---
# System prepended metadata

title: Задача 3
tags: ['Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения', Том-1, Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости]

---

# Задача 3
###### tags: `Том-1` `Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости` `Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения`

## Условие
Даны точки $A(2, -1)$, $B(5, 3)$, $C(3, 5)$ и $D(-5, 11)$. Найти угол между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$.

## Решение
Используя [задачу 1](https://hackmd.io/@gunter-kuzmin-solutions/HJ3kE_jWq) найдем координаты векторов $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$:

$$
    \overline{AB} = \overline{r_B} - \overline{r_A} = (5, 3) - (2, -1) = (3, 4)\\
    \overline{CD} = \overline{r_C} - \overline{r_D} = (-5, 11) - (3, 5) = (-8, 6)
$$

Воспользуемся геометрическим определением скалярного произведения векторов:

$$
    \cos(\overline{AB}, \overline{CD}) = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{AB}| \cdot |\overline{CD}|} = \frac{3 \cdot(-8) + 4 \cdot 6}{\sqrt{3^2 + 4^2} \sqrt{(-8)^2 + 6^2}} = \frac{0}{50} = 0
$$

Поскольку косинус угла между данными векторами равен нулю, то этот угол равен $90^{\circ}$.

## Ответ
$90^{\circ}$.