微積分公式

| CH1 |
| -------- |
| 函數與極限 |

(1)
N 自然數系 (正整數, natural numbers)
Z 整數系 (integers)
Q 有理數系 (rational numbers)
R 實數系 (real numbers)
C 複數系 (complex numbers)
(2)
鉛直方向平移: y = f(x) +- k
水平方向平移: y = f(x +- h)
鉛直方向伸: y = cf(x)
鉛直方向縮: y = 1/cf(x)
水平方向伸: y = f(cx)
水平方向縮: y = f(x/c)
y = −f(x) 是 y = f(x) 對x-軸的鏡射
y = f(−x) 是 y = f(x) 對y-軸的鏡射
(3)
偶函數:以y軸為中心左右對稱
奇函數:相對於原點，旋轉180度會重疊

| CH2 |
| -------- |
| 導數 |

(1)
尖點 斷點 垂直切線不可微分
(2)
微分公式:
C為一常數，(d/dx)C=0
(d/dx)x=1
(d/dx)x^n=nx^(n-1)
C為一常數，f可微分，(d/dx)Cf(x)=C(d/dx)f(x)
加減法:f(x)，g(x)可微分，(d/dx)(f(x)±g(x))=(d/dx)f(x)±(d/dx)g(x)
乘法:f(x)，g(x)可微分，(d/dx)(f(x)g(x))=f(x)(d/dx)g(x)+g(x)(d/dx)f(x)
除法:f(x)，g(x)可微分，(d/dx)(f(x)/g(x))={g(x)(d/dx)f(x)-f(x)(d/dx)g(x)}/(g(x))^2
f(x)可微分，(d/dx)f(x)^n=nf(x)^(n-1)f(x)'
sin(x)'=cos(x) cos(x)'=-sin(x)
tan(x)'=sec^2(x) cot(x)'=-csc^2(x)
sec(x)'=sex(x)tan(x) csc(x)'=-csc(x)cot(x)
(3)
隱微分:
https://www.youtube.com/watch?v=vP77TX3gzSg

| CH3 |
| -------- |
| 微分的應用 |

(1)
極大極小值
https://www.youtube.com/watch?v=9OxXex9BavM
(2)
均值定理
https://www.youtube.com/watch?v=isNK9d84w9M
(3)導數與函數的圖形
f'(x)性質:
f'(x)>0 -> 遞增 f'(x)<0 -> 遞減
f'(x)由正到負 -> 有區域極大值
f'(x)由負到正 -> 有區域極小值
f''(x)性質:
區間I中，切線在圖形上(下)，f上(下)凹
反曲點:上凹 <-> 下凹
區間I中，f''(x)>0 -> 上凹 f''(x)<0 -> 下凹
f'(c)=0且f''(c)>0 -> 有區域極小值
f'(c)=0且f''(c)<0 -> 有區域極大值
(4)
牛頓法:
https://www.youtube.com/watch?v=CoJnSuq75ac
(5)
反導數
F在區間I任意點x的導數F'(x)=f(x) -> F為f的導函數

| CH4 |
| -------- |
| 積分 |

(1)
定積分
∫a to b f(x)dx=Σ(i=1 to n)lim f(xi*)Δxi
(2)
積分計算
Σ(i=1 to n)i = {n(n+1)}/2
Σ(i=1 to n)i^2 = {n(n+1)(2n+1)}/6
Σ(i=1 to n)i^3 = {(n(n+1))/2}^2
Σ(i=1 to n)c = nc
Σ(i=1 to n)cAi = cΣ(i=1 to n)Ai
(3)
定積分計算
∫a to b f(x)dx=F(b)-F(a)
(4)
不定積分
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86 -> 不定積分公式表
(5)
微積分基本定理
設f在[a,b]區間連續:
若g(x)=∫a to x f(t)dt，則g'(x)=f(x)
∫a to b f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F為f的任一個反導數，也就是F'=f
(6)
函數平均值
f平均值=1/(b-a)∫a to b f(x)dx` 1`

| CH5 |
| -------- |
| 反函數 |

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| -------- |
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| -------- |
| 積分的應用 |

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| -------- |
| 參數方程及極作標 |

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| -------- |
| 向量及空間幾何|

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| CH12 |
| -------- |
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| CH13 |
| -------- |
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