overrightarrow{AI}) \ge -4MO.AI = \text{const} \\
\text{Dấu `=` xảy ra khi cos}(\overrightarrow{MO}; \overrightarrow{AI} )= -1 \Leftrightarrow M \text{ thuộc} (O) \text{ sao cho } \overrightarrow{MO} \text{ và } \overrightarrow{AI} \text{ ngược hướng}.
$$

## Câu 5:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$
T = \frac{3(b + c)}{2a} + \frac{4a + 3c}{3b} + \frac{12(b - c)}{2a + 3c}
$$

***Lời giải***

$$
\text{Ta có: } T = \frac{3(b + c)}{2a} + \frac{4a + 3c}{3b} + \frac{12(b - c)}{2a + 3c} \\
= \frac{3(b + c)}{2a} + \frac{4a + 3c}{3b} + \frac{4(2a + 3b)}{2a + 3c} - 4 \\
= \frac{3(b + c)}{2a} + 2 + \frac{4a + 3c}{3b} + 1 + \frac{4(2a + 3b)}{2a + 3c} + 4 - 11 \\
= (4a + 3b + 3c)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{3b} + \frac{4}{2a + 3b}) - 11 \\
\ge (4a + 3b + 3c).\frac{16}{(4a + 3b + 3c)} - 11 = 5 \\
\text{Dấu `=` xáy ra khi b = c = } \frac{2}{3}a \\
\text{Vậy Min T = 5 khi b = c = }\frac{2}{3}a.
$$

## Câu 6
Cho tam giác $ABC$ có $BC = A, CA = b, AB = c$, độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ $A, B, C$ lần lượt là $m_a, m_b, m_c$. Chứng minh rằng:
$$
\frac{a}{m_a} + \frac{b}{m_b} + \frac{c}{m_c} = 2\sqrt{3}
$$
***Lời giải***

$$
\text{ĐPCM Tương đương: } \sum \frac{2a}{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}} >= 2\sqrt{3} \\
\text{Dễ thấy bất đẳng thức trên thuần nhất do 2 vế của bất đẳng thức đồng bậc} \\
\text{Do đó ta chuẩn hóa } \sum a^2 = 3 \Rightarrow 2b^2 + 2c^2 = 6 - 2a^2 \\
\text{Do đó ĐPCM tương đương: } \sum \frac{a}{\sqrt{6 - 3a^2}} \ge \sqrt{3} \\
\text{Có: } \frac{a}{\sqrt{6 - 3a^2}} = \frac{2\sqrt{3}a ^ 2}{2\sqrt{3}a \sqrt{6 - 3a^2}} \ge \frac{\sqrt{3}a ^ 2}{3} \\
\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{6 - 3a^2}} \ge \sum \frac{\sqrt{3} a^2}{3} = \sqrt{3} \text{(ĐPCM)} \\
\text{Dấu `=` xảy ra khi a = b = c} \Leftrightarrow \text{Tam giác ABC đều}.
$$