# Задача 12
###### tags: `Том-1` `Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости` `Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения`

## Условие
Две последовательные вершины квадрата - в точках $A(2, 3)$ и $B(6, 6)$. Где остальные вершины?

## Решение
Пусть вершина $C$ имеет координаты $(x, y)$. Про стороны квадрата известно, что они ортогональны и равны по длине. Соответственно, можно составить следующую систему уравнений:

$$
\begin{cases}
\overline{AB}\cdot\overline{BC} = 0\\
|\overline{BC}| = |\overline{AB}|
\end{cases}
$$

Из условия задачи легко находится $\overline{AB} = (4, 3)$. В свою очередь, $\overline{BC} = (x - 6, y - 6)$. Введем подстановку $x' = x - 6$ и $y' = y - 6$. Подставляя в систему выше получим:

$$
\begin{cases}
(4, 3) \cdot (x', y') = 0\\
\sqrt{x'^2 + y'^2} = 5
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
4x' + 3y' = 0\\
x'^2 + y'^2 = 25
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
x' = -0.75y'\\
(-0.75y')^2 + y'^2 = 25
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
x' = -0.75y'\\
y'^2 = 16
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
x' = -0.75y'\\
y' = \pm4
\end{cases}
$$

Дорешивая эту систему, получим два решения: $x' = -3, y' = 4$ и $x' = 3, y' = -4$. Делая обратную подстановку получим, что точка $C$ имеет координаты $(3, 10)$ или $(9, 2)$. Наконец, координаты точки $D$ можно получить как:

$$
\overline{r_D} = \overline{r_A} + \overline{AD}
$$

Заметим, что $\overline{AD} = \overline{BC} = (x', y')$. Таким образом, координаты точки $D$ равны либо $(-1, 1)$ или $(5, -1)$.

## Ответ
$(3, 10)$ и $(-1, 1)$ или $(9, 2)$ и $(5, -1)$.