# [ Independent Component Analysis of Skin Color Image](http://www.mi.tj.chiba-u.jp/~tsumura/Tsumura/papers/CIC6_ICA.pdf)

## 独立成分分析
カラー画像分離に適用されるICAについて説明します。 説明を簡単にするために、メディアは2つの顔料で構成され、2つのカラーチャネルを備えたイメージングシステムでキャプチャされると想定しています。 この単純化は、色素の数がチャネルの数より大きい場合を除いて、問題の一般化を妨げません。 これについては、このセクションの後半で説明します。
$x_{lm}$（1）と$x_{lm}$（2）がデジタルカラー画像の座標（l、m）上の2つの色素の量を示し、a（1）とa（2）が 単位量あたりそれぞれ2つの顔料。 井上ほか a（1）とa（2）が異なると仮定します。 また、画像座標（l、m）上の複合色ベクトルe_lmは、次のようにx_lm（1）とx_lm（2）の量を持つ純色ベクトルの線形結合によって計算できると仮定しました。

$$e_{lm} = A x_{lm} -(1)$$
$$A=[a(1),a(2)], x_{lm}=[x_{lm}(1),x_{lm}(2)]^t$$

カラーベクトルの各要素は、各チャネルのピクセル値を示します。井上ほかまた、量ベクトルの要素x_lm(1)とx_lm(2)は、画像座標（l、m）に対して相互に独立していると仮定します。図1（a）および（b）は、混合のプロセスと、相互に独立したx_lm(1)およびx_lm(2)の確率密度分布の例を示しています。図1（c）は、画像内の$e_{lm}(1)$と$e_{lm}(2)$の確率密度分布を示しています。これらは、複合色ベクトルel m、の要素です。観測された色信号$e_{lm}(1)$と$e_{lm}(2)$は相互に独立していないことに注意してください。図1（c）では、パラメータ間の関係を示すために、純色ベクトルa（）1とa（）2も示されています。 ICAを画像内の複合色ベクトルに適用することにより、各顔料の相対量と純色ベクトルは、画像座標に対して顔料の量が相互に独立しているという仮定の下で、量と色ベクトルに関する事前情報なしに抽出されます。
図1（a）に示すように、分離行列Hと分離ベクトルs_lmを使用して次の方程式を定義します。
S_lm = H e_lm (2) H=[h(1), h(2)], s_lm=[s_lm(1), s_lm(2)]

h(1)とh（2）は分離ベクトルです。 適切な分離行列Hを見つけることにより、画像内の複合色ベクトルから相互に独立した信号sl m、（）1およびsl m、（）2を抽出できます。
人工ニューラルネットワークの学習能力、固定小数点法に基づく最適化手法など、分離行列Hを見つけるための多くの方法が提案されています。
抽出された独立信号sl、m（1 ）とsl、m（2）は、それぞれxl、m（2）とxl、m（1）に対応する可能性があり、絶対量xl、m（1）とxl、m（2）を決定することは不可能です 追加の仮定。 したがって、抽出された独立したベクトル$s_{lm}$は、
$$s_{lm}=R\Sigma x_{lm}--(3)$$

ここで、Rはベクトルの要素を相互に置換できる置換行列、Sは絶対量を相対品質に関連付ける対角行列です。 式を置き換える （1）と（2）を式に代入します。 （3）は，
$$HA\ x_{lm}=R\Sigma x_{lm}--(4)$$

任意の量のベクトルで式（4）を保持し、行列HAは行列RSと等しくなければなりません。混合行列Aは、Hの逆行列を使用して次のように計算されます。
$$A=H^{-1}R\Sigma --(5)$$

ICAで取得できるのは、複合カラーベクトルの相対量と方向です。 ただし、カラー画像の分離と合成のアプリケーションでは、絶対値は必要ありません。

  色素の数がチャネルの数より多い場合、信号の減少によって引き起こされる独立したコンポーネントを抽出することは不可能です。 一方、色素の数がチャネルの数よりも少ない場合は、主成分分析を使用して、チャネルの数を色素の数に等しくすることが可能です。14,16 分析。この手法は私たちの分析でも用いられています．

## Skin Color Model
人間の皮膚の模式図を図2に示します。平面に平行な表皮層と真皮層があります。表皮と真皮の層は混濁した媒体です。メラニン、ヘモグロビン、ビリルビン、β-カロチンなどのさまざまな色素が層に含まれており、特にメラニンとヘモグロビンは、表皮層と真皮層にそれぞれ主に含まれています。図3は、ICAに使用される64×64ピクセルの肌のカラー画像を示しています。画像は、1920×1035ピクセルのHDTVカメラ（Nikon HQ1500C）で撮影された300×450ピクセルの顔画像の額から抽出されます。
カラー画像の各ピクセルには3つのチャネルがあります。赤、緑、青。 rl m、glm、、blmを、それぞれ画像座標（l、m）上の肌のカラー画像の赤、緑、青のチャネルのピクセル値とします。上記の肌の色を分析して、肌の色について4つの仮定を行いました。
まず、ランバートビールの法則または修正されたランバートビールの法則17は、量と観測された色信号の間の反射光に当てはまります。第二に、皮膚のスペクトル分布は、画像システムの各チャネルの敏感なスペクトル範囲で急激ではありません。第三に、皮膚の色の空間的変化は2つの色素によって引き起こされます。メラニンとヘモグロビン。第4に、これらの量は空間的に相互に独立しています。
最初の仮定は、スペクトル密度領域で観測された色素の純色信号と観測された色信号の間の直線性を保証します。 3つのチャネルの光学密度ドメインでは、 − log（）rl m、、− log（）gl m、− log（）bl m、、線形性は、2番目の仮定を含めることによって保証されます。線形性と3番目の仮定に基づいて、皮膚画像の色は、3つのチャネルの光学濃度領域で図4のようにモデル化されます。メラニンとヘモグロビンの純粋な色ベクトルがまたがる2次元の平面上に、3つの密度の肌の色が分布していることがわかります。画像座標（l、m）上の色密度ベクトルを$c_{lm}$で表すと、
$$c_{lm}=[-log(r_{lm}),-log(g_{lm}),-log(b_{lm})]^t$$

