---
# System prepended metadata

title: Задача 5
tags: ['Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения', Том-1, Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости]

---

# Задача 5
###### tags: `Том-1` `Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости` `Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения`

## Условие
Даны точки $A(3, 5)$, $B(6, -2)$. Найти проекцию вектора $\overline{AB}$ на ось, направленную из начала координат по биссектрисе первого координатного угла.

## Решение

Определим координаты вектора $\overline{AB}$:

$$
    \overline{AB} = \overline{r_B} - \overline{r_A} = (6, -2) - (3, 5) = (3, -7)
$$

Поскольку биссектриса первого координатного угла составляет с осью $Ox$ угол $45^{\circ}$, то компоненты вектора вдоль биссектрисы можно задать как $\overline{b}(\cos 45^{\circ}, \sin 45^\circ)$, т.е. $\overline{b}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Нетрудно заметить, что длина этого вектора равна единице, поэтому проекцию вектора $\overline{AB}$ на вектор $\overline{b}$ можно записать как:

$$
    \pi_\overline{b}(\overline{AB}) = \overline{AB} \cdot \overline{b}
    = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-7) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}
$$

## Ответ
$-2\sqrt2$