図4に示す肌色モデルによれば、肌の色濃度ベクトルは,
$$ c_{lm}=Cq_{lm}+c_{(3)}$$$$C=[c_{(1)}, c_{(2)}], q_{lm}=[q_{lm}(1), q_{lm}(2)]^t$$

そしてc(1)とc(2)はヘモグロビンとメラニン（またはメラニンとヘモグロビン）の純粋な密度ベクトル、q_lm(1)とq_lm(2)はそれぞれ色素の相対量、c(3)他の色素と皮膚構造によって引き起こされる空間的に静止したベクトルです。 ベクトルc(1)およびc(2)は、$||c(1)||=||c(2)||=1$として正規化されます。ここで、$||''||$はユークリッドノルムです。


前のセクションで説明した**ICAをc(1)およびc(2)が張られた2次元平面に適用して**、色密度ベクトル$c_{lm}$から量ベクトル$q_{lm}$を推定できることは簡単に理解できます。
**2次元平面は，主成分分析（PCA）を使用して求められます**
3つのチャネルの値は、精度が99.3％の2つの主成分を使用することで適切に説明できます。 1番目、2番目、3番目の主成分ベクトルをそれぞれp(1)、p(2)、p(3)と表します。 p(1)、p(2)は、c(1)およびc(2)がまたがる２次元空間にまたがることに留意されたい。
ここで、c(1)とc(2)が張る2次元空間への射影行列$PPt = [p(1),p(2)] [p(1),p(2)]^t$を定義します。 投影に基づいて、色密度ベクトル$c_{lm}$は次のように2つのコンポーネントに分割できます。
$$c_{lm}=P\ P^t\{Cq_{lm}+c(3)\}+(I-P\ P^t)\ c(3)$$(8)

ここで、行列 $I$ は単位行列を示します。
最初の項は、c（）1とc（）2またはp（）1とp（）2が張られた2次元部分空間の成分を示します。 2番目の項は、p（）3にまたがる1次元部分空間のコンポーネントを示します。

## Skin Color Image Separation

前のセクションで提案された肌色モデルは、未知の色密度行列Cと未知の相対量ベクトルqlmを抽出するために使用されます。
まず，スコアベクトル$w_{lm}$を定義します。 式（8）を


ICAのタスクを簡単にするために，スコアベクトルwlmの要素は、平均ベクトルwを差し引くことによって**ゼロ平均**になり、2×2対角行列の**逆平方根**を乗算することによって単位分散Dここで、λ（）1およびλ（）2は、それぞれ第1および第2主成分の固有値を示します。 el mで示される**白色化**されたベクトルは、


式(11)は式(1)と同じ形で表せている．

*↑白色化の手順かな？*

分離行列Hは、正規化されたベクトルelmのICAによって取得される
混合行列は式（5）によって計算されます。
$A = D^{-1/2}P^tC$を式(5)に代入する

そして、混合行列Cを解くと、推定単一色ベクトルCは次のように計算されます。


対角行列Σは、行列C~を$||c(1)||=||c(2)||=1$として正規化することで決定できる．
置換行列Rは、この論文では単位行列でした。

分離行列Hの各要素は、ベクトルslmの要素に対するBurelの独立性評価値を最小化することによって得られました。 独立性評価値の範囲は0〜1で、値が0の場合、信号は相互に独立しています。 最小化は、MATLABツールボックスを使用した準ニュートン実装によって実行されます。
観測信号elm(1)，elm(2)と結果信号slm(1)，slm(2)の独立性評価値は、それぞれ0.2414と0.0081でした。 slm(1)とslm(2)は互いにかなり独立していると結論付けることができます。したがって、メラニンとヘモグロビンは皮膚のカラー画像で独立して分布していました。

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C~+をMoore-PenroseのC〜の逆行列として，
皮膚画像のql mの各要素の最小値がゼロであると仮定して、min(C+ clm)を定義する．
色分解と合成の方程式は次のように表せる．

ここで$c'$は合成された色， Kは顔料の量を変更する対角行列qlm、jは静止色ベクトルc（3）の量を変更する値です。 Kおよびj合成パラメーターと呼びます。

図5（a）および（b）は、分離された2つの独立したコンポーネントを示しています。 それぞれ、1番目と2番目の独立したコンポーネント。 図5（a）ではK = diag [、] 1 0およびj = 0、図5（b）ではK = diag [、] 0 1およびj = 0として合成パラメーターを設定します。 ニキビは第1独立成分に出現し、第2独立成分には出現しないため、第1および第2独立成分はそれぞれヘモグロビンおよびメラニンに起因すると考えられている。

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#### Conclusion